Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
К И Е В С К О Е В Ы С Ш Е Е И Н Ж Е Н Е Р Н О Е Р А Д И О Т Е Х Н И Ч Е С К О Е У Ч И Л И Щ Е П Р О Т И В О В О З Д У Ш Н О Й О Б О Р О Н Ы
Э. Н. ЕРМОЛАЕВА, Л. П. Э Н Д Ж И Р Г Л И
ЭЛЕМЕНТЫ
ЧИСЛЕННОГО
АНАЛИЗА
Учебное пособие
Киев — 1973
У Д К 519.95 (075.2)
|
бибяко-. • |
ЧИТАЛЬНОГО і»А |
|
т |
0 |
В учебном пособии и з л о ж е н ы |
о с н о в н ы е м е т о д ы и |
п р и е м ы в ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к и . П о с о б и е со
с т а в л е н о на основе |
о п ы т а |
чтения л е к ц и й |
и прове |
||
д е н и я л а б о р а т о р н ы х |
р а б о т |
по численному |
а н а л и з у , |
||
о д н а к о б о л ь ш и н с т в о |
вопросов |
и з л о ж е н о |
шире, чем |
||
ато в о з м о ж н о в л е к ц и о н н о м |
курсе . |
|
|
||
П о с о б и е м о ж е т б ы т ь и с п о л ь з о в а н о |
с т у д е н т а м и |
||||
в ы с ш и х технических |
учебных |
з а в е д е н и й . |
|
|
П Р Е Д И С Л О В ИЕ
Бурное развитие современной техники и все большее внед рение современных разделов математики в инженерные иссле дования повысили требования к математической подготовке инженеров вообще и к умению владеть методами и приемами вычислительной математики — в частности, так как. решение инженерной задачи должно быть доведено до численного ре зультата.
Мощная вычислительная техника наших дней может быть разумно'использована только мри умелом,применении методов приближенного и численного анализа.
В нашей стране издано несколько книг, посвященных ши рокому кругу вычислительных вопросов, однако все они, как правило, слишком объемны, и пользоваться ими трудно.
Настоящее пособие содержит 9 глав, в начале которых да ются необходимые теоретические сведения, приводятся пол ные доказательства, примеры.
Поскольку одной из форм изучения приближенных методов математики и техники работы на вычислительных машинах являются лабораторные работы, то в конце каждой главы при водится описание выполнения лабораторной работы по соот ветствующему разделу.
На выполнение |
лабораторной |
работы |
слушатель обязан |
||
приходить уже ознакомившись с соответствующим |
теоретиче |
||||
ским материалом и описанием порядка выполнения |
работы. |
||||
Главы 3,5,6, 7 |
и |
параграфы |
1—7 |
главы 2 |
написаны |
Э. Н. Ермолаевой, главы |
1, 4, 8, 9 и § 8 главы 2 — Л. П. Эпд- |
||||
жирглн. |
|
|
|
|
|
Г л а в а 1
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В В Е Д Е Н И Е
Исходные данные для расчетов, полученные путем измере ний, содержат погрешности вследствие ограниченной точности измерительной аппаратуры. Кроме того, в ходе вычислений возникают так называемые неустранимые погрешности — по грешности действий с приближенными числами. По поводу правомочности приближенных вычислений академик А. Н. Кры лов писал: «...Для прикладных вопросов нет необходимости производить вычисления по абсолютно точным формулам с со вершенной точностью. Напротив, можно пользоваться заведо мо неточными формулами или приемами, лишь бы была уве ренность, что происходящая от этого погрешность не превыша
ет тех пределов, которые |
в данном вопросе допускаются... В |
|
приложениях обыкновенно интересует |
не процесс вычисления, |
|
а результат его, поэтому |
и стараются |
получить этот результат |
с достаточной точностью при наименьшей затрате труда и вре мени» *.
Настоящая глава посвящена |
целому ряду вопросов, свя |
занных с точностью результата вычислений. |
|
§' 1.1. А Б С О Л Ю Т Н А Я П О Г Р Е Ш Н О С Т Ь |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Г О |
Ч И С Л А |
|
Пусть а0 — истинное значение некоторой величины, которое может быть известным, но чаще является неизвестным.
Число а, которым можно заменить в вычислениях ао, назы вается приближенным значением (приближением) числа и0:
а ~ а„ .
* А. Н. К р ы л о в . Л е к ц и и о п р и б л и ж е н н ы х в ы ч и с л е н и я х . А 1 , Г И Т Т Л , 1954.
Абсолютной погрешностью или абсолютной ошибкой при ближенного числа а называется величина
А = | а0 — а | .
Так как в практических задачах точное значение а0 обычно неизвестно, то остается неизвестной и абсолютная погрешность. Однако в каждой задаче благодаря ее специфике возникает уверенность в том, что абсолютная погрешность принятого на- л;п приближенного числа не превосходит некоторого значения Аа > (•):
|
Л |
.А,,. |
|
|
(1.1) |
||
Так, например, |
производя измерения |
обычной линейкой, |
|||||
мы можем гарантировать, |
что |
абсолютная |
погрешность |
не |
|||
превысит 0,5 мм. |
Выбор числа |
Аа неоднозначен, так |
как |
не |
|||
равенству | а„ — а | < Аа |
удовлетворяет |
бесконечное |
множе |
||||
ство положительных чисел. Для |
улучшения |
точности вычисле |
ний из всего этого множества чисел нужно выбирать как мож но меньшее. .
