Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
*l (х) |
= |
ті (хк + th) % ТІ, |
-I- t |
Лті*_і 4- / ( * 9 + ] ) |
Л3т,,_3 + |
|
|
+ |
1) (/ |
-і- 2) |
, |
|
|
|
g |
A"'( *-3 . |
(o.obj |
где |
f |
' |
|
|
|
|
|
|
х |
xk |
|
|
|
|
|
h |
|
Затем делая в правой части формулы (8.35) замену пере менной x=xk-\-th, dx = hdt, получаем
і
У ( * и і ) - У (хк) = f 7/ (•** + th) dt %
в
и, интегрируя, приходим к формуле Адамса:
1 . |
, 5 |
. 3 |
з
Для вывода формул Крылова предположим, что третьи разности функции TJ (Х) постоянны:
|
Д3 т„ - |
Д37і*_! - |
Д Ч _ 2 |
= |
Д«т( ,_3 • |
(8.37) |
|||||
Заменим в формуле Адамса |
Д3 т( й _з на |
А3г1к_2: |
|
||||||||
Аук = |
гік + 1- |
Дт,, |
, |
+ |
|
Д2 %-2 + |
| - Л'*|* -2 • |
(8.38) |
|||
Из |
определений |
конечных |
разностей |
следует равенство |
|||||||
|
|
Д2 Т|*-2 = |
Д"% - 1 |
— A3 Tjft-2 |
, |
|
|||||
тогда |
из (8.37) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
*)*+ -Y |
Л т ' * - і |
Ї 2 ~ Л '"т '*-> |
|
|
24~" Д 8 т ' * - 2 • |
( 8 - 3 9 ) |
||||
Подставляя |
в (8.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Д'-Т.А-І |
==- Д2тІА, |
- |
АЬІк |
, , |
|
|
|||
|
|
Дт(*_, |
= |
Дтг;» — Д"Tjj |
+ |
A ; |
V - i , |
|
|||
Д 3 Т і й _ ! = Д 3 Ї І А ,
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А/Л = |
Ъ |
-г |
~ |
Дч* - |
- |
~ |
A"f i* |
4 |
|
д |
: Ч |
• |
(8-40) |
||
Полагая |
в |
(8.40) |
« = 0, в |
(8.39) |
п=1, |
в (8.38) |
/( = 2, |
получа |
|||||||
ем формулы |
Крылова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Луо = |
7 т |
+- у |
Д'/о |
|
|
|
д "'ю "і' |
- 9 4 - |
д |
К) ' |
|||||
А/Л *= ''її |
+ |
1 |
Ат(п |
-|- |
- p5j - |
Л Ч , |
^1 |
Д: : г( 0 |
, |
||||||
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
А/А; = |
М |
+ |
- у |
Д г п + |
- т у |
А'% + |
8 |
А3 |
|
|
|||||
4; 8.7. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й |
Р А Б О Т Ы |
|
|
|
|
||||||||||
Численно |
решить уравнение у' = 2х -{- Юху |
при |
начальном |
||||||||||||
условии у \ х |
= 0 |
— 0, |
с шагом h = 0,05 |
на отрезке [0; 0,3]. |
таблиц. |
||||||||||
Результаты |
вычислений |
оформить |
в |
виде |
|
двух |
|||||||||
Табл. 8.10 — вспомогательная, служит для постепенного вы
числения значений rt. |
Табл. 8.11 — основная, такого вида, |
как |
||||||||||||
в описании |
метода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рабочие |
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А//о = |
гш |
+ |
~- |
Дт10 |
— |
|
А\, |
-f- |
|
Ahlg |
, |
|
||
|
|
|
|
1 |
. |
, |
5 |
.., |
|
1 |
|
|
|
|
A//i |
^ |
ти |
+ |
~2 |
Д т ' " |
+ |
~УГ |
А''ГІ° ~ |
~24~ |
• |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
А//2 |
- |
ТІ2 + |
- g - Дт„ |
+ |
— |
— |
Л2 Т,0 f |
|
-g- Д%10 |
- |
|
|||
формулы Крылова для получения начала таблицы; |
|
|
||||||||||||
ЬУп = |
|
|
1 |
|
5 |
+ |
~ [ Г " |
А2 т1 Я _2 |
|
3 |
Д3 Т,„_з — |
|||
т ' « + |
— |
Д т |
і я - - і |
- f — |
||||||||||
формула Адамса для продолжения таблицы |
(п — 3, |
4, 5,...). |
||||||||||||
Обе таблицы |
заполняют |
одновременно: |
|
по табл. |
8.10 |
под |
||||||||
считывают У{, вносят в табл. 8.11, по ней находят разности и у, которые, в свою очередь, вносят в табл. 8.10 и т. д.
Замечание 1. Если в третьем приближении А3гш оказывает ся настолько малой, что в пределах заданной точности не из меняет значений Аук из формул Крылова, то четвертое при-
ближение не записывают. Если же, напротив, полные формулы Крылова дают существенное расхождение с третьим прибли жением, то после получения четвертого приближения необхо димо перечислить несколько раз. Если же результаты не устанавливаются, то необходимо уменьшить шаг таблицы.
