Файл: Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин.pdf

3

ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО КАРОТАЖА

Разработка теории высокочастотного каротажа включает в себя несколько этапов: выбор модели, получение соответствующих строгих или приближенных решений, их анализ, создание программ для расчетов на ЭВМ, накопление и анализ расчетных материа­ лов.

Теория методов высокочастотного каротажа в основном бази­ руется на строгих решениях нескольких электродинамических задач, сформулированных применительно к условиям буровой гео­ физики. Решения имеют вид сложных интегральных выражений и малодоступны для непосредственного анализа. Поэтому основ­ ной способ получения нужных материалов — численные расчеты по строгим формулам на ЭВМ для различных частных случаев и обобщение результатов расчета. Этот метод, получивший название математического моделирования, все шире применяется во многих отраслях науки и техники.

Наряду со строгими решениями, большую роль играют прибли­ женные асимптотические выражения, которые помогают дать физическое истолкование и систематизировать результаты числен­ ных расчетов. Приближенные решения имеют также самостоятель­ ное значение. Как показано ниже, они позволяют осуществить расчеты высокочастотных полей для некоторых случаев, не имею­ щих строгих решений.

Относительно выбора модели для теоретического анализа от­ метим следующее. Достаточно общей является модель среды в виде пласта ограниченной мощности с зоной проникновения филь­ трата бурового раствора при наличии скважины (рис. 24, о). Однако строгое решение волнового уравнения методом разделения переменных для сочетания цилиндрических и горизонтальных по­ верхностей раздела невозможно. Метод интегральных уравнений позволяет получить строгое решение, но трудности, возникающие на пути практического использования этого способа при массовых расчетах еще не полностью преодолены. Поэтому будем рассмат-

61

ривать раздельно среды с цилиндрическими и плоско-параллель­ ными поверхностями раздела.

Для изучения влияния скважины на результаты высокочастот­ ного каротажа используем двухслойную модель среды. При от­ носительно низкой частоте поля влияние проникновения бурового

к

Z

Рис. 24. Модели среды в прямых задачах теории электромагнитного каротажа.

а — пласт ограниченной мощности — скважина — зона проникновения; б — скважина — зона проникновения — пласт бесконечной мощности; о — пласт ограниченной мощности; г — модель с постепенным изменением пара­

метров в зоне проникновения, /г , knn, £зп , Ап< Ав —

волновые числа скважины, промытого пласта, зоны про­ никновения. пласта и вмещающих пород

воляет учесть влияние корпуса прибора на поле. При частотах, равных десяткам мегагерц, будем использовать более сложную модель среды, отражающую постепенное изменение электрических параметров в зоне проникновения в интервале от промытой зоны до неизмененной части пласта'. Плавное изменение удельного сопротивления и диэлектрической проницаемости имитируется здесь системой цилиндрических слоев малой толщины. Электри­ ческие параметры каждого слоя постоянны и отличаются от сосед-1

1 Необходимость перехода к многослойной модели при высоких частотах подробнее рассматривается в разделе 4.

62

него слоя на небольшую величину (см. рис. 24, г). Для изучения влияния мощности и параметров пласта на форму кривых высо­ кочастотного каротажа используем модель, изображенную на рис.

24, в.

В дайной работе рассматриваются варианты высокочастотного каротажа с источником поля в виде катушки малых размеров. Поэтому прямые задачи в математическом отношении сводятся к решению задач о поле вертикального магнитного диполя в ци- линдрическн-слоистых и горизонтально-слоистых средах.

Ниже дано приближенное решение задачи о поле магнитного диполя в цилиндрической полости, строгое решение задач о поле магнитного диполя в цилиндрически-слоистой среде с произволь­ ным числом слоев и в присутствии пласта конечной мощности.

Приближенная теория высокочастотного каротажа для двухкатушечного зонда в среде с цилиндрической поверхностью раздела

Если генераторная и приемная рамки находятся в цилиндри­ ческой полости на некотором расстоянии друг от друга, электро­

которая и будет определять сигнал в приемной.катушке.

В реальных условиях длина зонда z всегда существенно пре­ вышает радиус скважины а. Обычно z=(8-f-10)a и во всяком случае z> (З-М) а. Удельное сопротивление бурового раствора (рс^1-ЕІ,5 Ом-м), как правило, меньше сопротивления окружаю­ щих пород, т. е. обычно |£і | > | й2|, где k \ — волновое число буро­ вого раствора,, k2-—окружающих пород. В этих условиях прямая

63

и отраженная волны должны иметь в точке приема значительно меньшую интенсивность, чем боковая волна. Измеряемое поле в основном должно определяться боковой волной.

