Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

Т а б л и ц а 4.3

№

Размерность

Число фаз

Число попыток

сечения

 

 

 

1

4

3

5X3=15

2

3

4

4X4=16

3

2

5

3X5=15

4

3 и 2

1 -3=4

4X1 4-3x3=13

5

4 и 2

2-|-1=3

5X2 1 - 3 X 1 = 13

6

4 и 3

1 -| 2=3

5X1+4X2=13

Разобьем

параметры входа л+ • • •, хп

на пары 1

и каждой

паре придадим определенное значение: (хп,

х2\); (x3h

х41);

...,

(xn-i,i, хп,\)-

В этой ситуации определим

на выходе

х п + и и

Хп+2. 1-

Полученные результаты изобразим графически на плоско­ сти чертежа (ср. рис. 4.1). В обычной координатной системе вдоль одной оси откладываем все нечетные, вдоль другой — все четные параметры. Каждые два параметра позволяют от­ метить точку на плоскости. В итоге возникает совокупность то­

чек (/412, Л 3 4 , . . . , Ап-и п)-+Ап+и

„+ 2 , моделирующая

один цикл

работы искомой машины М2

(п-*-2).

изображе­

Очевидно, модель эта построена по методу п/2

ний (см. 3.7.8). В пространстве Rn выделено п/2 звезд Rn~3' "-г.". Посредством каждой такой звезды осуществляется операция

проектирования точки AcRn

на плоскость о*. Все плоскости а

совмещены с плоскостью рисунка.

 

В открытом (ср. 3.7.7)

пространстве Rn работает машина

Mi (п~*-2). Работа ее сводится к проектированию точек

AiCzRn

на некоторую плоскость а я / 2 . ц . Можно считать, что а „ / 2 . и

также

совмещена с плоскостью рисунка. Таким образом и возникает

1 Если п нечетно, то введем условно действующий дополнительный па­

раметр *0 =const.

141

проекционная модель, построенная, как сказано, по

методу

л/2 изображений на картине

R2=an:2+l.

 

Если кроме одного цикла работы промоделировать еще не­

сколько циклов машины М[ (п —>-2), то исследователь

получит

возможность, высказав более или менее правдоподобную ги­ потезу о структуре этой машины, перейти к теории второго уровня и проверить ее в новых экспериментах. Разумеется, чем больше циклов работы удается промоделировать, тем легче очерчивается правдоподобная гипотеза. Указанный способ по­ становки и планирования эксперимента назовем способом про­ екций.

8. Пользуясь способом проекций и задавая в каждой новой

фазе эксперимента пары значений для параметров (ХЦ, ХЦ),

...,

(#„_!,.;, xnii),

целесообразно

заставить точку

AiCiRn

пробегать

какое-либо

линейное

пространство,

прежде всего

прямую

ли­

нию.

Это утверждение

можно

рассматривать

как

очередную

(пятую по счету) практическую

рекомендацию.

 

 

 

 

Если точка Ai<zzRn пробегает прямую линию, то характер

движения

ее проекции

Л „ + 1 , п + 2

на

плоскости

а,г / 2 + 1 сразу

ра­

скрывает до некоторой

степени особенности

действующего в

Rn

проекционного аппарата, т. е., иными словами,

особенности

искомой машины М2 (п->-2). Предположим, что точка A„+l,

n v 2

описывает

на Ол/г-н

также

прямую линию. Тогда есть

основа­

ния надеяться на выявление линейного проекционного

аппара­

та. Если в плоскости

a„/2 + i

очерчивается кривая второго поряд­

ка, то нужно думать о проекционной конструкции типа кон­

груэнции

(см. 3.3.4) и т. п.

 

 

 

Кроме

открытого

пространства

Rn допустимо рассмотреть

предельное пространство Rn+2

или некоторую предшествующую

ему ступень Rk

(k<in).

Во всех этих случаях нетрудно

развить

аналогичную

методику, связанную

с использованием

способа

проекций.

 

 

 

 

 

 

9. Иногда исследователь может распоряжаться только па­

раметрами входа машины хх,

..., хп.

Но довольно часто пара­

метры выхода также оказываются доступными для регулиро­ вания.