Вопросы такого выбора Аа являются предметом теории обработки результатов измерений и здесь не рассматриваются. Найденное таким образом число Аа называется предельной абсолютной погрешностью и применяется в расчетах вместо точного значения абсолютной погрешности А.
Из неравенства |
(1 . 1) следует, что |
точное |
значение |
а0 |
за |
|||
ключено в отрезке |
[а |
— Аа , |
а + А; 1 ], |
где а— \ |
— приближе |
|||
ние числа а0 по недостатку, |
а 4- Аа — приближение числа |
а0 |
||||||
по избытку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для записи точного значения используют |
формулу |
|
|
|||||
|
|
а0 = |
а ± \ . |
|
|
|
(1.2) |
|
Абсолютная погрешность |
имеет размерность |
самого |
числа. |
|||||
§ 1.2. О Т Н О С И Т Е Л Ь Н А Я |
П О Г Р Е Ш Н О С Т Ь |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Г О |
|
|
||||
Ч И С Л А |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знание одной только абсолютной погрешности недостаточ но для характеристики точности результата, если не указан сам результат. Например, пусть абсолютная погрешность при измерении напряжения составляет 1 мВ. Если измерялось на пряжение для питания РЛС, то измерение проведено очень точ но, но, если измерялось напряжение приемного локационного сигнала, равное, допустим, 2 мВ, то ошибка измерения слиш ком велика. Поэтому для характеристики точности вычислений вводится понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью приближенного числа а на зывается отношение его абсолютной погрешности к абсолют ной величине-самого числа:
5 = - p | j , ( а * 0 ) . |
(1.3) |
Точное значение 3, как и А, неизвестно, и при расчетах применяется значение предельной относительной погрешности оа , удовлетворяющей неравенству
|
А |
< З а . |
|
(1.4) |
\а |
|
|||
|
|
|
||
Если известна предельная |
абсолютная погрешность |
Да , то |
||
в качестве 5., можно использовать |
отношение |
Аа |
|
|
: а I |
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
Л., |
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
11 наоборот, зная Зя , имеем |
|
|
|
|
Д а = й а |
| « ' . |
|
( 1 . G ) |
Относительная погрешность — величина безразмерная. В технических приложениях она приводится, как правило, в про
центном отношении. |
ІІапример, если «=-5,82 |
м, Л =0,01 м, то |
й = |
і г і г 3 0 , 0 0 1 7 - ° ' Х 7 % |
• |
Замечание. В дальнейшем при употреблении терминов «аб солютная и относительная погрешность» будем иметь і і виду предельные значения этих погрешностей.
§ 1.3. Д Е С Я Т И Ч Н А Я З А П И С Ь П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Х Ч И С Е Л . З Н А Ч А Щ И Е Ц И Ф Р Ы Ч И С Л А
В системе счисления с основанием q всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или беско нечной дроби:
а = а„ qn - f «, |
f . . . + ат q"~'" + . . . , |
(1.7) |
где а,- — целые положительные числа (0 < а,- < q), назы ваемые цифрами числа а, причем а0 ф 0. Число п называете! старшим десятичным разрядом числа а.
Например, в десятичной системе счисления |
(<7=10; |
?ч = 0, |
||
1,2,...,9) |
|
|
|
|
745, 63...=7 • 102 + 4 • 10' + 5 |
• 10° + 6 |
• 10 1 |
+ 3 • 10~2 |
+ . .. |
В двоичной системе (<7 = 2; |
а,- =0, 1) |
|
|
|
Ш 1 = 1 • 23 + 1 • Т + 1 • 21 + 1 • 2° ,
иэто же число в десятичной системе равно 15.
Ввычислительной практике оперируют с приближенными числами, записанными с помощью конечного числа разрядов.
Пусть по некоторым |
причинам, о которых |
будет |
сказано |
в |
||
§ 5, в приближенном числе а решено сохранить такие |
разряды: |
|||||
а = а0 • 10л + я, |
• Ю"-1 + • • • + я* • Ю'! -* , |
(1.8) |
||||
тогда все сохраняемые |
десятичные |
знаки xi |
(/ = 0, |
1 , . . . , |
k) |
|
называются значащими цифрами числа а. |
|
|
|
|||
Например, в числе |
|
|
|
|
|
|
а = 5 • Ю - 8 + 0 • Ю - 4 |
+ 2 - 1 0 -"' = 0,00502 |
- |
|
|||
— три значащие цифры 5, 0, 2; |
в числе |
|
|
|
||
Ь = 2 • 107 + 3 • 10е + |
0 • 10:' + 1 • 1 0 4 + 0 - Ю 3 = 23010000 |
- |
||||
— пять значащих цифр |
2, 3, 0, 1, 0, а последние три нуля, по |
|||||
явившиеся при позиционной записи |
числа, не считаются зна |
|||||
чащими цифрами. |
|
|
|
|
|
|
Из этого примера видно, что при позиционной записи при ближенных чисел могут возникнуть неясности по поводу коли чества значащих цифр. Поэтому для чисел, содержащих незна чащие нули, удобна следующая запись:
127 000= 1,27 • 105, если значащих цифр три; 127 000= 1,270 • 105, если значащих цифр четыре;
0,00412 = 4,1210~3, так как нули в начале числа всегда не значащие цифры, они не участвуют в десятичной записи числа
КФ о).
