Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

РЕ Ш Е Н И Е

Сприведенными рассуждениями согласиться нельзя. Ника­ кого разветвления первоначального тока не происходит. В дейст­ вительности ход событий выглядит так: подключение вольтметра приводит к уменьшению сопротивления участка цепи, что вызывает увеличение тока от источника; при этом увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника и, следова­ тельно, уменьшается падение напряжения на исследуемом уча­ стке. Чтобы этого избежать, надо подбирать вольтметр, сопро­ тивление которого велико по сравнению с внутренним сопротивле­ нием источника. Подтвердим это расчетом.

Любую сколь угодно сложную схему с точки зре­ ния режима сопротивления R можно представить себе следующим образом: отключим сопротивление R от схемы; между теми точками, где оно было подключено раньше, существуют какое-то сопротивление г и какая-то разность потенциалов U; эту разность потенциалов можно рассматривать как э. д. с., а г — как внутрен­ нее сопротивление источника э. д. с., подключенного к сопротивлению. Эквивалентная схема изображена на рисунке.

Итак, сопротивление R подключено к источнику с э. д. с.,

(Здесь и дальше используются формулы приближенных вычисле­ ний, приведенные в примечании к задаче 109.)

Таким образом, чем больше сопротивление вольтметра сравни­ тельно с внутренним сопротивлением источника, тем меньше по­

т. е. опять важна лишь величина отношения r/R0.

З А Д А Ч А 131

Соединены попарно каждая с каждой N точек одинаковыми сопротивлениями величиною R каждое. Определить сопротивление этой схемы между двумя любыми точками соединения.

Необходимо понимать, что наш результат совершенно не зависит от того, как расположены в пространстве указан­

ные N точек. Для задачи имеют значение лишь их электрические соединения.

164

З А Д А Ч А 132

Из сопротивлений Д15 i?2, R n собрана некоторая электри­ ческая схема. Точно такую же по структуре схему собирают из конденсаторов Сг, С2, ..., Сп, причем емкости конденсаторов под­ бирают так, что C1R1 = C2R2 — ... = CnRn — к, а элементы

Кзадаче 132.

иR %с одинаковыми порядковыми номерами занимают в соответ­ ствующих схемах одинаковые положения. Измерения показали, что емкость второй схемы между входными зажимами равна С.

Определить сопротивление R первой схемы между аналогич­ ными точками.

РЕ ШЕ Н И Е

1- й с п о с о б . Если вторую схему подключить входными зажимами к источнику переменного тока, то каждый из конденса­

торов окажет этому току сопротивление, пропорциональное величине 1 !С{ (коэффициентом пропорциональности является величина Т/2л, где Т — период синусоидального тока). Общее сопротивление схемы переменному току можно подсчитать при этом, используя формулы, применяемые для расчета сопротивлений разветвленных цепей постоянному току, причем величина этого

165

ковые блоки (см. рис. а, б). На основании закона сохранения за­ ряда qi + qx qm = О, I { + /, + I m'= 0, где qu qx, qm — за­ ряды на обкладках конденсаторов Сѵ Сх, Ст на пластинах, при­ легающих к точке А; I x, І х, І т — токи через сопротивления R iy R t, R m (токи, идущие в направлении узла А, условимся считать положительными). В общем случае, если в некотором узле соеди­ нены несколько конденсаторов (или сопротивлений), то

Рассмотрим еще один тип участка схем — любой замкнутый контур (рис. в, г). Вследствие потенциальности электрического поля Up + Ur + Uq = 0 для обоих контуров, где Up, Ur, Uq — падения напряжений на элементах с номерами р, г и q. И вообще для любого замкнутого контура работа перемещения заряда вдоль контура равна нулю, т. е.

суммирование производится по всем элементам, из которых со­ стоит замкнутый контур.

