Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Для того, чтобы найти абсолютную величину или модуль «-мер­ ного вектора, необходимо вычислить скалярное произведение вектора на самого себя. По формуле (8) получим

аа = I а |2 = а\ + а\ + ... + ai,

отсюда

I о I = ■]/ а] -)- a j + ... + ein ;

модуль вектора выражает его длину.

где Iа|=^0, будет нормированным.

3.Пусть заданы произвольные «-мерные векторы аЛ, а?, .. и„

ипроизвольные скаляры сь с2, . . . сп, тогда вектор

а, = + с2а2+ ... + с,fi.,,

называется линейной формой от векторов ah a% . . а„ со скаляр­

если таких постоянных не существует, то векторы alt аъ . . . , ап будем называть линейно не зависимыми.

Здесь все координаты рассматриваемых векторов обозначены

одной буквой а с двумя индексами, из которых первый указыва­ ет номер вектора, к которому относится координата, а второй — номер соответствующей координатной оси. Этого принципа будем придерживаться постоянно и далее.

Условие (10) очевидно равносильно системе « линейных урав­ нений с неизвестными С\, с^. . . ., сп:

а п ІСі "Ь О'пЛрЪ “Ь • • • "Ь а ппСп ~ 0 .

Эта система называется однородной, так как у нее все сво­ бодные члены равны нулю. Решение этой системы будет рас­ смотрено далее.

4. Рассмотрим, наконец, следующие векторы

у которых одна координата равна единице, а все прочие равны нулю. В трехмерном пространстве это будут:

ёг = (1, 0, 0), ё2 = (0, 1, 0), ё3 = (0, 0, 1)

векторы репера, которые являются масштабными векторами осей координат. Эти понятия, рассмотренные выше (§ 1) для трехмер­ ного пространства, могут быть обобщены на пространство, име­ ющее п измерений.

Очевидно, принимая во внимание свойства (II) и (III) на­ стоящего параграфа, всякий «-мерный вектор можно однозначно

представить как линейную форму от еи е2, . . . , еп со скалярными коэффициентами, т. е.

Таким образом, все векторы заданного «-мерного векторного пространства порождаются векторами е1( е2, . . ., е„, поэтому го­

ворят, что эти векторы образуют базис «-мерного векторного пространства и их иногда называют базисными ортами.

Векторы ел, е2, . .. , еп образуют ортогональную систему век­ торов, так как они попарно удовлетворяют условию ортогональ­ ности (9).

§ 4. Понятие о матрице и об определителе

Понятие о матрице. Прямоугольную таблицу, составленную из координат in n-мерных векторов

С11= (Оц, #12, ■• ■, ^1л)>

- 0%— (ûali ^22>■■• > &2п)>

^ni iflm1’ ^m2> • ■> ®mn)

назовем матрицей и запишем ее следующим образом:

ап аі2 ■ ■ • а\п

я __ а -21 а 22 ■ • • а 2п

. ®-ті а пгг •

Матрицы обычно обозначаются прописными буквами. Матри­ ца А содержит тп чисел а-ф где і= 1, 2, . . m и / = 1,2.........п, которые называются элементами матрицы и расположены в гп горизонталях (строках) и в п вертикалях (столбцах). Матрица (12) называется квадратной, если m - п и в этом случае говорят,

менты матрицы А, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, то матрица А называется диагональной и записывается так:

ап 0 . . .0 \

, ■о о . ■ •

Диагональная матрица порядка п, у которой все элементы ее главной диагонали равны единице, называется единичной мат­ рицей. Ее принято обозначать Еп.

Ѵо О . . . 1 / Элементами горизонталей единичной матрицы являются коор­

динаты векторов еЛ, е% . . еп, которые образуют базис /l-мерно­ го векторного пространства (§ 3, п. 4).

Единичные матрицы второго и третьего порядка соответствен­ но запишутся так:

ЧИТ/UiS C :'J ЗАЛА

где Ai, А% . . As — недиагональные квадратные матрицы по­ рядков соответственно k\, k%. ■., ksi.ki+kzA-- ■-+ks=n), главные диагонали которых составляют главную диагональ всей матрицы А, а все элементы матрицы /1, не принадлежащие матрицам Ал,

цей структуры |2, 1, 3).

Кроме этого, вектором-столбцом назовем матрицу, состоящую только из одного столбца; аналогично вектором-строкой являет­ ся матрица, содержащая лишь одну строку. Эти матрицы назы­ ваются также столбцевой и строчной. Например, матрица

будет столбцевой; ома отождествляется с вектором Ь= (3; —1; 4)

втрехмерном пространстве. Матрица

С— (3, 0, - 4 , 5)

является строчной.

Две матрицы с одинаковым числом горизонталей и вертика­ лей называются матрицами одинаковых размеров.

Две матрицы равны в том и только в том случае, если равны их соответствующие элементы. Очевидно, что размеры, т. е. число горизонталей и число вертикалей равных матриц должны совпа­ дать.

В различных приложениях часто пользуются треугольной ма­ трицей. Квадратная матрица называется треугольной, если ее

элементы яіудля всех £>/ (или для всех £</) равны нулю. Ha­

is

•.ч

»J

. * -А'7 «■ і