Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

•

Д « Д, +

Д., 4- Д я ,

 

 

(1.16)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л, — сумма

абсолютных

погрешностей исходных

данных;

Л., — абсолютная величина суммы погрешностей

округле­

ния слагаемых (с учетом их знаков);

 

 

 

Л.,— абсолютная погрешность

округления

результата.

Пример 1.1.

Найти сумму

чисел

0,368; 9,27; 0,0849; 55,4,

каждое из которых

имеет все верные значащие

цифры.

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,368 + 9,27 4 55,4 + 0,0849 яг

 

 

 

я=; 0,37 4

9,27 +

55,4 4

0,08 = 65,12 ^

65,1 ;

Д, =

0,0005 4 0,005 -\- 0,05 + 0,00005

0,06 ;

Д2 =

-

0,002 4

0,0019

=

0,0029 ^

0,01 ;

 

Д3

0,02 ;

 

 

 

 

 

 

 

Д =

0,06 + 0,01

-f 0,02 =

0,09 як 0,1 .

 

 

Таким образом, искомая сумма — 65,1 ±0,1 .

Очевидно, что 1 — сомнительная цифра, а 5 — верная.

2. Относительная

погрешность

разности.

 

 

Потеря точности при вычитании

близких

чисел

 

ПуСТЬ У = Х\—Х2,

Причем

0<Х2<Х[.

 

 

Предельная относительная погрешность разности опреде­

ляется по формуле

 

 

 

и так как

 

 

 

"Щї'-Щ'.

Ду

=- Д Л ] 4- Дл-2

= л-[ о, 4

х., 5, ,

 

получаем

 

 

 

 

 

х{ о j

4- хг 3 2

 

(1.17)

 

 

У

 

 

 

 

 

Из полученной формулы видно, что при достаточно близких

Х\ и *2, т. е. при достаточно малом у , относительная

погреш­

ность может стать весьма большой даже тогда, когда

о.,- и Ъх

являются малыми. Например,

если лг( = 47,132 и х2

= 47,111 и

ЕСЄ значащие цифры верны, то

у=> х{ - хг = 47,132 - 47,111 = 0,021 ;

JC,

 

47,132

U > L U U U 1

•

А *„

-

0,0005

- 0,00001

;

хг

47,111

2

 

 

 

 

A* +

А,г

_0Д)01

 

:0,05 ,

у— 0,021"

те. относительная погрешность разности приблизительно в 5000 раз больше относительной погрешности исходных данных.

Происходит потеря точности. Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, приводя­ щие к вычитанию близких чисел. Например, при вычислении разности У 2,01 — Y 2 полезно представить ее в виде

0,01

V2,01 4- V 2

3.Погрешность произведения

Пусть

 

 

 

 

 

у

= х, х2

. . . хп .

(1.18)

Будем предполагать, что х, >

0, / = 1, 2, ... , п. Тогда

 

In у = £

I n * , .

(1.19)

Полагая приближенно, что

 

 

Л In у

st; d In у •

tify

Av

У

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

Л In xt

^

d In ДГ(

 

•*<

 

 

 

 

находим из (1.19):

 

 

 

 

 

 

Ау

Дх,-

 

 

 

У

 

 

откуда

J

V

АГ;

(1.20)

 

 

т. е. относительная погрешность произведения нескольких при­ ближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы от­ носительных погрешностей этих чисел.

Из формулы (1.20) следует, что

V

і—

X:

Правая часть полученного неравенства может быть при­ нята за предельную относительную погрешность, таким обра­ зом,

т. е. предельная относительная погрешность произведения рав­ на сумме предельных относительных погрешностей сомножи­ телей.

Зная предельную относительную погрешность, находим предельную абсолютную погрешность по формуле

A y = - y S y .

(1.23)

Замечание. Для произведения двух сомножителей

у=ХіХг

предельная абсолютная погрешность может быть определена через предельные абсолютные погрешности сомножителей по формуле

Ау = Ад- х2+

А.Гі) xt

,

которая следует из (1.20):

 

 

 

I Ду I < V

і Axt

( <

^ 1 s +

1=1

'

 

J

 

 

 

-•- —'-— Ад-

= x., Дt- - f X, Af .

