Файл: Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин.pdf

ю зс

72

путем решения системы уравнении, образуемых на основе условий сопряжения [53, 61]. Однако при увеличении числа поверхностен раздела свыше 5—7 система уравнении становится настолько сложной и выражения для поля получаются столь громоздкими, что возможность их практического использования, по-видимому, отпадает. Желательно поэтому получить рекуррентные соотноше­ ния. позволяющие представить решение задачи в компактном виде и применить единый алгоритм расчета независимо от числа слоев. Это осуществлено В. И. Дмитриевым, который получил рекуррент­ ные формулы для цилппдрпческп-слоистой среды при возбужде­ нии поля магнитным или электрическим диполем с моментом, ориентированным по оси цилиндров [41].

Основная идея метода заключается в переходе от дифферен­ циального уравнения второго порядка к уравнению первого поряд­ ка, от уравнения Бесселя к уравнению Рикаттп. В случае кусочнооднородной среды решение уравнения Рикаттп при использовании краевых условий позволяет получить простые рекуррентные соот­ ношения.

Из физической сущности задачи вытекают краевые условия,

которые заключаются в том, что при /?= Уг2+ г2^-0, т.е . при при­ ближении к источнику, поле должно стремиться к полю магнитного диполя в однородной среде, а при R-^-oo поле стремится к нулю. На поверхностях раздела при г= ат тангенциальные компоненты магнитного и электрического полей меняются непрерывно.

Ввиду осевой симметрии задачи будут существовать три ком­ поненты поля: Иг, И, и £<р. Будем искать решение задачи непо­ средственно для компоненты поля Еф, не вводя представления о

где /г2= сі)2е(л + іу(лю — квадрат волнового числа.

Произведя разделение переменных, ищем решение уравнения

74

Как известно, с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка тесно связано уравнение Рикатти

y, =--P(x)t? + Q(x)y + R(x).

Решение U линейного дифференциального уравнения сводится преобразованием вида

У~ — U'/f (х) U

крешению уравнения Рикатти. Таким образом, функция У (г) в соответствии с формулами (3.32) и (3.33) должна удовлетворять уравнению Рикатти

где Лі = ]/"X2— /гу; А и В — неизвестные коэффициенты.

В первой среде поле может быть представлено в виде суммы поля в однородной среде и функции, выражающей искажающее влияние цилиндрических неоднородностей. Компонента £Ф поля магнитного диполя в однородной среде

Используя известное представление eilir/R в интегральной форме, получаем на основании выражения (3.31) для однородной среды с параметрами скважины

Выражение (3.36) является условием возбуждения. Поскольку функция, учитывающая влияние неоднородности среды, может со­ держать только член с / ((7.і/'), окончательно имеем

КІ оРч°і) — 1iaih РчЩ)

7 э