Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Р Е Ш Е Н И Е

Распространенное стремление привлечь для объяснения пере­ распределение зарядов на пластинах конденсатора и, следова­ тельно, изменение его потенциальной энергии, несостоятельно. Перераспределение заряда действительно имеет место, но лишь в то время, когда электрон находится вблизи пластин. Это пере­ распределение происходит с конечной скоростью (вследствие конеч­ ной скорости движения электрона), и потери энергии на излуче­ ние и джоулеву теплоту малы (ср. с задачами 123, 124). Электрон, находящийся на большом удалении слева от конденсатора (исход­ ное состояние, см. рисунок) и на таком же расстоянии справа (конечное рассматриваемое состояние), на распределение заряда на конденсаторе влиять не может.

Уточним .условия задачи.

а) Пластины можно считать бесконечными в физическом смысле. Это значит, что размеры пластин конечны, но существенно пре­ вышают расстояние между ними. Если же пластины конечны, хотя и велики, то в данной задаче нельзя пренебрегать обычно не учитываемым краевым эффектом. На рис. а изображено схемати­ чески поле такого конденсатора. Легко видеть, что оно существует

ивне пластин, где оказывает на электрон действие, противопо­ ложное действию поля между пластинами, т. е., применительно к нашему рисунку, замедляет электрон и перед конденсатором (в области А), и после него (в области В), в то время как внутри конденсатора электрон ускоряется.

б) Пусть пластины бесконечны в математическом смысле (хоть это, конечно, чистая абстракция). В этом случае нам придется учесть потенциальную энергию электрона. Сравним потенциаль­ ные энергии в лежащих слева и справа от конденсатора точках А

иВ (рис. б). Пусть фд = 0. Точка В находится в бесконечности.

Вобычных задачах из любой бесконечной точки А в любую дру­ гую такую же точку В можно попасть, минуя все те области пространства, где есть поле, а пробный заряд испытывает дейст­ вие электрических сил. Поэтому в таких задачах Фа = фв- В на­ шем же случае такого пути нет. Точки А и В разделены бесконеч­ ными пластинами. Попасть из А в В можно лишь пройдя сквозь конденсатор. Но внутри конденсатора пробный заряд испытывает действие поля, для перемещения заряда нужно совершить работу,

и, следовательно, Фа ф фвТаким образом, в поставленной задаче существуют бесконечно

удаленные точки с разными потенциалами.

Закон сохранения энергии применительно к электрону имеет вид

тѵ\!2 + фАе = тѵ%!2 + фВе,

где па и ѵв — скорости электрона слева и справа от конденса­ тора, ѵа ф ѵв, Фа = 0, фв = ф, ф — разность потенциалов пла­ стин конденсатора (ср. задачу 106, а).

154

З А Д А Ч А 122

Определить запас электростатической энергии, которой обла­ дает металлический шарик радиусом R с зарядом q (см. рисунок).

Р Е Ш Е Н И Е

Если предоставить зарядам разлетаться, то, удаляясь бес­ предельно от шарика и друг от друга, они способны совершить определенную работу. Подсчитаем работу, необходимую для того, чтобы эти рассеянные заряды вновь собрать на шарик. Очевидно, что величина этой работы и определяет запас электростатической энергии шарика.

В дальнейшем мы будем пользоваться математической терми­ нологией, это удобнее. Если мы говорим, что два заряда „беско­

/ \

жено на рисунке. Однако при этом будет трудно подсчитать работу перемещения зарядов, так как каждый из них взаимо­ действует со всеми остальными.

Электростатическое поле потенциально. Поэтому величина искомой работы не зависит от способа перемещения зарядов (здесь и в аналогичных задачах, когда говорится о работе пере­ мещения заряда в электростатическом поле, то подразумевается, что кинетическая энергия заряженного тела при перемещении неизменна). Удобно (для расчета) перемещать заряды постепенно, т. е. так, чтобы при перемещении одного из них остальные были неподвижны.

Поместив на шарик первый электрон, работы мы не совершим. После этого потенциал шарика увеличится до значения = e/R. Для перемещения второго электрона придется совершить работу

155

Пусть q = пе. Тогда работа, необходимая для зарядки шарика, определяется выражением

металлическому шарику свободные электроны на самом шарике также перемещаются. Из-за этого плотность заряда на шарике становится неравномерной, и возникает собственное поле шара, так что работа перемещения нашего электрона отлична от нуля. Если перемещать электрон к уже заряженному шару, то перерас­ пределением зарядов можно пренебречь в том случае, когда взаи­ модействие друг с другом зарядов на шаре значительно больше их взаимодействия с приближающимся электроном, т. е. когда заряд шара значительно больше заряда электрона.

Во-вторых, как известно, свободные электроны и ионы кри­ сталлической решетки шара совершают непрерывное хаотическое движение. Расстояния между заряженными частицами изменяются, благодаря чему плотность заряда на шаре претерпевает все время случайные изменения (флуктуации). Следовательно, утверждение „потенциал поверхности шара постоянен“ справедливо лишь приблизительно. Погрешностью этого утверждения можно пре­ небречь, если флуктуации поля шарица значительно меньше вели­ чины средней напряженности этого поля, что имеет место, когда заряд шара значительно превышает заряд электрона.

