Файл: Липчин Ц.Н. Надежность самолетных навигационно-вычислительных устройств.pdf

труда), которые повышают стоимость изделия. Экономи­ ческую эффективность изделия вычисляют по формуле

Кы — Ко

где Яо — исходный уровень надежности; Рм — уровень надежности после проведения опреде­

ленного мероприятия; Ко — начальная стоимость изделия;

Км — стоимость изделия после проведения меропри­ ятия, скорректированная с учетом снижения затрат на обслуживание.

Задачи, связанные с определением оптимальной на­ дежности, состоят в том, чтобы достигнуть экстремально­ го значения требуемого показателя с учетом заданных ограничений, наложенных на параметры изделия.

Рассмотрим наиболее характерные для практики оп­ тимальные задачи надежности.

7 2. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

Одним из эффективных методов повышения надежно­ сти системы является резервирование ее элементов. В то же время резервирование обладает и существенным не­ достатком, так как приводит к увеличению количества элементов, вызывая повышение стоимости.

Любую сложную систему можно представить как сис­ тему, состоящую из последовательного (в смысле на­ дежности) соединения элементов. Это значит, что отказ хотя бы одного (любого) из элементов приводит к пол­ ному отказу всей системы. На практике часто система состоит из взаимозависимых элементов. В этом случае вероятность безотказной работы системы можно предста­ вить в виде

Я=ПЛ, (7.3)

/-1

где РІ — вероятность безотказной работы і-го элемента. Для повышения надежности такой системы необходи­ мо увеличить надежность каждого элемента либо конст­ руктивно-технологическим способом, либо путем его резепвипования, либо в общем случае совместным примене­

нием обоих этих способов.

169

Если известна зависимость вероятности безотказной работы каждого і-го элемента системы от количества тем или иным способом подсоединенных к нему резерв­

Х= (х\, Х2,..., хп) :

Представляет интерес рассмотреть две задачи [42].

А. Повысить надежность системы до заданного уров­

/- i

Б.Получить максимально возможную надежность

системы при заданных затратах К, т. е. найти

рейшего спуска; линейного программирования и др. Рас­ смотрим основные из них.

170

Метод простого перебора возможных вариантов по­ строения системы является одним из наиболее простых и очевидных методов решения задач А и Б. Он заключает ся в рассмотрении только таких допустимых векторов X, что при решении задачи А выполняется условие (7.7), при решении задачи Б — условие (7.9).

После сравнения между собой всех допустимых век­ торов X выбирается вектор Xovt, для которого в случае А значение /C(X0pt) является минимальным, а в случае Б значение P(Xopt) является максимальным. Этот метод применим при малом числе элементов п и вариантов их резервирования в системе.

Метод наискорейшего спуска позволяет находить экстремум функции путем последовательных шагов из начальной точки по направлению градиентаили по на­ правлению максимальной частной производной. Удобство этого метода заключается в том, что для решения рас­ сматриваемых задач не нужно знать аналитического вы­ ражения функции. Требуется только иметь значения функции и ее первых частных производных в момент каждого очередного шага процесса движения к экстре­ муму функции. В работах [53, 55] предложен практичес­ кий алгоритм решения задач А и Б при любых видах ре­ зервирования.

1. Составляется таблица значений:

PiU). рг (/). ••••> Рп (/)•

2. С помощью уравнения

171

Обозначив

(7. 13)

In g/

получим

(7. 14)

Подставляя (7. 14) в (7. 10), после некоторых преоб­ разований получим

1-1

Отсюда найдем значение т\ и, подставив его в (7. 14), бу­ дем иметь

(І-Р)аі

'п

2 « !

1=1

Вместо натуральных логарифмов можно пользовать­ ся десятичными.

Аналогичным способом составляется решение обрат­ ной задачи Б. Решение этих задач дает оптимальные значения х,-, которые в общем случае "получаются дроб­ ными. Но так как величины х\ по сути целочисленные, то метод неопределенных множителей Лагранжа дает при­ ближенное решение задачи, которое тем точнее, чем больше величины х%.

Рассмотрим практическое применение метода неопре­ деленных множителей Лагранжа на задаче выбора опти­ мальной структуры блока коррекции навигационного вы­ числителя, состоящего из пяти узлов, характеристики ко­ торых приведены в табл. 7. 1.

Требуется найти оптимальное значение кратностей резервирования каждого из узлов, которые обеспечили бы

173

174