Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Погрешность округления прибавляют к погрешности са­ мого числа, и результат округляют всегда в сторону увеличе­ ния *.

Например, если число а = 6,4738 имеет абсолютную погреш­

ность

Д., =0,0026, то цифра 7 верна, так как Д., <0,005, а

цифра

3 сомнительна, так как Да >0,0005. Сохраняя одну со­

мнительную цифру, получаем а ^ 6,474 с погрешностью округ­

ления 0,0002. Новую абсолютную погрешность

Д = 0,0002 +

+ 0,0026 = 0,0028 округляем

в сторону увеличения

Д =0,003 и

записываем окончательный

результат: 6,474 + 0,003.

4.Для больших чисел употребляется следующая запись: если в числе 12 732 000 цифра 3 сомнительна, а 7 верна, то это число записывают в виде 1,273107.

5.Если число 5 имеет абсолютную погрешность 0,003, то, сохраняя одну сомнительную цифру, следует писать 5,000.

§ 1.7. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е Р Н Ы Х Ц И Ф Р В Ш И Р О К О М С М Ы С Л Е

Приведенная в определении верных ци'фр оценка погреш­ ности иногда оказывается недостаточной для сохранения вер­

ных

цифр

при округлении.

Например,

в числе

а = 2,3854 с

Д.,

=0,0003 цифра 5 верна, а 4 сомнительна.

 

 

 

 

Округляя, получаем а = 2,385 и новую

погрешность

Д а =»

= 0,0003+ 0,0004 = 0,0007>0,0005, а

потому

цифра

5

теперь

• уже оказывается сомнительной. Если

округление

продолжить: s

а = 2,38;

Д а = 0,0007+ 0,005 = 0,006, то цифра 8 также

из вер­

ной превращается в сомнительную.

 

 

 

 

 

 

Действительно, приближенное число после округления име­

ет абсолютную

погрешность

Д -\- Д ' ,

где

Д — абсолютная

погрешность самого числа, а

Д ' — погрешность

округления.

Для того чтобы последняя после округления цифра

а.к была

верной, должно выполняться неравенство

Д + - Д '

: 5-10™

которое может

оказаться невыполнимым,

если

погрешность

округления близка (или равна) к максимальной

Д' М 8 к С

= 5 X

уi(v< *

Всвязи с этим в некоторых современных пособиях по чис­ ленным методам определение верной цифры вводится следую­

щим образом: цифра лк считается верной, если Д а <

OJ • 10"

где со — выбранный заранее параметр, причем 5 <

ш < 10.

В этом случае говорят о верных цифрах в широком смысле.

Чем больше о), тем больше таких чисел, для которых ис­ тинная погрешность будет завышена. Поэтому, если прибли-

* И с к л ю ч е н и е из этого п р а в и л а д о п у с к а е т с я в м а с с о в ы х р а с ч е т а х , т а к к а к п о л у ч е н н а я т а к и м о б р а з о м п о г р е ш н о с т ь м о ж е т о к а з а т ь с я с л и ш к о м за - и ы ш е ш ю н .

женные числа появляются в результате вычислений с доста­ точно точными исходными данными, то выгоднее брать м воз­ можно меньшим. Так, если ш =5,6, то можно доказать, что пос­ ле округления останется верной предпоследняя верная до ок­ ругления цифра.

В технических же расчетах приближенные числа получают­ ся в результате действий с исходными данными, содержащими ошибки измерений. При малых значениях ы нужно будет про­

изводить

округления, снижающие точность. Поэтому в этих

случаях

берут to близким к 10.

§ 1.8. О Ц Е Н К А О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О Й П О Г Р Е Ш Н О С Т И

ПО К О Л И Ч Е С Т В У В Е Р Н Ы Х З Н А Ч А Щ И Х Ц И Ф Р

В определении верной цифры приближенного числа указа­ на оценка абсолютной погрешности, если известен десятичный разряд последней верной цифры. Относительную же погреш­ ность можно оценить, если известно количество верных знача­ щих цифр числа.

