Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 1
определяют множество точек, лежащих внутри прямоугольника. Неравенства
а < X < Ь, с *: у < d
определяют соответствующий замкнутый прямоугольник Пример 2. Множество точек, .лежащих внутри окружности
|
л--' -}- //з = г-’. |
определяется неравенствами |
|
—Г < X < г, |
У < Y г |
Пример 3. Неравенства |
< |
|
1 |
О <. X < -}- о э , — « у < + ОІ
определяют область, образованную точками, лежащими в первом квадрате
1
выше пперболы У=~~ и на самой гиперболе (черт. 12). Эти неравенства мож
но загшеат! так:
1
О < л-, у < у.
■Черт. 12.
Пример 4. Неравенства
, 0 < у < X
определяют замкнутый треугольник (черт. 13). Этот же-треугольник может быть задан посредством неравенств
О< у «. 1, 0 < X < 1.
Пример 5. Неравенства |
|
1 < л, — |
< у < Ух- - 1 |
определяют область, ограниченную ветвью гиперболы х2—у2—1 (черт. И). Эта же область может быть задана неравенствами
— со; < у < тс, )/Л1, + iß < -Ѵ,< + со.
Пример 6. Рассмотрим область, ограниченную сверху прямой у=х, а снизу параболой у= х 2 (черт. 15). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
О < X < I, Xs < у < X
ИЛИ
0 < у < 1, у < х < Y у .
§ 4. Неравенства, содержащие абсолютную величину
Пусть h — данное положительное число, тогда неравенство
М < А |
(3) |
справедливо при положительных х, если х<Іі, при отрицателыых X, если —Іг<х и х = 0. Ни при каких других значениях х неравен ство (3)места не имеет. Следовательно, неравенство (3) равно сильно неравенствам
— h < X < h. |
(4) |
Неравенства (4) выражают, что точка х расположена на оси Ох на расстоянии, меньшем h от начала координат (черт. 16).
Черт. Гб. Черт. 17.
Таким образом, точка х должна находиться в интервале (—h, h), это и выражают неравенства (4).
Неравенство |.ѵ|>а выполняется при я > 0, если х>а или х < —а. Следовательно, точка х должна быть на расстоянии, боль шем а от начала координат, и поэтому располагается в одном из интервалов (— со, —а) и (а, + °о) (черт. 17). При а< 0 нера венство |л '|> а удовлетворяется всеми значениями х.
\x — a \< h , h > О,
выполняется, если —/г< х—а</г, откуда
а — h < л- < а + /г.
Соответствующая точка х должна находиться в интервал^ длины 2/г с серединой в точке а. При выполнении неравенства I л: — а|</г точка х расположена вне этого интервала (черт. 18).
a-h |
|
а ■ a ± h |
|
О |
2 3 |
5 |
S |
X |
—о— |
|
------—о— |
X |
|||||
Черт. |
18. |
|
|
Черт. |
19. |
|
||
Пример. Неравенство |
1 < I-V- |
4 I < 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
равносильно следующей системе |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 < IА- —4 |, IX - 4 I < 2. |
|
|
|
|||
Неравенство |
1< | а—4 | изображается двумя интервалами |
|
|
|||||
|
|
— со < X < 3, 5 < X < -|- з о ; |
|
|
|
|||
для неравенства |
| х —4 | < 2 имеем интервал |
|
|
|
|
|||
|
|
|
— 2 < А' — 4 < 2, |
|
|
|
|
|
откуда 2<.ѵ< 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общую часть |
составляют |
два интервала |
2< а< 3 |
н 5 < л< 6 |
(черт. 19). |
|||
§ 5. Решение неравенств
Задача решения неравенства (системы неравенств) анало гична задаче решения уравнений.
О п р е д е л е н и е . Решением неравенства
fi (хѵ |
хг...........х„) т=Л |
-я* . . . , хл) |
с неизвестными х ь |
х2, . . х п, где /і |
и f2— функции, заданные |
совместно в общей части областей их определения, называется всякая система допустимых чисел Аі = яь х2 = а2, . . х п = ап, удовлетворяющих данному неравенству, т. е. значения функций /у и f2 в точке («I, а2, . . ап) связаны неравенством
/ifai, (h, • • •. ci„) = / 2(av (h ,..., an).
|
f l (jy, |
Л'2, . . •. |
хп) ф |
®і (лу, |
Х 3, . . ** |
), |
|
||
|
/ , (хѵ |
х2, . . |
, |
-Ѵ'„) Ф ? 2 |
(ЛУ, |
X s, . . • , |
х„), |
(■5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■fm(Xb |
■ 1» -^п) |
'?/// ('^1> ^2»*• • , |
Х „) |
|
||||
называется |
всякая система чисел, |
удовлетворяющих каждому |
|||||||
неравенству системы (5). |
(систему |
неравенств)— значит |
найти |
||||||
Решить |
неравенство |
||||||||
множество всех его решении. |
|
|
неравенств есть |
общая |
|||||
Множество всех |
решении системы |
||||||||
часть множества решений каждого неравенства системы, взятого в отдельности.