Правила умножения. Относительная погрешность тем боль­ ше, чем меньше количество верных значащих цифр, поэтому из формулы (1.22) следует, что в сомножителях с разным ко­ личеством верных значащих цифр не следует сохранять излиш­ нее их число. Производя умножение, следует поступать сле­ дующим образом:

1) округлить сомножители так, чтобы каждое из них содер­ жало на одну значащую цифру больше, чем сомножители с наименьшим числом значащих цифр;

2. Зак. 428.

•

- ~

' 17 •

 

:.:•)

; .... .:• •••'•Ч

 

библией

-' ><

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

2) результат умножения округлить до количества знача­ щих цифр, которое имелось в сомножителях, оставленных без изменения. Например,

32,1 • 0,03 ~ 32 • 0,03 = 0,96 ^ 1 --= 0,01 • 10- .

4. Погрешность частного,

Пусть

 

у —

х.

(1.24)

 

 

Так как

 

 

 

 

 

In у =

In * i — In

х2

 

Ау

 

\х2

 

У

 

х2

то

 

 

 

 

Ау

<

\хх

-1-

Лх2

у

 

X,

 

X,

т. е.

 

 

 

(1.25)

 

 

с.г.

 

Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Поэтому при делении пользуются теми же правила­ ми, что и при умножении.

§ 1.10. О Б Щ И Е Ф О Р М У Л Ы Д Л Я

В Ы Ч И С Л Е Н И Я П О Г Р Е Ш Н О С Т Е Й

Пусть y = f(xi, xzi...,xn)

— дифференцируемая функция.

При вычислении значения функции за счет ошибок в исходных

данных возникает

ошибка

 

Ау !=)_>»

Ус

! / ( * „ я - 2 , . . . , л - л ) - / ( * ? ,

х°,...,х»)\.

Обычно погрешности исходных данных Дх; настолько ма­ лы, что в пределах допустимой точности можно пренебречь их степенями выше первой. Тогда

Ау

У

I дх.

Дл-,

 

Li

 

откуда предельная

абсолютная погрешность

определяется

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх,

А,..

(1.26)

 

 

 

 

 

Разделив Ау

на

у |,

находим

формулы

для предельной

относительной

погрешности:

 

 

 

 

 

-у

1

д/

 

(1.27)

 

 

f

дх{

 

 

 

 

 

 

или

 

п

 

 

 

 

 

 

 

\ A.rt,

(1.28)

 

 

У

дх,

 

 

( = 1

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

п

d-lnf

 

X,- о .

(1.29)

 

 

У

dxt

 

 

 

(=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.11. В Ы П О Л Н Е Н И Е

Л А Б О Р А Т О Р Н О Й

Р А Б О Т Ы

 

Пользуясь правилами действия с приближенными числами, произвести указанные действия. Определить абсолютную и от­ носительную погрешности результата. Округлить полученный результат так, чтобы все его цифры были верными.

1.4,3 + 20,3365—10,854:

а) Оставляем без изменения 4,3 — число с наименьшим ко­

личеством десятичных знаков.

 

б) Остальные числа округляем, сохраняя один

запасной

десятичный знак: 20,3365 ==20,34; 10,854^ 10,85.

 

в) Складываем округленные числа, округляем на один де­

сятичный знак результат:

 

4,3 + 20,3365— 10,854 « 4,3 + 20,34—10,85 = 13,79 ^

13,8.

г) Вычисляем абсолютную погрешность результата

А — A, - f А3 4- А, ,

где

А, — погрешность исходных данных; А, = 0,05 + 0,00005 + 0,0005 ~ 0,051;

А2 — погрешность округления слагаемых; А2 = |(20,34~20,3365) + (10,85—10,854) | = [0,0035—0,004 «

= 0,0005 ;

Смотрите также файлы