Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

п

И Ѳ = 0 | Ц )

ѵ

'

где Л,і — отношение правдоподобия,

Я — порог.

Величины In и An связаны между собою простым со­

отношением

/„ = -£-Л„.

(5.147)

ности до(£"|Ѳ = 1), ви(£"|Ѳ = 0) иja

заключение реализо­

вать правило

(5.146).

Отметим,

что апостериорные

плотности

(5.144) вы­

числяются в каждый момент времени t^[0,

Т]. Следова­

тельно, после

соответствующего

пересчета

отношение

мени по мере поступления

и обработки

реализации

Это означает,

во-первых,

справедливость соотношений

(5.145) — (5.147)

для любого l ^ f e ^ n

и, во-вторых, соз­

рию последовательного

наблюдателя.

Это устройство

принимает следующие решения:

Ш если

Л й > Нъ,

то

сигнал^есть;

если

Л ь < Я "

, то

сигнала нет;

(5.148)

если • Н" < Л Й <^На

, то наблюдение

продолжается.

Здесь Я® и

Н" — верхний и нижний

пороги соответ­

ственно.

. k =

<F(x,t)>,

(5.149)

где

<F(x,t)>

определяется (5.98).

Наконец,

в

[13] 'было

выведено

уравнение

k

=<F

(х, т], 0 > -

< ^

(х, 0 >

(5.150)

где

<F(xJt\,t)>

находится согласно (5.95).

величину

Соотношение

(5.150)

позволяет

вычислить

zt в задаче

обнаружения, когда

на вход приемника по­

ступает

смесь

W)=S(x,t)

+

V(i\,t)+n(t),

где

x(t)

и и (t) — одномерные диффузионные

процессы.

Уравнения

(5.149) и

(5.150)

были получены с исполь­

(5.150) ниже выводится иным способом,

основывающем­

ся на результатах работы [28].

Пусть для простоты S(x,t)=x(t)

и

Ѵ(ц, t) — r\(t).

бы получить рекуррентное соотношение для

отношения

апостериорных вероятностей Ль.

При

дискретном

времени

на

вход

приемника

посту­

пает

последовательность значений

=

(£„,

£х ,...,

которая

непременно

содержит

в

себе

отсчеты

белого

шума

пко

+ 1

—

(,гй, /г,

пк+і),

помехи

тт*+ 1 =

(т]0,

TJ,,... ,

%+,)

и с

вероятностью

р (р—

1 — q)

может

содержать

значения

подлежащего

обнаружению

сигнала

xko+i

=

==(х0>

хх,...,

хк+1).

В зависимости

от

наличия

(0=1)

или

отсутствия

(0 = 0)

сигнала будем рассматривать

соответственно трех­

мерный

( ^ + 1 ,

xko+1,

7)*+І)

или

двумерный

т,*+1)

мар­

ковские

процессы.

Ѵ(%и

Xi,

Хі-и T U - l ) =

=

V (Xi,

î] i \ Xi-i,

T) i-i)

p (li—Xi—T]

i) ;

(5.151)

«(Іь

iliIli-u Щ - І )

=v(r\i\Ï]Ï_0p(îi—m),

(5.152)

где для 'краткости

обозначено

Р fa — Xi —

T),

] ;

(5.153)"

P (5» —

] •

(5.154)

С

учетом

(5.151) — (5.154)

совместная

плотность рас­

пределения

вероятностей для

последовательностей

х о + 1 ,

\ + [ и

значений

Ѳ р вна:

со (50

, л 0

,

TJ0

, ö) =

P П

P & -

Xi

—

дао

(•*<>. le) П 0 ^г'+"

1=0

і=0

1 } г + 1

I Xi,

Т),:)

при Ѳ = 1;

(5.155)

ft-r

k

я П P fa -

Ш О

do) П v ^

>1

'ч*)

X

где

8 (л;г-) — дельта-функция. .

По формуле

условной

вероятности

®(*o

.öl*,,

)

—

» ( * 5

+ 1 , - ч 5 + 1 . Ё § + , . Ѳ )

(5.156)

где

tw(^+,)==

2

J

... Jatf(jc*+!,

$+i,B)dx0...dxk+1X

0=0,1

Xd%

Учитывая,

что

да(^+1)

=

ш

| $ )œ(Ç) .

выражение (5.156) перепишем

в

виде

» ( ^ + ' . < + , . f l l Ç + ' )

=

1 ^ ( ^ , ^ , 6 = 1

I %)pQb+l-xk+

- % + 1 ) Х

—

1

I

X w (•**+!. Tlft+i I

%)

при

6 = ! ;

(

X f ( % 7 i

I %)s (^ft+.)

при

Ѳ = 0.

(5.157)

Проинтегрируем

(5.157)

по переменным jc0, JC, .... л* . ,,

^1о> мі.

Тогда получим

W (JCfc+1, x,t , •%+!.

б I ^о+ ') —

f

w {xh,

іщ, 6 = 1 I So)p(Sf e + 1 -•«*+!— % + . ) X

X ü ( * f t +i> TJft + i

I *ft> %)

П Р И

Ѳ = 1 ,

*»(&*+. I ig)

w (jCfc, Tift, Ѳ =

О I ф P (6ft+, -

%+.) X .

Х»Спк+і i % ) 8 ( ^ + . )

П Р И

6 =

0.

(5.158)

Плотности

вероятности

w (xn, t\u, Ѳ | ^ ),

входящие в

(5.158) , связаны

с

плотностями вероятностей

w (Xk,

r\h I Ѳ, б* ) по

формуле

условной

вероятности

ш (л*, Tis,

Ѳ I ^ ) =

о» (6 И* )да(Xft, in I 6, I * )

(5.159)

«у(е= 11

)=тя=7^-

И ѳ

= ° і ^ ) = г т ѵ

( 5 Л 6 0 )

Заметим,

что входящая в

правую

часть

выражения

(5.159) плотность

вероятности

w(xk,

% \ 5* , 6)

представ­

ляет собой

общую запись апостериорных плотностей ве­

роятности Wps(xk,

T|f t , k)

при Ѳ = 1

и

wps(y\h,

k) ô (хй ) при

Ѳ = 0, для

которых выше были получены рекуррентные

соотношения (5.74) и (5.16) соответственно.