§ 1.4. О К Р У Г Л Е Н И Е Ч И С Е Л
Если число а, содержащее п значащих цифр, нужно при ближенно заменить числом а,\ с меньшим количеством знача щих цифр, то а\ выбирают так, чтобы погрешность округления Д„= ! а1 — а | была минимальной.
Правило округления. Чтобы округлить число до п знача щих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от п-к значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разря дов, заменяют их нулями. При этом:
1) Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то остав шиеся десятичные знаки сохраняются без изменения:
3.2499 % 3,2; Л0 = 0,0499 .
2) Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к по следней из оставшихся цифр прибавляется единица:
3,2601 ^ ; 3,3; Д0 = 0,0399 .
3) Если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди ос тальных отброшенных цифр есть ненулевые, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу:
3,2501 -5: 3,3; А0 = 0,0499 .
4) Если первая из отброшенных цифр равна 5 и все осталь ные отброшенные цифры являются нулями, то последняя из оставшихся цифр сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры):
3.2500 ^ 3,2; А0 = 0,0500 ;
3,7500 ^ 3,8; Д0 = 0,0500 .
Очевидно, что после округления погрешность округления не
|
1 |
превосходит |
единицы десятичного разряда, определяемого |
последней оставленной значащей цифрой.
§ 1.5. В Е Р Н Ы Е Ц И Ф Р Ы Ч И С Л А
Всякий инженерный расчет производится с определенной степенью точности, поэтому в приближенных числах нецеле сообразно сохранять слишком много значащих цифр. Прибли женные числа условились записывать так, чтобы по самому их виду можно было судить о степени их точности. Для этого вво дится понятие о верных цифрах (верных десятичных знаках) приближенного числа.
Цифра dk приближенного числа
а = «0 • 10" - f at • 10"-' + . . • 4- ак • 10"-* + . . . + « „ • Ю* ~ т
называется верной, если абсолютная погрешность Аа этого числа не превосходит пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой:
Аа < 5 • Ю"-*-1 , |
(1.9) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В противном случае цифра называется сомнительной. |
|
|||||||||
|
Следовательно, |
если |
а., |
— верная |
цифра, |
то и все преды |
||||
дущие цифры верны. |
|
|
|
а0 |
= 3,273 воспользовать |
|||||
|
Например, если для точного числа |
|||||||||
ся приближением |
а = 3,27, то цифра 7 (и все предыдущие) яв |
|||||||||
ляется верной,так как |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
0,003 <• 0,005 . |
|
|
||||
|
Или, если в результате некоторого расчета получено при |
|||||||||
ближенное |
число |
а = 2,634 |
с |
абсолютной |
погрешностью |
|||||
Аа |
=0,006, то цифра 6 (а следовательно, и 2) является |
верной, |
||||||||
так |
как - Аа <0,05, цифра |
же 3 |
(а следовательно, и 4) |
сомни |
||||||
тельна, так как Аа >0,005. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Термин |
<ш верных цифр» |
не следует |
понимать так, что в |
данном приближенном числе я первых цифр совпадают с соот ветствующими цифрами точного числа. Например, для точного числа а 0 = 35,97 число а = 36,00 является приближением с тремя
верными |
знаками 3, 6, 0, |
так как Аа =0,03<0,05, однако в |
|
числах а0 |
и а не совпадают все три цифры. |
||
§ 1.6. П Р А В И Л А З А П И С И |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Х ЧИСЕЛ |
||
1. В математических |
таблицах и при записи исходных дан |
||
ных приближенные числа |
записывают так, чтобы все знача |
||
щие цифры были верными. |
|
Абсолютная погрешность при этом не выписывается, а счи тается равной пяти единицам разряда, следующего за послед ней выписанной цифрой числа. Например, для заданного среди исходных данных числа а = 3,1472 следует полагать Д а =
=0,00005.
2.В приближенных числах, с которыми предполагается про изводить вычисления, сохргняют одну (или две) сомнительную цифру.
Абсолютная погрешность выписывается при этом с одной значащей цифрой в том разряде, какой следует за последней верной цифрой.
Например, в приближенном числе о = 6,472 с погрешностью
0,003 цифра 7 верна, так как |
А <0,005, а цифра 2 сомнитель |
на, поскольку А >0,0005. |
Результат записывают в виде |
6,472 ±0,003. |
|
3. Для записи приближенных чисел с необходимым количе ством цифр применяется округление.
І 0