Пусть

в приближенном числе

 

 

 

 

 

а =

±

(я„ •

10" +

. . . - + - лт.л

• 1

0 " - ' " - ( а 0

Ф 0)

имеется т верных

значащих

цифр

а(),

а, , . . . , ат

,.

Тогда но

определению последней

верной

цифры

5 • Ю " - " ' " 1 <

Д., < 5 X

X 10" "',

так как, если

бы

Аа

была

не больше

5 • 10"_ '"~| ,

то последней верной цифрой была

бы

а т . Разделив

правую

часть неравенства на | а |, получаем

 

 

 

? = —:' - <

 

5

'

1 0 Я " ' "

+ . .

 

 

.„ • 10" +- . . . -'г

0Lm

,10"-'" + '

 

 

5

• 10" " l

 

 

1

 

(1.10)

 

 

10"

2*0

• 10"

 

 

 

 

 

Таким образом, относительная

погрешность

тем

больше,

чем меньше количество верных значащих цифр.

 

 

§ 1.9. П О Г Р Е Ш Н О С Т И

Р Е З У Л Ь Т А Т О В

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х

 

Д Е Й С Т В И Й

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи. Основной задачей теории погрешностей является определение неустранимой погрешности при вычисле­ нии значений функции y = f(xi, Х2,...,хп) по известным по­ грешностям независимых переменных (исходных данных).

В дальнейших выкладках будем использовать обозначения: у, х1 — приближенные значения; у", х° — точные значения;

| Axt | = | xL — хп. | , | Ay I = j у — у I — абсолютные по­ грешности;

Л , А,-. — предельные абсолютные погрешности; 5у, 5Л.. — предельные относительные погрешности.

/. Погрешность суммы*

. .

^

„

« . . .

П У С Т Ь

,

"

**"

" * '

 

У = У л , .

 

 

(1.11)

 

/• 1

 

 

 

Абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чи­ сел:

| Ду | <

п

.

(1.12)

V \ Axt\

Действительно,так как

 

 

 

Ау = у - v(> = V Л^ . ,

 

 

( = 1

 

 

тс

 

 

 

; Ау | <

V | \xt

|.

 

 

(=i

 

 

Из определения предельной абсолютной погрешности сле­

дует, что І Axi | С Аг. т. е.

 

 

 

l A y K V A . ,

 

(1.13)

 

1=1

 

 

поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности сум­ мы выбирается правая часть неравенства (1.13).

Итак, предельная абсолютная погрешность суммы прибли­ женных чисел равна сумме предельных абсолютных погреш­ ностей слагаемых:

* Р а с с м а т р и в а е т с я а л г е б р а и ч е с к а я с у м м а , з н а к и x-t м о г у т б ы т ь л ю б ы м и .

A y - V A , . .

(1.14)

Предельная относительная погрешность суммы слагаемых одного и того же знака не превышает наибольшей из предель­ ных относительных погрешностей слагаемых:

 

оу

<,' max {o.r.j .

(1.13)

Действительно, пусть

х,->0,

i = 1, 2, ... , я, тогда

 

 

 

//

 

 

 

-Ч

У

^

 

 

' -1I

'

 

 

 

у

и так как

 

 

 

 

 

Л,, = -V, 3.t.,

 

то

 

 

 

 

V

X;

max {З.г} • V

х{

й., =

< —

^

« m a x ; 5 v . ; .

Правила сложения. Пусть складываются приближенные числа с разным количеством десятичных знаков. Из простои схемы

345, 4??? 9, 27?? 10. 021?

364, 6???,

где значком ? обозначена сомнительная цифра, видно, что обычное сложение нецелесообразно, поскольку не имеет смыс­ ла складывать верные цифры с сомнительными. Поэтому при сложении пользуются следующими правилами:

1) составляют без изменения числа с наименьшим количесівом десятичных знаков;

2) остальные числа округляют по образцу оставленных без изменения, сохраняя один запасной десятичный знак;

3) произведя сложение, результат округляют на один знак;

4) подсчитывают полную абсолютную погрешность резуль­ тата по формуле

Смотрите также файлы