Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

w{xh+l,

jcf t l т ] , г + 1 ,

Tf|f t l

Ѳ I 6g+ I )

=

IK

— f\k+,)v{xk+1,i]h+i

I Хк,ци)

при

Ѳ = 1 ;

™ Ы «о, 0 =

0) Ь(Хь)?(Ін+1

-

I — ^ + І ) " ( Ч ' І + І

I

при

Ѳ = 0

ХУ

{хп+„

і\к+1

I л*, -фі) dxhdt\u

при

Ѳ = 1;

n j n ; jw

^

l^o •6 = Q ) P

-

%+.) X

[

X ü ( % + i

I -nft)o(JCf t + 1 )rf%

при

0 =

0.

(5.162)

стояниями x(t)

(интенсивности

управляющих

пуассонов-

ских потоков а*, $х) на фоне белого

шума

и

другого

марковского процесса с двумя состояниями r\(t)

(интен­

сивности

управляющих пуассоновских

потоков

и

р^).

Марковские

процессы [x(t),r\(it)]

и

r\(t)

характери­

зуются следующими априори

известными

матрицами

перехода:

~Р{Хі.Ъ

l!*].^) р{Хі,ъ'\хг<Ъ)

тР(х,,ъ'\ХиЪ)

Р{х,,-П,\х2у\^)~

Р (Ха.ѴІ Х,,7),)

Р (Ха-7 )! I *г,Ъ)

Р (*2'Ъ

1

Р (Х2ЛІ1

I хг'Ъ)

=

р(Хич\г

|Хі,7),)

|0(Х,,7)2 I Х2,-г),)

р{Х,,гі2\хицг)

р (Х,,7|2 |"Хг ,1Г|,)

-Р'Лх2,1\г\

JC,,T],) Д(Хг,К)г| Х2,7),)

р (х2 , 7]2

| X, ,Т)2)

р (Х2,7)2 | Х2,1)2)_

I - (ft. + «ч) àt

0

о

0

1-(«,+Рч)

àt_

(5.164)

I n f

JJ exp

(5)i+,—%+,)2

^

jp

(i)ft+, I % ) ® P s

(%.*)!

I V h + i

(5.166)

Используя разложения exp (—yAt)œl—yAt;

In (1 —

—yAt) x—yAt,

а также учитывая

(5.164), (5.165), после

громоздких выкладок ©место (5.166) получаем

Zk + i=iZk-\r-£-[(frl

+ 1

— Xl—l\i)'Wp3{xl,Hl'

£ + 1 )

+

+ (5/ [ + 1

— x, — T),)2вор, (л-„

т),, /г -f- 1) -f-(5..1 +1 — л', — T),)2

X

XWpsiXi,

\,, Ä + 1) +

(5Ä+ 1

- xt -

TIO^P«^*.

/ г +

1)

-

— (5ft+i — ^ , ) 2

^ ^ , -

/г - f 1) — (5..1+1 — 7)2 )2 шР 8 (ijs,

А + 1).

(5.167)

Переходя © (5.167)

к

пределу

(At—>-0) и. осущест­

вляя стандартные преобразования, получаем дифферен­

циальное

уравнение

dZdtt

=

<F

(Хг, щ , t)>

-

<F(V,

0 > .

(5-168)

где

<F

(Xi,

ЩІ, 0 >

=

J ] [2 (*< +

m) 5 (/)

-

(Xi-\-T]i)-]wps(xi,

ni,

t);

(5.169)

< F

(7!,, 0 >

= l j

^

- J

] [2^-5 (0 -

І

] o»p. ("К, 0-

(5.170)

it

Подобным

же образом можно получить уравнение

(5.168) и для

других случаев, например, когда х(і) и

Y[(t)

— диффузионные

процессы

или процессы с

конеч­

ным числом состояний. Кроме того, уравнение

(5.168)

справедливо и для случая, когда

сигнал и 'помеха

явля­

ются

функциями

от марковских

процессов.

При

этом,

очевидно," <F(x,y\,

і) >

и <F(r\,t)>

следует

определять

соотношениями:

<F (X,

ть t)>

= ±

j f {2Ü [5 (X) +

V (т,)] -

[S(x)

+

+

V ЫУ} WpS {х, л),

t)

dxd-q,

<F

(т,, 0 > = л^- J [ 2 ^ (Ч) -

У" Ш Wvs Ol, t) dy).

Важно

отметить,

что функции

< F ( x ,

т), t)> и

<F(r\,і/)>.могут

быть вычислены, если для каждого"мо­

= (£,-<F{x,

ъ

t)»wps(xu

Ъ\%>,

6 = 1 ) .

(5.171)

2j

=

(L0-<F(i\,

t)»wP5Cm

6 = 0),

где

(5.172)

L , =

L v r

(xu

m) + — {2Ü (t) [S (X, t) +

V (ть 01 -

[S(x,

t)-\-V(t\,t)]*},

(5.173)

К =

Lvr

Ы

+ N0 [2ty) V(Ti,t)-V°

(5.174)

Перейдем

теперь от уравнения

(5.168)

для логариф­

для логарифма

отношения

правдоподобия. Обозначим

z/i = lnAft, тогда

в силу (5.147)

Zfe = ln

-у+гь.

p

= <F{x.

т,,

t)>-<F(-n,t)>

Отсюда имеем

t

zt =

j ' [ < F (x,

т), t')> -

<F (T], * ' ) > ] dt'.

(5.1 75)

Для иллюстрации рассмотрим два примера.

1.

Пусть [14]

сигнал

детерминирован

S(x,

i)—S(t),

а помеха представляет собой марковский процесс с дву­

мя состояниями, определяемый выражениями

(5.86).

В таком случае априорное изменение

сигнала отсут­

ствует

(Lpr(x)=0)

и

операторы

(5.173),

(5.174)

прини­

мают вид

К -

LVr Ы

+ ^

(Я (0 [S (t) +

т, (0] - [S (t) +

7)

(t)f},

(5.176)

L 0

=Lpr

(TU) +

J -

{21 (t) TÎ (0 -

if (t)}.

(5.177)

L V 0

Конкретизируем уравнения

(5.171) —(5.174),

(5.150).

С учетом (5.176), (5.177) имеем

і-»(вій.в = і)—

„ ( 0 ^ , 6 = 1 ) + р » ы * г , в = і , +

+ а»(0 I І ,

b =

l)^[2Smt)-S"-{t)\-<F(S(t),

т,, * ) > } ;

(5.178)