В сухих скважинах или в скважинах с раствором на нефтяной основе, т. е. при р ^ р г , затухание прямой и отраженной воли так­ же весьма велико. Это связано с тем, что длина волны в непрово­ дящей скважине даже при частотах, равных десяткам мегагерц, составляет 5—10 м, т. е. во много раз превышает диаметр полости. В соответствии с рассмотренными представлениями теории волно­ водов прямые волны в этих условиях распространяться по сква­ жине не могут и быстро затухают.

Таким образом, при соблюдении основного условия z^>a во всех реальных случаях поле в точке наблюдения должно опреде­ ляться боковой волной. На пути от источника эта волна претер­ певает поглощение и фазовые сдвиги на участках AB, ВС и CD (см. рис. 25,а). Следовательно, поле в точке приема зависит от электрических параметров и диаметра скважины (участки AB и CD) и от длины зонда и свойств вмещающих пород (участок CD).

Попытаемся получить из соответствующих строгих решений асимптотическое выражение для поля магнитного диполя в ци­ линдрической полости при условии, что боковые волны являются доминирующими. Решение задачи проведем в два этапа. Вначале получим приближенное выражение для поля во внешней среде

в скважине и вмещающих породах больше диаметра скважины. Это допущение фактически означает, что мы пренебрегаем изме­ нением поля на участке AB, так как оно мало по сравнению с изменением на интервале ВС. Сходные оценки были сделаны ранее

приближенное выражение изменим таким образом, чтобы учесть влияние скважины, т. е. изменением поля на участках AB и CD.

Примем, что вертикальный магнитный диполь находится на осп цилиндрической полости радиуса а. Полость заполнена мате­

ние для вертикальной компоненты магнитного поля во внешней

<64

В этом случае выражение (3.2) можно существенно упростить. На основании (3.3) можно утверждать, что область, существен­ ная при интегрировании, соответствует малым значениям Д т. е. интеграл b (3.1) определяется значениями функции при X—>-0 . Сле­ довательно, можно считать, что аргументами функции Бесселя является |?ч,2а| ~ |Аі2« |• Это позволяет, основываясь на соотно­ шениях (3.4), заменить в знаменателе выражения (3.2) некоторые функции Бесселя их приближенными значениями, справедливыми

при малых значениях аргумента:

Числитель (3.2) представляет собой вронскиан функций /(Да) и /((Да). Для него действительно выражение

Подставляя (3.5) и (3.6) в (3.2), имеем D2= 1.

Таким образом, поле во внешней среде

Принимая во внимание, что выражение для вектора-потенциа­ ла магнитного диполя в однородной среде имеет вид U = e.ihR/4nR и известную формулу Зоммерфельда

Из выражений (3.8) — (3.10) вытекает, что правая часть фор­ мулы (3.7) представляет собой зависимость для 2-компонепты по­ ля диполя в однородной среде с волновым числом /е2 на расстоянии

R = V r 2 + z2 от источника в долях поля в воздухе. Для точек, рас­ положенных у стенки скважины (г= а), ввиду того что z^>a, мож­ но считать Rzaz. Поэтому

Следовательно, при принятых допущениях поле у стенки сква­ жины равно полю магнитного диполя в однородной среде с пара­ метрами у2 И £о.

На втором этапе решения задачи попытаемся учесть влияние скважины на поле в точке измерения. Будем полагать, что сигнал в приемной катушке создается волной, проникающей в скважину из ограниченного кольцевого участка внешней среды, находяще­ гося па расстоянии 2 от источника. В пределах этого участка поле однородно и равно h:oxn(kzz). Такое предположение эквивалентно допущению о том, что поле, проникающее в скважинѵ, имеет структуру цилиндрической волны и не зависит от ср и z, т. е.

этапа задачи. Пространство разделено бесконечной цилиндриче­ ском поверхностью радиуса а па две области: внутреннюю — с электропроводностью уі и диэлектрической проницаемостью — II внешнюю — с электрическими параметрами у2 и е2. Во внешней среде у поверхности задано осесимметричное возбуждающее поле hz, создаваемое магнитным диполем, которое в пределах ограни­ ченной области не зависит от г. Требуется определить магнитное поле на оси внутренней области.

66