Например, изучая температурную реакцию человека на хи­ мические препараты р, v, удается дозировать только эти пре­

параты и нельзя дозировать по произвольному выбору

пара­

метр выхода — температуру f.

Условимся говорить

в

таких

случаях, что выход машины

изолирован.

 

 

Изучая температурную реакцию газа на изменение

объема

и давления, нетрудно дозировать практически не только

пара-

142

метры входа р, v, но и параметр выхода f. Кроме машины М(р, v-*-t), экспериментально доступной оказывается здесь и машина М(р, t-*~v), или M(w, t-*-p). Это машины с присоеди­ ненным выходом.

Рассмотрим машину М(п-+\) с присоединенным выходом. Фиксируем параметр xn+\t i и подвергнем экспериментальному обследованию геометрический образ FnczRn, сопоставленный выделенному параметру. Иными словами, нас будут интересо­ вать все те наборы (хн, х2и ..., xni) параметров входа, при воз­ действии которых имеем на выходе хп+1_ j = const.

Для намеченного обследования используем способ сечений или способ проекций, рассмотренные выше. Если в результате удастся выявить образ Fn, то прибегаем к аналогичной проце­ дуре еще несколько раз. Тогда начнет обрисовываться звезда, элементами которой служат образы /V 1 . Посредством этой звезды осуществляется в открытом пространстве Яп операция проектирования точек AiCiRn на пространство выхода R1. Сле­ довательно, указанная звезда и составляет структуру искомой машины М.2(п-+\). Остается высказать соответствующую ги­ потезу и проверить ее в новых экспериментах. Положительной стороной этого приема служит целенаправленный поиск про­

ектирующих

образов F'in. Прием в целом

может быть назван

способом стабилизации

параметров выхода.

 

 

10. В процессе поиска и изучения машины М2 (7г->-т)

важ­

ное практическое значение имеет обычно

процедура

ограниче­

ния машины

на входе.

Как показывает

само название,

сущ­

ность этой процедуры сводится к тому, что вместо набора па­

раметров (х\, ...,

хп) рассматривается другой набор (х/, ...,

хр'), причем р<.п.

Благодаря ограничению входа машины по­

нижается размерность пространства представлений, упроща­ ется структура машины и, в конечном итоге, удешевляется, ус­ коряется эксперимент.

Конечно, сокращение числа параметров входа достигается не за счет прямого отбрасывания, а за счет некоторого специ­ ального их видоизменения. Обратимся к примеру.

П р и м е р . Из пунктов Л и В одновременно вылетают и дви­

жутся

равномерно

и прямолинейно объекты Ot и 02 .

Изменя­

ются параметры х\,

..., хе, определяющие

положение

пунктов

А и В.

Изменяются

параметры х7, ..., Х\2,

определяющие на­

правления и скорости движений. Требуется сконструировать машину М2 ( 1 2 1 ) , которая позволяет по заданным парамет­ рам входа находить параметр х13 — кратчайшее расстояние

143

между объектами Oi и 02 , возникающее в некоторый

момент

их совместного полета.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отвлечемся от экспериментальной стороны этой задачи, тем

более, что все

необходимые

здесь теории

первого

и

второго

 

 

 

 

 

 

 

уровня известны из курса фи­

 

 

 

 

 

 

 

зики, и сосредоточимся на воп­

 

 

 

 

 

 

 

росе

 

о

выборе

 

параметров

 

 

 

 

 

 

 

входа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Небольшое

 

размышление

 

 

 

 

 

 

 

над

существом

 

поставленной

 

 

 

 

 

 

 

задачи

(рис.

4.7)

 

показывает,

 

 

 

 

 

 

 

что

вместо

параметров

Х\,

 

 

 

4j - относительное

 

%\2

целесообразно

использовать

 

 

 

 

/первые

-

 

на

входе

машины

параметры

 

 

 

 

•Мщение

0г

 

х\,

..., х5',

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

4.7

 

 

 

а)

 

Х\,

х2,

 

xz'

— координаты

 

 

 

 

 

 

 

пункта В в системе

отсчета, свя­

занной с пунктом А (т. е. координаты

точки А

постоянны);

б)

— угол между направлением

траекторий объектов

О]

и 02 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

Хь —отношение

скоростей

объектов

0 2

и

 

0 ) [ х 5 / = ^ ,

т. е. скорость

первого

объекта

принимается

за

масштабную

единицу и можно положить D i = l=const.

