ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.07.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
ходящего узла сГ^ и наклонением орбиты /, а положение перигея в плоскости орбиты — угловым расстоянием ш от восходящего узла. Текущее положение КА или цели
на орбите |
может быть |
определено |
истинной |
анома |
|
лией 9 и |
радиусом |
г. |
В некоторых |
случаях |
вместо |
угла 9 используется |
угол |
« = ш + 9. |
|
|
|
|
|
Рис. |
2.1. |
Геоцентрическая |
и |
орбитальная |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
системы координат |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Axryrzr— |
геоцентрическая |
вращающаяся |
система |
|||||||||||
с началом А в центре Земли |
(рис. 2.1). Ось Ауг |
системы |
||||||||||||
направлена по |
текущему радиусу-вектору цели, |
а |
ось |
|||||||||||
Azv—по |
вектору |
ее |
угловой |
скорости |
движения |
на |
||||||||
орбите. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Oxyz— орбитальная система |
координат |
с |
нача |
|||||||||||
лом О в центре масс |
цели (рис. 2.1). Оси этой системы |
|||||||||||||
параллельны |
соответствующим |
осям |
геоцентрической |
|||||||||||
вращающейся |
системы |
координат. |
Орбита |
цели |
в об |
|||||||||
щем случае может быть оскулирующей. |
|
|
|
|
|
|||||||||
4. OxnyHzH—орбитальная |
|
невращающаяся |
система. |
|||||||||||
Начало |
этой |
системы |
совпадает |
с началом |
системы |
|||||||||
Oxyz, |
а ее оси перемещаются |
поступательно. В началь |
||||||||||||
ный |
момент (£=0 или 9 = Э0) |
система OxHynzB |
|
совпадает |
||||||||||
с орбитальной |
системой. |
|
D, |
|
|
|
D, |
|
|
|||||
5. |
Сферические |
координаты |
<р, |
Ѳ и |
<pH, 0Н |
|||||||||
(рис. 2.2). При этом индекс «н» означает, |
что углы <рн |
|||||||||||||
и Ѳн |
определяются |
относительно |
невращающейся |
си |
||||||||||
стемы |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20
Заметим, что для описания относительного Движе ния космического аппарата и цели геоцентрическую вра
щающуюся систему, а |
также |
орбитальные системы |
иногда удобнее связывать |
с КА. |
При дальнейшем изло |
жении использование таких систем всякий раз будет оговариваться.
Рис. 2.2. Сферические координаты
Как уже отмечалось, при решении одной и той же задачи могут использоваться несколько различных си стем координат. Поэтому в процессе решения необхо
димо |
уметь |
переходить |
от |
одной |
системы координат |
|||||
к другой. |
|
|
|
|
|
|
|
D, |
ф, Ѳ или D, фн , |
|
Переход от сферических |
координат |
|||||||||
Ѳн к прямоугольным X, у, |
z |
или ха, |
уа, |
zH |
осуществляется |
|||||
по формулам: |
|
y = D cos Ѳ sin 9; z= |
— D sin Ѳ; 1 |
|||||||
X—D |
cos Ѳ cos 9; |
|||||||||
xH=Dcos8Hcos9H; |
yH==Dcos 6Hsin 9H ; zH= |
—Dsin9H . j ^2 "1 ^ |
||||||||
Формулы обратного перехода легко получить при |
||||||||||
рассмотрении |
рис. 2.2: |
|
|
|
|
|
|
__. |
||
|
|
|
D^Vx2+ |
|
|
y2 |
+ |
z*; |
|
|
|
9 = |
arctg • |
= |
— arctfif |
|
|
|
|||
|
|
|
D = Vxl |
|
+ |
yl |
+ |
z*; |
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9H = |
arctg-^а-; Ѳн = |
- |
arctg |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ4+Л |
||
21
Связь между двумя системами прямоугольных коор динат, имеющих общее начало, может быть осущест влена с помощью направляющих косинусов <x,j, под ко торыми понимаются косинусы углов между осями Оі 1-й системы (і=Хі, уи z*) и осями Oj /-й системы (/ =
Обычно направляющие косинусы записывают в виде таблицы
|
Х! |
Уj |
1 г, |
|
Л , |
а и |
а, 2 |
а 13 |
|
|
|
|
|
(2.3) |
Уі |
а 21 |
а 22 |
а ? з |
|
|
а 81 |
