Файл: Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин.pdf

жимы при г= О поле должно иметь конечные значения, в решении может использоваться только функция Jo:

Отсюда получаем выражение для поля в скважине в относитель­ ных единицах:

Выражение (3.21) учитывает влияние скважины на поле на пути от окружающих пород до приемной катушки. Основываясь на принципе взаимности, можно предположить, что влияние сква­ жины при распространении поля от источника до внешней среды будет аналогичным. Тогда выражение для поля диполя на оси цилиндрической полости примет вид

Влияние цилиндрической полости па поле внутри нее можно определить иным способом. Поскольку поле на оси скважины создается волной, проникающей из внешней области, задача сво­ дится к определению того изменения, которое претерпевает воз­ мущающее поле на пути от стенки скважины до точки измерения. Это изменение можно определить, взяв отношение поля у стенки

скважины к полю на ее оси.

Как показано ниже, строгое выражение для вертикальной ком­

Первый член в формулах (3.23) и (3.24) представляет собой поле диполя в однородной среде с волновым числом k\ на рас­ стоянии г от источника. Его можно рассматривать как прямую вол­ ну, распространяющуюся по цилиндрической полости от источника

5* 67

первым членом в обоих выражениях можно пренебречь, поскольку в данном случае интенсивность прямой волны на оси и у стенки скважины много меньше, чем боковой. При z^>a аргумент функ­ ции Бесселя ?чо, как отмечалось выше, можно считать равным ik\ü. В результате функция Io(ha) в формуле (3.23) заменяется функцией J0(k\a) [поскольку I0(ik\a)=J0{—k\a)—J0(k\a)] и вы­ носится за знак интеграла. С учетом сделанных упрощений иско­ мое отношение будет иметь вид

Полагая, что влияние скважины на пути волны от источника до вмещающей среды аналогично влиянию на пути от вмещающей среды до приемника, путем решения системы уравнений Максвел­ ла для цилиндрической волны, проникающей в скважину, полу­ чаем выражение (3.22).

Отметим, что формула (3.22) справедлива для частного случая,

или допущения о том, что поле, проникающее в скважину, имеет структуру цилиндрической волны. Практически пределы приме­ нимости выражения (3.22) можно установить путем сравнения результатов расчетов по этой формуле и результатов строгих расчетов по формуле (3.24). Как будет показано в дальнейшем, выражение (3.22) применимо в большинстве реально встречаю­ щихся случаев.

При практическом использовании выражения (3.22) следует иметь в виду, что обычно из-за преобладания в скважине токов проводимости соеі/уі<СІ аргумент функции / 0 принимает простой

вид ()/ уірсоа)А'). Как известно, функции Бесселя с подобным ар­ гументом носят название функций Кельвина. Они представляют собой комплексные числа, действительная и мнимая части кото­ рых обозначаются символами Ьег и bei:

J0([/ущсо а ]Л ') = Ьег (]/ущш а) — i bei ( ] / y^uo а ) .

Вычисления амплитуды и фазы поля с помощью формулы (3.22) удобно проводить, применяя имеющиеся таблицы модуля и аргу­ мента функций Кельвина. В этом случае

68

во внутренней области, при вычислениях по приближенной форму­ ле (3.22) следует пользоваться таблицами функций от комплекс­ ного аргумента, имеющимися, например, в [23].

Необходимо подчеркнуть следующую особенность приближен­ ного выражения (3.22). Влияние вмещающей среды и влияние скважины в нем полностью разделены. Числитель, характеризую­ щий влияние внешней среды на поле, является функцией частоты, электрических параметров внешней среды и длины зонда и не зависит от электрических свойств и диаметра скважины. Напро­ тив, знаменатель зависит только от параметров цилиндрической полости. Отсюда следует вывод, что в тех случаях, когда спра­ ведливо выражение (3.22), распространение поля во вмещающей среде не зависит от влияния скважины. Это открывает возмож­ ность построения приближенной теории для сред с комбинацией горизонтальных и цилиндрических границ раздела, в частности, для случая скважина — пласт. В отличие от теории малого пара­ метра здесь не накладывается ограничений на частоту поля и проводимость отдельных участков среды, разумеется, при соблю­ дении соотношения |/г[ | |й2(-

1 и 60 МГц, различных параметров скважины и пласта и зондов разной длины. Анализ этих материалов позволяет сделать следую­ щие выводы.

1. Наблюдается вполне удовлетворительное совпадение резуль­ татов строгих и приближенных расчетов. Это подтверждает спра­ ведливость предположения о приходе сигнала в точку наблюдения в виде боковой волны, поскольку приближенные выражения полу­ чены исходя из такого допущения.

2.На частоте 1 МГц (см. табл. 4) при z/a^ 6 расхождение1 между результатами строгих и приближенных расчетов, как для |/г, I так и для ср, не превышает 5—6 %.

3.Для частот, используемых в диэлектрическом каротаже (десятки мегагерц), относительная ошибка значений фазы, вы­

численных по приближенной формуле, не превышает 6—8 %, со­ ставляя обычно 2—3%. С увеличением длины зонда расхождение между значениями фазы, полученным по строгим и приближен-

1 Под расхождением имеется в виду относительная ошибка б значения амплитуды или фазы поля, полученного по приближенному выражению. За истинное значение величины |/ц | или ср принимается значение, полученное при расчете по строгой формуле.

69

70