Во многих случаях, по конечно ие во всех, множество всех ре шений неравенства (пли системы) с одним неизвестным состоит из конечного числа числовых промежутков. Аналогично для не равенств с двумя или большим числом неизвестных множество всех решений может состоять из конечного числа элементарных областей. В этом случае, который является наиболее важным в приложениях, под решением неравенства (или системы) подра зумевается установление неравенств, определяющих промежутки или элементарные области, где удовлетворяется данное неравен ство (или система).
Таким образом, в рассматриваемом случае одно неравенство, или система, заменяются новыми неравенствами, которые харак теризуют все те промежутки или элементарные области, где вы полняются данные неравенства.
Понятие эквивалентности уравнений и систем уравнений, из вестное из элементарной алгебры, распространяется на неравен ства и системы неравенств.
Имеет место определение: неравенство (система неравенств) Фі Ф Фо называется следствием неравенства (системы нера
венств) F-і Ф Fz, если всякое решение |
неравенства |
(системы |
не |
||
равенств) |
является |
решением |
неравенства |
(системы |
не |
равенств) |
Ф іфФ 2- |
|
|
|
|
Отсюда устанавливается общий признак эквивалентности не |
|||||
равенств: если неравенство (система неравенств) |
|
|
|||
|
|
Фі ф Фг |
|
|
(6) |
есть следствие неравенства |
(системы неравенств) |
|
|
||
|
|
Fi Ф А3, |
|
|
(7) |
а(7) есть следствие (6), то неравенства (системы неравенств)
(6)и (7) эквивалентны.
Для неравенств имеют место теоремы, которые доказывают ся подобно тому, как аналогичные теоремы для уравнений.
Т е о р е м а 1. Если функция ш(хь х-2.......х„) имеет смысл при всех допустимых системах значений неизвестных, то неравенства
и |
fx (ху, |
ху, ■• • > •"'•л) |
_/г(ху> |
Х"2, • |
• |
• |
> х п) |
|
■• • ,ѵл) -j- со (Хх, |
Л‘о, . . . , Хп) ф fn (Xx, |
Х2, • |
• |
• |
, xn) T" |
|||
/ і С*і. |
||||||||
+ СО(Хь Х2, . . . , Хп)
эквивалентны.
С л е д с т в и е . Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Т е о р е м а II. Неравенства
f l (-И> -'-2' • ■• > X л) ’ ■f ‘I J >Ху1 • • • ! 'С';;)
и
fl (ху, Хо, . . . , Хп) У> Д(лу, Х2, . . . , .Х/і)
эквивалентны.
К этому приходим на основании свойства необратимости (§1). Т е о р е м а III. Если функция а>(хь х% хп) положительна при всех допустимых системах значений неизвестных, то нера
венства
fl (ХЦ, Х.2, • • • 1 X n) <С fi (A'I, |
Хе, .. •, |
xn) |
|
(8) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
со (,\y, |
X2, . . . , Xn) ■f i (x x, |
X2, • • • I |
Xn) |
|
|
|
|
CO(Xj, |
.V2, . . . , x„) • Д |
(X i, |
X2, . . . , |
X n) |
|
эквивалентны. Если функция м(хі, x2, .... x„) |
отрицательна, то |
|||||
эквивалентны неравенства (8) и |
|
|
|
|
|
|
(il (Xj, |
Х2, . . . , Хп)• fх (Xj, х2, ... , |
х„) |
|
|
|
|
|
Д (|) (хх, |
Х о ,. . . , |
хп)-/, (хх, |
х2, . .., |
хп). |
|
Доказательство этой теоремы основано на свойстве монотон ности умножения неравенств ( § 1).
Т е о р е м а IV. Неравенство
f (ху, |
ху, • • - , хп) ^ Q |
'■?(ху, |
х2, . . . , х„) |
эквивалентно неравенству |
|
f (ху, ху, . . . , |
х„) ■ср (лу, Х2) • . . , Хп) 0. |
Доказательство этой теоремы очевидно, так как частное
и произведение /ср суть числа одного и того же знака. Укажем, однако, что системы неравенств
fi (ху> ху,.. •, х„) |
0, |
(9)
fi (ху, х2, .. ■> Xn) 'j,> 0