а 32 |
а |
з з |
или матрицы |
|
|
|
|
|
*П |
"12 |
"'13 |
|
|
*?1 |
а 22 |
а 23 |
(2.4) |
|
і.м |
а 3 2 |
а . |
j |
|
u . 3 3 |
|||
Тогда координаты точки в системе Oxjt/jZj при пере ходе к системе OxiijiZi преобразуются с помощью
матрицы [Аіз]:
XJ
Уі = [A,j] • У) (2.5)
*1-
В координатной форме это преобразование запи шется в следующем виде:
Хі |
= |
a n J C ; + а и у у |
+ а 1 3 2 / , j |
|
Уі |
= |
*21*у + а 2 2 У / |
+ « 2 3 2 / , |
(2.6) |
Если же необходимо перейти от системы 0%ji/jZä к си стеме Oxjt/jZj, то преобразование координат осущест вляется с помощью транспонированной матрицы
У} |
Уі |
(2.7) |
Uzj J |
Lzi |
J |
22
В координатной форме это преобразование будет иметь такой вид:
Xj |
= |
* n x t + |
Ч1У1 |
+ |
S A ! |
|
у . |
= |
а 1 2 Х ; + |
а 2 2 У « |
+ |
a32z<"> { |
( 2 - 8 ) |
В силу ортогональности преобразования на направ ляющие косинусы накладываются следующие условия:
—сумма квадратов элементов любой строки или столбца равна единице;
—сумма парных произведений соответствующих элементов, взятых в любых двух строках или столбцах, равна нулю;
—любой из элементов равен соответствующему ему алгебраическому дополнению.
Запишем теперь матрицы направляющих косинусов между введенными выше прямоугольными системами координат.
1. Матрица \А00 ] перехода от системы OxHyazH к системе Oxyz:
'c o s ( » - & o )
И о о н ] = |
I |
— sin (ft — Ѳ0) |
|
0 |
sin (&-&„) |
О" |
|
cos ( & - » „ ) |
0 |
(2.9) |
O l . |
|
|
Чтобы перейти от орбитальной системы координат Oxyz к геоцентрической вращающейся системе, доста точно воспользоваться формулами параллельного пере носа:
|
хг |
= х; уг = у + г, zr = z, |
|
|
где г —текущий |
радиус-вектор цели. |
AxryrzT к си |
||
2. Матрица [Ла г ] перехода от системы |
||||
стеме |
Axay.Az&: |
|
|
|
cos fi, sin и + |
И.г] = |
|
||
cos S\j cos и — |
sin «TL sin /' |
|||
+ |
sin S\_, cos и cos i |
— sin fi, sin и cos i |
|
|
sin S\j sin и |
|
sin <f^ cos и - f |
-cos <f£, sin i |
|
|
cos €{_, cos и cos i |
-\- cos (f^, sin и cos i |
|
|
|
cos и sin г |
|
sin и sin г |
cos г |
|
|
|
|
(2.10) |
23
|
§ 2.2. У Р А В Н Е Н И Я |
О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О Г О |
||||
|
Д В И Ж Е Н И Я В О Р Б И Т А Л Ь Н О Й С И С Т Е М Е |
|||||
|
К О О Р Д И Н А Т |
|
|
|
||
При изучении |
относительного |
движения |
КА |
и цели |
||
в наиболее |
общей |
постановке |
необходимо |
учитывать, |
||
что оба |
аппарата |
могут совершать управляемый |
||||
полет. |
|
|
|
|
|
|
Относительное движение цели и КА будем |
рассма |
|||||
тривать в орбитальной |
системе координат Oxyz (рис. 2.1), |
|||||
начало которой связано с центром масс цели. |
|
|
||||
Для записи уравнений относительного движения вос пользуемся теоремой Кориолиса, устанавливающей за висимость между ускорениями материальной точки в
абсолютном и относительном |
движениях: |
|
Wt=We+W,+ |
We, |
(2.11) |
где Wgj— вектор абсолютного ускорения центра масс КА; We — вектор переносного ускорения; Wr — вектор относительного ускорения КА; Wc — вектор ускорения Кориолиса.
Абсолютное движение рассмотрим в неподвижной системе координат Axay.dza (рис. 2.1). Векторы, входя щие в уравнение (2.11), равны:
We = |
Г ц + |
е X D + ш X (о) X D)\ ' |
( 2 1 2 ) |
||
|
WC |
= 2^X |
Ѣ, |
|
|
где Fe—главный |
вектор внешних сил, |
действующих |
|||
на КА; m — текущее значение |
массы КА; |
|
\ѴЦ—вектор |
||
ускорения начала орбитальной системы координат, т. е. вектор абсолютного ускорения, действующего на цель; ,D — вектор относительной дальности, определяющий положение центра масс КА относительно цели; D,
24