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, по

параметрам

хь

..,

 

х\2

всегда

можно

найти

Х\, ...,

х$.

С другой стороны, по Xi,

...,

х$

 

всегда

можно

вы­

явить

ответ — х1 3 . Следовательно,

машина

М2 (12—>-1)

распа­

дается на две

последовательно действующие

машины:

 

 

М / [ ( х ь .... х12)-+(х{',

.... xs')]+W[(xi',

 

 

-

 

х5')-+х1Я]

=

 

 

 

 

= 1М2[(хи

 

хх2)

—>лг13].

 

 

 

 

 

 

А так как непосредственное

 

измерение

второй

группы

пара­

метров

(х/,

...,

х5 ) практически

не более

затруднительно,

чем

измерение

первой

группы (xlt

...,

х12),

 

то машину

 

М 2 '(12^ - 5)

удается просто отбросить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом и заключается эффект процедуры, наименованной

выше ограничением машины на входе.

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Геометрическая интерпретация ограничения входа осо­

бенно удобно разворачивается в открытом пространстве

Rn.

Пусть

имеется

машина

М2(п-+пг).

 

В пространстве Rn

она

представлена операцией проектирования точек Ai<zzRn на не­

которую поверхность FmczRn

(3.7.7). Выберем в Rn

подпрост­

ранство Rh,

включающее F™. Точку AczzRn проектируем сна­

чала на Rh,

а затем внутри Rh

— на Fm. Эта двойная

операция

144

 

 

 

должна быть равносильна прямому проектированию А

на

Fm.

Тогда

первую

часть операции можно отбросить, при

условии,

что проекции

точек AiCzRn

па Rh заданы.

 

 

 

 

В рассмотренном выше примере проектирование

точек

AidRi2

на R1

было разбито на два этапа: проекция R12

на

R5

и проекция R5

на R1. Наглядная иллюстрация подобных фак­

тов приведена

на рис. 4.8. Точки R3 проектируются с помощью

звезды

Ri'2,3

на прямую I. Эта операция равносильна двум

последовательным

действиям: переход от Rz

к R2<zzl при

по­

средстве звезды

б"?'1 '3 , затем переход от R2

к R1

при

посред-

стве звезды

о 0, 1,

2

 

 

 

 

 

i „

 

 

 

 

 

 

12. Эта геометрическая

модель сразу убеждает

в том, что, с

теоретической точки зрения, ограничение входа машины воз­ можно всегда, если только размерность входа превышает раз­ мерность выхода. Но на практике, согласно сказанному ранее, решающую роль играет доступность проекций А1а, Л2„ . . в о з ­ никающих в пространстве-посреднике. Обычно выбор простран­ ства-посредника подсказывается конкретными условиями и осуществляется неформально, как это и было продемонстриро­ вано на примере задачи о полете объектов О! и 02 . Однако иногда попытку ограничения входа машины полезно включить в план эксперимента.

Обратимся еще раз к машине М2 (п->

1). Фиксируем пара­

метр хп +1 и, прибегнув к спосо­

 

бу

стабилизации

параметров

 

выхода

(4.3.8), попытаемся

оп­

 

ределить проектирующий образ

 

Fn.

Для

этой цели

используем

 

способ

/г-мерных

 

сечений

 

(4.3.4—4.3.6). Если при различ­

 

ных

значениях

параметра

xn+i

 

сечения

образов Fy с

некото­

 

рым

 

пространством

Rk

имеют

 

достаточно удобную форму

(ср.

 

рис. 4.8), то есть основания вы­

 

брать

это Rh в

качестве

прост­

 

ранства-посредника и ограни­

 

чить

вход машины

от п до k.

 

В

любом

случае,

прежде

с -

чем

приступать

к

проведению

 

эксперимента, рекомендуется подумать о возможностях огра­ ничения входа. Как ясно видно из приведенного примера, по­

стоянным источником различных неформальных

ограничений

10 зак. 886

145

Смотрите также файлы