Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Тогда, используя частотную характеристику системы ста­ билизации по углу, имеем

8 = — I W \с ( j®) — ~ — — c o s [ « rf -| - 6 ас ( ш ) ] -

дх

Следовательно,

Л р у = шР у |W ас (Уи)) |

X sin (aid (at) — Рг |WAс (/со) |фо2 (1) sin 0 ас (со).

Рис. 4.Э1. Формы колебаний механической модели, соот­ ветствующие собственной частоте колебаний маятника

Из этого выражения, полагая фо>0, легко получить, что

Если Лру<0, то система стабилизации рассеивает энер­

гию колебаний, т. е. данная форма колебаний устойчивая, и наоборот, при Лру > 0 рассматриваемая форма колеба­

ний неустойчивая.

Характеристики автомата стабилизации подбирают таким образом, чтобы обеспечить устойчивость движения ракеты. Так, для формы колебаний, показанной на рис. 4.31, а, б, z (/) <0, поэтому условия устойчивости бу-

256

дут выполнены, если 0Ас(со)>О. Если форма колебаний имеет вид, показанный на рис. 4.31, в, то система будет устойчивой при sinOAc(w)<0. Так как для обеспечения устойчивости ракеты как твердого тела в рассматривае­ мом диапазоне частот должно быть 0 а с ( с о ) > О , то при p2/T i>0 объект регулирования с учетом колебаний жид­ кости в баках структурно неустойчив. Этот результат легко было бы получить и из анализа распределения ну­ лей и полюсов, соответствующих колебаниям жидкости, воспользовавшись для этого формулой (4.48).

Здесь q —•вектор-столбец обобщенных координат; А — матрица инерционных коэффициентов; С* — матрица ко­ эффициентов позиционных сил. Для возмущенного дви­ жения упругой ракеты

C *= C + G -f В.

Для уравнений упругого самолета матрица инерционных коэффициентов А симметрична, а матрица С* в общем случае несимметрична, поскольку объект регулирования представляет неконсервативную систему даже при отсут­ ствии диссипативных сил.

Обозначим через [£Дх)] столбец координатных функ­ ций, характеризующих упругие поперечные отклонения корпуса летательного аппарата для каждой степени сво­ боды. Тогда отклонения корпуса |(х, /) в возмущенном движении можно представить в виде

&(*> t ) = \ \ i { x ) ] Tq .

Столбец эффективностей управляющих органов можно представить в виде

Здесь хд координата точки приложения управляющих сил.

Угол отклонения управляющего органа в зависимос­ ти от деформаций корпуса определяется следующим со­

2 5 7

отношением для изображений соответствующих функций

8 (s) = IPас («)[«/ (-Кд.у)]7# ^ ),

где Хд.у — координата датчика углового положения. Рассмотрим теперь собственные колебания объекта

регулирования, уравнение которых имеет вид

Наряду с колебаниями исходной системы будем рас­ сматривать колебания сопряженной системы, которые определяются уравнением

Будем искать решение уравнений (4.96) и (4.97) соответственно в виде q = ue^mt и q = veiwt. Собственные частоты колебаний со, являются корнями следующего характеристического уравнения:

|C*-cdM |= 0.

Исходная и сопряженная системы имеют одни и те же собственные частоты колебаний. В дальнейшем будем по­ лагать, что среди собственных частот колебаний отсутст­ вуют равные частоты.

Каждой собственной частоте колебаний сщ соответст­ вует собственный вектор щ для исходной и щ для сопря­ женной систем, причем собственные векторы должны удовлетворять соотношениям

C*ui—w)Aai^=0,

C*TVi — oqAVi = 0.

В курсах линейной алгебры доказывается, что собст­ венные векторы щ и Vi ортогональны, если i ^ j . Условия ортогональности можно получить следующим образом. Пусть

C*Ui — <i?iAUi = 0 ,

C*TVj — w2Aj v j = 0.

Первое соотношение умножим слева на уД, а второе на UiT. Будем иметь

Транспонируя второе выражение, получаем

v TjC * U i — O j V j A u t — 0 .

Вычитая полученный результат из первого равенства (4.98), получим условия ортогональности при i # /, кото­ рое можно записать в следующих двух формах:

■у}Лнг = 0, v)C*Ui — 0.

Поскольку собственные векторы н, и у* определяются с точностью до произвольного множителя, то их можно нормировать так, чтобы

v}A Ui~ 1, v]C*Ui =«)/.

Зная собственные векторы щ и у,-, можно определить форму изгибных колебаний фюзеляжа при частоте со* для задачи (4.96) и ей сопряженной (4.97)

Еш == [Ег Д) ] T^i', Егг> == [Ег (•*•) ] Т*^г.

Приведем теперь уравнения возмущенного движения (4.95) к каноническому виду. Для этой цели введем в

рассмотрение две матрицы U и V, столбцами которых являются собственные векторы W; и у,. Матрицы U и V обладают следующим свойством:

VrA U=E,

259

представим уравнение (4.95) в виде

Аи'р + С*ир = [Ы хд)]Р у6.

Умножим каждую часть этого уравнения слева на VT. Учитывая свойство (4.99), получим

р + А р = У ' [ Ь ( х л) } Р уЪ.

В то же время, как легко видеть, имеет место следующее равенство:

^т[£г (*д) ] = [?г'о(*д) ] ■

Поэтому уравнения возмущенного движения в канони­ ческой форме

р ^ - К р = % ь ( х л)\РЪ.

Переходя к изображениям, получаем

(s2 + со?) Pt (s) = %iv(*я) РуЪfs),— 1,0.1.... лг- (4.100)

Уравнение системы стабилизации можно преобразо­ вать к следующей форме:

Определив из уравнения (4.100) pi(s)/6(s) и подставив полученный результат в (4.101), получим

N

1

S 2 - ф (О;

i---1

Дифференцируя это равенство по s вдоль корневой тра­ ектории, выходящей из k-ro полюса (s=/&)*&), находим

2 60