Для первой схемы напряжение Uх и ток І х через любое сопро­ тивление R x связаны законом Ома:

(3)

Для второй схемы напряжение и величина заряда связаны

Сравнивая уравнения (1) — (4), нетрудно заметить, что они отличаются друг от друга только постоянными коэффициентами R x и 1/С* перед неизвестными величинами (£/ä, / { — для первой схемы, Ui11, qi — Для второй).

Допустим, что для второй схемы нам удалось определить все

схем. В частности, его можно применить к элементам, находящимся у входных зажимов схем. Следовательно,

R = U/I = CiRiUM/q = CiRi/C = klC.

При расчете токов и напряжений на элементах первой схемы мы используем закон сохранения заряда, потенциальность элект­ ростатического поля, закон Ома, которые записываются в виде системы уравнений (1) — (3).

Получим важное следствие из этих уравнений. Все сказанное в дальнейшем применимо и ко второй схеме, если везде вместо слова „ток“ подставить слово „заряд“.

166

Приложим к входным зажимам напряжение U1-1'1 и определим токи Іі ’ и напряжения Щ' на всех элементах схемы. Затем опре­ делим такие же величины I f' и Щ ' , если к входным зажимам приложено напряжение

Докажем, что если к входным зажимам приложить напряжение 1 /(і) л- f/(2)? т0 токи и напряжения на элементах схемы окажутся равными соответственно ТУ' + Tf' и Щ' + Щ ' .

Для доказательства достаточно проверить, что условия тео­ ремы не противоречат указанным основным законам.

Из очевидных равенств

следует, что этих’ противоречий нет, и теорема доказана.

Содержание теоремы кратко можно сформулировать следующим образом: электрические схемы для постоян­ ного тока подчиняются принципу суперпозиции.

З А Д А Ч А 133

Имеется бесконечная плоская сетка с квадратными ячейками, изготовленная из проволоки. Сопротивление отрезка проволоки длиной, равной стороне ячейки, равно R. Чему равно сопротивле­ ние между двумя ближайшими узлами сетки?

Р Е Ш Е Н И Е

Воспользуемся принципом суперпозиции (см. пояснение к пре­ дыдущей задаче).

Рассмотрим любой из узлов сетки, например А (см. рис. а). Возьмем источник питания с любой э. д. с. и включим его между точкой А и бесконечно удаленной точкой так, чтобы положитель­ ный зажим источника был соединен с А. Вследствие симметрии схемы ток I из точки А разветвится на четыре одинаковых тока / 0,

т. е. / 0 = //4.

Отключим после этого источник питания и включим его так, чтобы отрицательный зажим был соединен с соседней точкой В , а положительный — с бесконечно удаленной точкой (рис. б). Ток /, поступающий в источник через точку В, приходит в В по четырем совершенно равноправным направлениям, и, следовательно, по каждому из них течет ток / 0, т. е. / 0 — //4.

Возьмем два одинаковых источника питания и включим их так, как указано на рис. в, соединив отрицательный полюс одного и положительный другого с бесконечно удаленной точкой. На рис. г изображена эквивалентная схема такого включения источ­ ников. Точка С — бесконечно далекая точка.

167

Для определения тока через перемычку А В по принципу суперпозиции (см. задачу 132) достаточно сложить токи, проходя­ щие через эту перемычку и создаваемые источниками по отдель­ ности: і а в = 2/ 0 = //2.

Таким образом, ровпо половина тока 7, проходящего через каждый источник, течет через перемычку AB. Следовательно, сопротивление всей остальной сетки равно сопротивлению пере­ мычки AB, а полное сопротивление между точками А и В равно

В/2.

ЗА Д А Ч А 134

Вутюге с терморегулятором Т, включающим или выключаю­ щим нагревательный элемент R (в зависимости от температуры утюга), для визуального контроля за исправной работой регуля­

тора используется лампочка Лх от карманного фонаря, включен­

іе задаче 134.

пая по схеме рис. а. Шунт г подбирается так, чтобы ток через лампу соответствовал ее рабочему току.

Спрашивается, почему не используется более простая схема (см. рис. б) с лампочкой Лг, рабочий ток которой равен току через нагревательный элемент?

168