ра н н е е
іп р и о л ,
[J irpuSn
l[j UpUO,v
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.10 |
||
n |
X |
н |
|
OtLj |
10 |
2x |
= 2x+4 ? |
= |
k - y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0, |
0 5 |
і |
0,05 |
0 , 0 5 |
0,002 5 |
1,0058 |
0,10 |
1,1058 |
0 , 0 5 5 5 |
||
і |
0,05 |
0 , 0 6 2 6 |
0 , 0 0 2 6 |
1,006 0 |
0,10 |
1,1060 |
0 , 0 5 5 5 |
||
2 |
0,10 |
о, Ц 0 5 |
0,0110 |
1,0257 |
0,20 |
1,22-57 |
0 , 0 6 1 5 |
||
L |
0,05 |
0 , 0 5 2 5 |
0 |
, 0 0 2 6 |
і, 0 0 6 0 |
о д о |
1,1060 |
0 , 0 5 5 5 |
|
2 0,10 0,1107 |
0 , 0 1 1 1 |
1,025 9 |
0,20 1,2259 0,06 0 |
||||||
|
0,15 |
0 ,175 3 |
0 |
, 2 0 6 5 |
1 , 0 6 2 4 |
0,50 |
1,5624 |
0 ,068 1 |
|
і |
0,05 |
0 , 0 5 2 5 |
0 |
, 0 0 2 6 |
1 , 0 0 6 0 |
0,10 |
І Д 0 6 0 |
0,055.5 |
|
2 |
о д о |
0, i ( 0 7 |
0 , 0 1 4 |
1,025 9 |
0,20 |
1,2259 |
0 |
0615 |
|
3 |
0,15 |
0 ,175 5 |
0 , 0 2 6 5 |
1,0624 |
0,30 |
1,5624 |
0,068< |
||
4 0,20 |
0 , 2 4 7 1 |
0,0494 |
1 ,120 5 |
o,4o |
1,520 5 |
О 0 T 6 0 |
|||
5 |
0,25 |
0,5277 |
0,0819 |
1 , 2 0 7 6 |
0,50 |
1 ,7076 |
0,08,54 |
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 5 0 ; 0 , 4 1 8 6 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
і j
Замечание 2 . Если при выполнении работы необходим контроль вычислений, то после заполнения каждой новой стро
ки в четвертом |
приближении в табл. 8.11 |
следует вычислить |
контрольное число: |
|
|
/"* = - |
(д У*-і + Ду*) + 2т;* + |
— Д2 тік_і . |
Уточненное значение ДуА образуют по формуле
аX
0 о.оо
і0 , 0 5
о0,00
t 0 , 0 5
2 0 , 1 0
0 0 , 0 0
і0 , 0 5
2 о,ю
b О, <5
0 о,оо
|
У |
У„ = о |
|
У г У в |
+ д У о = о - 0 5 |
У. = ° |
: |
ЧГ У.+ Л Уо =0,0526 |
|
|
Л У - " ? . + 2Д ?» = ° ' 0 5 Г 9 |
Ух = Ч , ^ У ( = 0 , Н 0 5 |
|
У . = о |
|
У г У о + Л У о » 0 , 0 3 2 5
Уг= У. +лу1 =о,<(ог
Уз = У ^ д у г = о , < ? 5 з
1 |
0,05 |
У.= |
Уо + йуо = 0 , 0 5 2 |
5 Л У,= |
A V0 '0 5 8 2 |
2 |
0,-Ю |
Уг= |
4 , t ду,= о,<1о7 |
|
|
|
|
|
|||
3 |
<М5 |
У і = |
Уг+'9^0,175 |
3 |
|
к0,2о
0,25 У У = УЧ +ДУЧ -0,3277
6 0,Ьо
Т А Б Л И Ц А |
8 . i ' i |
?До
|
Д^» о = |
0,0055 |
"2, |
я 0,0555 |
|
% = 0,05 |
|
|
|
Д^в= |
0 , 0 0 5 5 |
^, |
= 0 , 0 5 5 5 |
Д*£в а 0,0007 |
|
Д^, * |
0 , 0 0 6 0 |
|
Д ^ 0 |
=• q,oo52> |
|
2, |
= О , 0 5 5 3 |
Д^0 =0,ооот |
|
|
u ^ t |
0,006 0 |
Д^„* o , o o o i |
?i |
= 0,06 \Ъ |
Л?, |
г 0,0008 |
|
|
= 0,006 8 |
|
Чъ- 0,0681 |
|
|
|
|
О, О 5 |
|
|
|
Д 2 # |
= 0,0095 |
|
»£, = 0,055 Ъ |
|
|
|
|
Д|^ |
s 0,0060 |
|
|
0,О6<5 |
fy, |
• o,oooe |
|
|
* О;О068 |
A*£,» 0 , 0 0 0 5 |
& |
= 0 ,068< |
u \ t |
s 0,00<f |
|
Д ^ г О,00Т9 |
A*l£t« 0,ООо4 |
|
•7j( |
«0,0Т60 |
|
\ |
|
д ^ |
a Ojoog^ |
|