Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если контрольное число оказывается больше 0,001, то это свидетельствует о наличии вычислительной ошибки.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.В чем состоит метод последовательных приближений для уравнения первого порядка?

2.Каковы условия равномерной сходимости п-го приближе ния к точному решению?

3.В чем состоит метод численного интегрирования диффе ренциальных уравнений, какова основная расчетная формула?

4.Какова идея метода Эйлера, как вычисляется &уя?

5.Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

6.Какая величина подсчитывается приближенно в методах Рунге—Кутта и Адамса—Крылова?

7.На каком предположении основан метод Адамса—Кры

лова?

I' л а в а 9

ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Постановка задачи. Гармоническим анализом называется представление данной функции f(x) тригонометрическим ря дом. Если функция f(x), определенная на всей оси, имеет пе риод 21, то тригонометрический ряд

4- N ak cos — j — х	kit	(9.1)
	х

k=i

скоэффициентами Эйлера—Фурье

/(х) dx ,

f	(x)	cos	kit	x	dx ,	(9.2)
			—j —
bk = ~ j " f	(x)	s i n	—j~	x	dx

называется рядом Фурье функции f(x)	и сходится к ней во всех
точках ее непрерывности, если f(x)	удовлетворяет условиям

теоремы Дирихле, т. е. ограничена и имеет конечное число ин

тервалов монотонности в промежутке		(—/; / ) .
Практически разложение функции в ряд Фурье сводится к
вычислению интегралов	(9.2), если	известен аналитический
вид f(x). Однако во многих практических случаях			функция
f(x) задается табличным	способом	или графически	и тогда

коэффициенты ряда следует отыскивать с помощью формул численного интегрирования.

Пусть функция y = f(x)				задана			в промежутке [0; 2т] и име
ет период 2т. Разделив			промежуток					на	п	равных частей точ
ками
*i =	( t	~ Р 2 *		;	і = 1, 2 , . . . , « + 1 ,
по формуле прямоугольников будем иметь:
	fl0 ^	1 -"					1	"		2т
	fl0 ^	V	у, Axt			=	—- /у= 1		УІ	~п
т. е.
		_2_		п
		_2_		V	УІ
		га		І = І
		2_		/г		cos kxt		,		(9.3)
		п		У уг		cos kxt		,		(9.3)
		п
		2		л
		2		У J/; Sin UJC;
		п
§ 9.1. М Е Т О Д	Ш А Б Л О Н О В

Цель метода — уменьшить число умножений в формулах (9.3) при вычислении коэффициентов ряда Фурье. Метод осно ван на том, что функции coskx и s'mkx при изменении х в про межутке [0; 2т j несколько раз принимают равные по абсолют ной величине значения.

Рассмотрим содержание метода на примере вычисления ко эффициента а\ при я = 20:

2 °

xt;

«і

JQ-

У]

УІ

cos

V у, cos

— \yx

cos

0°

cos

18° +y3

cos 36° -f- УІ

COS 54° +

г=і

+ уь

cos 72°

г/6 cos 90°] +

[y1 cos

(180°

72°)

y& cos (180° -

54°) +

cos

(180° -

36°) +

y10 cos (180° — 18°) +

cos

180°]

4- \yn

cos

(180°

18°)

. . . +

г/20

cos

(360° -

18°)] =

— ІУі + У2c o

18° +

Уз c o s 36е

4- У І cos 54°

4- уь cos 72° +

у и cos 72° 4

У18

cos 54° 4-

уіа cos 36° - f у30

cos 18°) — (уп

4- r/1 0

COS 18° 4

4- у9 cos 36° +

у» cos 54° 4- У: cos 72° +

4 yv> cosl8°

4- yls

cos 36° +

y „ cos 54° + yx,

cos 72°) . (9.4)

Таким образом, в расчете используют значения cosx и sinx

только в промежутке [0; - - - ] .

Составляем

табл. 9.1,

Таблица 9.1

9с

Уі cos/8' %cos36°

%Cos59' 9iCos729

'7//

/'/ A

У,

w///m

(ft

y.ccs/8'

92ccS5</c

9zCCS7Z°

У*

y3u>s 18*

93CcS5<t° </ъСоь71°

'9,

9чСс&Ъбс % ccs W

# cos'/'2'

& CAS 36* 9s cos 54° y}CoS72"

9б

У( CDi/8"yt Cos Ъ6°9i ccs59°

96Cos7Z°

9, ccs36" 9Tccs5*°

Cos 72*

У$

t/tCOi/6* 98ccs36" 9i ccsW

9» cos 72°

У9

9scoi/S°

9s cosi6°

9sccs5</c

9>ccs7Z'

У,* 9,.«>s/8e

9,0 СОІ36"9/cCcs&°

9„C0S72

У»

9ч">*№

9„ ccs 54° 9„co<.72"

У* <ttcos/8* y,z

Cos36"

yKccS72°

У»

y,sa>sl8* 9,Лсо%Ыа

9,s cos/2*

Яг

9„ cos/8'

y„ cossf

9м Cos 72°

У*

y,r Cos/8* 9„ caS6* faces 54' 9^ cos 72*

& cos/8* 9,t

ccs36*9*a>s5</"

