Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Г Л А В А II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

§ 5. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнении с двумя неиз­ вестными Хі и х2:

j а^Хх ~Ъ ^12-^2 = Ьх,

Коэффициенты данных уравнений обозначим одной буквой а с двумя индексами, из которых первый указывает номер уравне­ ния, в которое входит коэффициент, а второй — номер неизвест­ ного, при котором он стоит. Свободные члены обозначим буквой b с индексом, указывающим номер уравнения.

Умножим сначала первое уравнение заданной системы на а22, а второе на —а\2; затем первое уравнение системы умножим на

—а2и а второе на ап . Складывая после умножения данные урав­ нения, окончательно получим:

Видим, что знаменатель обеих дробей один и тот же; он пред­ ставляет двучлен, составленный из коэффициентов при неизвест­ ных. Этот двучлен называется определителем второго порядка (§ 4, 15) и записывается следующим символом:

в'11&22 ^12^21 = <7п Лі9

С?21 ^22

Таким образом, определитель второго порядка состоит из че­ тырех элементов, которые расположены в двух горизонталях, или строках, и в двух вертикалях, или столбцах.

Числитель первой дроби получен из знаменателя путем заме­ ны коэффициентов при х х соответствующими свободными члена­ ми; аналогично получен и числитель второй дроби,

Следовательно, формулы (1) окончательно будут:

где знаменатель не равен нулю.

Диагональ квадрата, на которой расположены элементы и а2% называется первой или главной диагональю, а диагональ,

на которой находятся элементы аі2 и а2ь называется второй диа­ гональю. Таким образом, для того чтобы вычислить определи­ тель второго порядка, необходимо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих по второй диагонали.

Пример 1. Вычислить определитель

Р е ш е н и е . Применяя установленное правило, имеем

п(1 + t2)2____________4P

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

§ 6. Определители третьего порядка

Пусть дана система трех линейных уравнений

c тремя неизвестными xb x% ,т3. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены обозначены по такому же принципу, как и для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если умножим обе части первого уравнения системы (2) на число 022<7зз—«2зазі обе части второго уравнения на «із«з2—«і2«зз

Этот определитель часто называется определителем заданной системы (2). В рассматриваемом случае полагаем, что он не ра­ вен нулю.

Числитель, также как и при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (§ 5), можно записывать в виде определителя третьего порядка, который легко получить из зна­ менателя, заменив первую вертикаль, где расположены коэффи­ циенты при Х\, соответствующими свободными членами. Таким образом имеем

где D и D1определяем по формулам (3) и (4).

Для того, чтобы найти хъ необходимо из уравнений системы

(2) одновременно исключить х, и х3, поэтому уравнения этой системы умножим соответственно на я2з я3і—я2і я33, аИ а33— —я,3язь я13я2і—Яц я23, а затем сложим. Таким образом опреде­ лим х2. Наконец, для того, чтобы найти х3, необходимо уравнения заданной системы соответственно умножить на я21 я32—я22яЗІ, Я]2Яз>і—ЯцЯ32, яи я22—я!2я21 и сложить.