Сформулированное ограничение является обычным требова­ нием так называемой макроскопической электродинамики, кото­ рая сознательно не учитывает атомистического строения электри­ ческого заряда: считается, что заряд меняется непрерывно и сплошным непрерывным образом распределяется на заряженных участках тел. Поэтому все законы этой теории и их следствия справедливы только для заряженных тел, значительно превыша­ ющих электрон по размерам и величине заряда.

Таким образом, значения нескольких первых членов суммы в выражении (1) являются ошибочными; более же далекие члены

указанными ошибками можно смело пренебречь. Выражение же (1) самостоятельного смысла не имеет.

И еще одно. Так как емкость шарика равна R, выражение (2)

156

Легко показать, используя изложенный способ, что потен­ циальная энергия любой системы с емкостью С вычисляется по формуле (3).

З А Д А Ч А 123

На конденсаторе емкостью С находится заряд q. Энергия, запасенная на конденсаторе, равна тогда д2/2С (см. задачу 122). К этому конденсатору проводами без сопротивления подключили (обкладка к обкладке) точно такой же, но незаряженный конден­ сатор. Подсчитать энергию системы двух конденсаторов.

Р Е ШЕ Н И Е

Иной читатель скажет: „А зачем подсчитывать? Провода без сопротивления, потерь энергии нет, работы при подключении не совершалось, следовательно, энергия системы должна равняться первоначальной энергии одного конденсатора, т. е. величине q2/2C.“

Не будем, однако, торопиться. При подключении второго конденсатора заряд системы не изменится, а емкость С' увели­ чится вдвое. И тогда энергия системы окажется равней q^HC' — = ф!4С, что составляет половину ее первоначального зна­ чения.

Стало быть, мы имеем дело с нарушением закона сохранения энергии? Разумеется, нет. В рассматриваемом случае подавляющая часть „исчезнувшей“ энергии выделяется в виде джоулева тепла на соединительных проводниках. И не имеет значения, что их сопротивление равно нулю: тогда в первый момент по закону Ома ток через проводники будет бесконечно большим! Для наглядно­ сти пусть это сопротивление не нулевое, а очень мало, соответст­ венно ток очень велик. Выделяющееся тепло, следовательно, выражается произведением очень малого числа на очень большое. Нельзя заранее утверждать, что такое произведение равно нулю. Ситуация может оказаться похожей на давно известное „с миру по нитке — голому рубашка“.

Выполним необходимые расчеты.

С заряженного конденсатора на незаряженный перетекла поло­ вина заряда, т. е. q/2. Этот процесс начался при разности потен­ циалов ф = qlC и закончился при разности потенциалов, равной

перемещении работу. Она окажется равной Ѵ2 (q2/2C), т. е. в точности соответствует „потерянной“ энергии. Эта работа вы­ полняется за счет потенциальной энергии, запасенной в первом конденсаторе, и расходуется (если пренебречь излучением) на увеличение кинетической энергии элементарных переносчиков заряда — электронов, а при остановке последних превращается

в тепло.

Из задачи необходимо сделать следующие выводы:

157

а) при заряжении и перезарядке проводников неизбежны по­ тери энергии на джоулево тепло;

б) пользоваться законом сохранения энергии в таких случаях следует очень осмотрительно.

З А Д А Ч А 124

На упругий проводящий шарик массой т, несущий заряд q, падает с высоты h такой же шарик с зарядом а) q, б) —q. На какую высоту подскочит шарик после удара? Нижний шарик через изолирующую прокладку жестко связан с Землей. Радиусы г шариков много меньше h.

РЕ ШЕ Н И Е

Вслучае а) потенциальная энергия верхнего шарика, опреде­ ляемая электростатическим и гравитационным нолями, одинакова

вмомент начала падения (т. е. на высоте К) и в верхней точке подъема после соударения, так как кинетическая энергия шарика

вэтих точках равна нулю, а перетекание зарядов с шарика на шарик при соударении отсутствует, так как одинаковые шарики несут одинаковые и одноименные заряды. Следовательно, шарик отскочит на ту же высоту h. Следует добавить, что при больших значениях зарядов q соударения вообще не будет, а при еще больших верхний шарик, если его предоставить самому себе, даже начнет подниматься вверх (это значение заряда легко вы­ числить).

Случай же б) в рамках элементарной физики рассмотреть не­ возможно. Дело в том, что в момент столкновения заряды q и —q взаимно уничтожаются. Этот процесс будет сопровождаться

выделением тепла и возникновением электромагнитного излуче­ ния. Подсчитать, какая часть первоначальной потенциальной энергии верхнего шарика перейдет в тепловую энергию и энергию излучения, простыми способами нельзя (см. задачу 123).

Заметим, что в случае а) часть энергии также переходит в тепло

ив энергию излучения, но для лабораторных величин зарядов

искоростей этой частью можно смело пренебречь.

З А Д А Ч А 125

По сфере с радиусом R, составленной из двух полусфер, рав­ номерно распределен заряд q. Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов. С какой силой необходимо действовать на каждую полусферу, чтобы они не расходились? Какой заряд нужно поместить в центре сферы, чтобы она находилась в равновесии?

Р Е ШЕ Н И Е

Для решения задачи воспользуемся методом, который мы уже применяли в механике (см. задачу 45) и в молекулярной физике (см. задачу 83): подсчитаем работу, которую нужно выполнить,

158