9,7

9n cos/8* 9,ra>s36*9,rCes5^

9,7 ccs7T

Чи cos/8 °9ft

ызб* yitccssb" У/ЛСа7г*

Уч cos/8' $SCCS36'9,scos,s40

У„ cos 72'

го

9гс

Ух COS54*

9»cosi8

9»cos72

іде cos 18й = 0,951; cos 36й = 0,809;		cos 54° = 0,598; cos 72° = 0,309.
На шаблоне точно такого же размера и формы, как табли
ца, вырезают окошечки вместо		тех клеток, значения которых
вошли в сумму	(9.4) (рис. 9.1).
: У,	:

оо.$ I S :

\ytcosSi':

;</, cos 7^;

</, cos 7Ґ

Ч,СОІ 5<f'

% со» 36*

Чщ соІ 18'

уи cos IS'

У„ со і І6

У^СОІТҐ

,%СОІ 5V*i

=-= '•

і . ^

cos /g';

Р и с . 9.1

Накладывая шаблон на таблицу и совмещая заштрихован ные клетки, получаем

ах	_	,
где знаком Е(+ ) обозначена	сумма,	вошедшая в а} со знаком

+ , и, соответственно, £(_) — сумма, перед которой стоит знак

—. На шаблоне они обозначены различными цветами: крас ный соответствует £(-;•)» синий—£(_). і

Такие шаблоны изготавливают для нескольких первых ко эффициентов ряда *.

§ 9.2. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й Р А Б О Т Ы

Дан график кривой -у = f(x), выполненный на миллиметро вой бумаге (рис. 9.2).

Р и с . 9.2

Период разделен на 20 частей. Производя измерения зна чений уІ (на глаз), записываем их в табл. 9.1, форму для ко торой заранее подготавливаем. Затем, умножая yL на соответ ствующие значения cosx, полностью заполняем таблицу. Шаб лоны для вычисления ак и bk выдаются. Накладывая их на таблицу, находим коэффициенты по схеме

—

Коэффициент Оо вычисляем непосредственным суммирова нием:

2 0

* В и д ы	ш а б л о н о в	д л я k— 1, 2	10	п р е д с т а в л е н ы в книге В . И . С м и р
нова, « К у р с	высшей	м а т е м а т и к и » ,	т. I I .

Ряд Фурье запишем следующим образом:

Ak sin

(o)» х 4-

?*)

поэтому

для

найденных

коэффициентов

вычисляем

значения

«А по формулам:

sin

ак .

(9.5)

COS

—

Окончательно

получаем

(х) ^

-~-

Л, sin

(л

=?,) + A,

sin (2х

ъ)

• •

•

С П И С О К Р Е К О М Е Н Д У Е М О Й Л И Т Е Р А Т У Р Ы

А в д е е в а

Л . И.,

З у х о в и ц к и й С. И .

Л и н е й н о е

в ы п у к л о е

про

г р а м м и р о в а н и е .

М., « Н а у к а » ,

1968.

2. Д е м и д о в и ч Б . П . и М а р о н И. А. О с н о в ы в ы ч и с л и т е л ь н о й ма

т е м а т и к и .

М.,

« Н а у к а » ,

1960.

Д е м и д

о в и ч

Б .

П.,

М э р о н

И . А., Ш у в а л о в а

Э.

Ч и с л е н

ные

м е т о д ы а н а л и з а . М.,

« Н а у к а » , 1962.

П о л о ж и

й Г. Н.,

П а х а

р е в

Н . А.,

С т е п

а п е н

к о

И. 3. и д р .

М а т е м а т и ч е с к и й

п р а к т и к у м

п о д

ред .

Г.

Н . П о л о ж е г о .

М., Г о с у д а р с т в е н н о е

и з д а т е л ь с т в о ф и з и к о - м а т е м а т и ч е с к о й

л и т е р а т у р ы ,

1960.

5. С м и р н о в В . И . К у р с в ы с ш е й м а т е м а т и к и , т. I I . М., Г о с у д а р с т в е н

ное

и з д а т е л ь с т в о ф и з и к о - м а т е м а т и ч е с к о й л и т е р а т у р ы ,

1961.

6. Т е р е н т ь е в

В.

Д .

К у р с

п р и б л и ж е н н ы х

вычислений .

И з д .

В В И Л

им. п р о ф . Ж у к о в с к о г о , 1958.

Смотрите также файлы

Живов Л.Г. Привод и автоматика самоходных кранов.pdf

Завьялов В.М. Условия аккумуляции нефти и газа и закономерности размещения их в Днепропетровско-Донецкой впадине.pdf

Задорожный Я.Н. Конструкция и летная эксплуатация турбовинтового самолета АН-24 конспект лекций.pdf

Захарченко В.Н. Коллоидная химия учебник.pdf

Захарьящев Л.И. Конструирование СВЧ каскадов на резонансных линиях и спиральных фильтрах.pdf

Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно