Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
|
|
|
2 ее |
{(*-, |
у) = |
|
|
|
|
|
|
X |
|
--и - |
2 х |
|
|
|
|
||
|
У' |
У |
|
|
|
|
||||
|
У |
|
У |
|
|
|
|
|||
0 |
о |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1,399378 |
|
|
|
|
0,(8(518 |
0,9/8(82 |
0;У636 3G |
|||||
|
О, і |
|
|
|
||||||
|
о, 1 |
l,09/8(g |
о, (83(80 |
o,90&fc38 |
о; (&1728 |
0, /85223 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О, 2 |
1,48(728 |
0, 338487 |
0,84 324 У |
0 |
У68688 |
|
|
||
1 |
О, 21 |
1,(8522.9 |
0,338058 |
0, 845/71 |
0, (69о34 |
О, 9506Zfe |
||||
|
<2,3 |
1,26774б |
0,4732 59 |
о, 794467 |
0, /58855 |
|||||
|
|
|
||||||||
|
0,3 |
1, 262676 |
о, кг5181 |
0,78 7495- |
0 |
/5 |
0, /58<V5§ |
|||
|
|
і , 34 072 8 |
0, 596690 |
о, |
744038 |
о, 148808 |
|
|
||
2 |
о,4 |
1,341667 |
0, 5962 72 |
0, |
7453^5 |
о, 14 9отд |
|
|
||
|
о,5 |
1, 416206 |
0, 706/Of? |
0, 7/ 0097 |
о] |
142 о 19 |
|
|
||
|
о ,5 |
і, 412676 |
0, 707574 |
0 |
70 4а 02 |
о |
/4 о 56о |
О, |
ІЦ16І5 |
|
|
о,б |
1,482627 |
О,80£У372 |
0,673255 |
j |
1Ь465/ |
|
|
||
|
0, |
|
|
|||||||
3 |
о, 6 |
! ; 4 8 3282 |
0, S09CX7 |
0,674265 |
0, |
13^53 |
0, 775597 |
|||
|
0,7 |
1, 550708 |
0,9028 12 |
0/ |
64 7B9Q 0, 12 95 79 |
|
|
|||
|
о,т |
4,548071 |
О, 90^Ъ51 |
0, 64 672 0 |
0, |
1287 44 |
°, <292ЪЪ |
|||
|
0,8 |
{,612026 |
0,992537 |
о, 6/91/89 |
о, /2 3858 |
|
• |
|||
Н 0,8 |
1,6/25/5 |
0,992235 |
0,62 02go |
0, /240 56 |
0, 717770 |
|||||
|
|
1,674543 |
1, 07*1921 0, 59962/ |
0, // ?924 |
|
|
||||
|
|
1,6724 77 |
1, 07ЫкЪ |
0, 5962 bif |
о, //9247 |
0, 119628 |
||||
|
/,о |
1, 73/762 |
1,15^90^ |
0,576858 |
0, |
//53Л? |
|
|
||
5 |
1,0 |
1, 732/4-3 |
і, /5"4б4/ |
О, 5 77501 |
0, 115500 |
0, |
67 /352 |
|||
|
л / |
і, 70,9895 |
1,229/25" |
О, 560768 |
0, 112151/ |
|
|
|||
|
|
1, 788170 |
1,23 0308 |
0, 557861 |
0t |
111572 |
0, И1892 |
|||
|
<,2 |
1, 8 437/5 |
/, Зо/716 |
0,54 |
і999 |
0, 108 boo |
|
|
||
s |
',2 |
^, 844035 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления погрешности, если это требуется, следует составить табл. 8.3 с шагом 2Л = 0,4.
Таблица 8.3
N |
X |
У |
2 х |
2 х |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= </- у |
|
0 |
• 0 |
і |
0 |
і |
0 , 4 |
|
0,2 |
1,2 |
0,333333 |
0,866667 |
0, 346667 |
|
0,2 |
1,175553 |
0,540910 |
0,832423 |
0,332969 |
|
оА 1,532969 |
0,600167 |
0,732802 |
0,293121 |
|
1 |
0,4 |
1,342066 |
0 , 5 9 6 0 9 4 |
0,745972 |
0,298389 |
|
0,6 |
1,491260 |
0,80//688 |
0,6865 72 |
0,274629 |
|
0,6 |
1,479380 |
о , 8 ( ^ 5 о |
0,668230 |
0,267292 |
|
0,8 |
1,609358 |
0,994184 |
0,615174 |
0,246070 |
2 |
0 , 8 |
1,613450 |
0. 991663 |
0,621787 |
0,2487(5 |
|
1,0 |
1,737808 |
1, (50873 |
0,586935 |
0,234774 |
|
i,o |
і', 730837 |
1,155508 |
о,575329 |
0,230(32. |
|
1,2 |
1,843582 |
1,301814 |
0,541768 |
0,216707 |
3 |
1,2 |
1,845989 |
|
|
|
!
6ДС) і
дС/
2,052393
0,3^2066
1,628301
0,271384
1,Ъ95234
0,232529
Вычислим погрешность для трех точек (табл. 8.4).
Таблица НА
|
|
|
|
|
7 |
0,4 |
|
1 , $ 4 2 0 6 6 |
|
0 0 0 0 5 7 |
|
0 , 8 |
і ,6 125 15 |
1,6154 50 |
0, |
ооо154 |
|
12 |
і,844035 |
i v 845<589 |
0 |
ООО |
2J9 |
§ 8.6. М Е Т О Д |
А Д А М С А — К Р Ы Л О В А |
|
|
|
|
Метод, предложенный Адамсом и впоследствии усовершен |
|||||
ствованный |
академиком |
А. Н. Крыловым, |
является |
сравни |
|
тельно простым и при одном и том же шаге дает более точные
результаты, чем предыдущие |
методы. |
|
|
|
|
|||
Метод излагается в применении |
к уравнению |
первого по |
||||||
рядка yr=f(x; |
у) с начальным условием |
у \х~х |
Уо • |
|
||||
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ(х) |
= |
у' ( * ) А = / ( * ; |
У) h . |
|
(8.32) |
||
Тогда величины |
Аук |
определяют |
по формуле |
Адамса |
||||
А/У* = |
1 |
А т і*-і Н |
5 |
|
3 |
|
(8.33) |
|
Ъ + — |
— д : ' т |
( * - 2 + -g- - ^ т і * - з |
||||||
р. предположении, что третьи разности практически |
постоянны: |
|||||
Однако начать применение формулы Адамса можно толь |
||||||
ко тогда, когда известно значение Л3т(о, |
т. е. для п > |
3. |
||||
Следовательно, необходимо заполнить начало табл. 8.5. |
||||||
Для |
заполнения этой |
таблицы |
достаточно получить А//0 , |
|||
Аг/1( Ау2, |
так как тогда |
становятся известными |
уи |
у2, уз по |
||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
Учл-х = Ук + |
Л/У* |
, |
|
|
|
а следовательно, известны и т( 1 , |
т(3 |
по формуле |
|
|
||
•ч* = / ( * * ; гМ л •
11 |
X |
У |
Ау |
г1 |
Дт, |
А2т, |
А8т, |
0 |
xt) |
Уо |
|
|
А'% |
|
|
1 |
|
Уі |
|
|
А2Чо |
|
|
*1 |
|
|
Дії |
A3rt„ |
|||
2 |
х2 |
|
|
|
А-г( 1 |
||
У-1 |
|
ГІ2 |
Дт) 2 |
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
* 3 |
Уз |
|
Т 13 |
|
|
|
Табл. 8.5 заполняется с помощью формул Крылова:
А«/о =• *10 |
+ |
4 " |
Ат; |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
&Уі = - т |
и |
+ |
- у |
10 |
+ |
5 |
• Д- |
|
|
|
1 |
|
8 |
т |
и |
, |
|
|
|
(8.34) |
||
|
А-г |
12 |
|
|
|
24 |
|
А |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
^ Ъ •+ -7Г А-<н Н |
j | - Л-',0 |
+ |
3_ |
А: і |
тІ 0 |
. в |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Процесс заполнения табл. 8.5 осуществляется |
с |
помощью |
|||||||||||||||||||
четырех последовательных |
приближений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Первое приближение: |
имея из условия |
|
|
задачи |
дг0> |
Уо, |
на |
||||||||||||||
ходим ті п =» f |
(х0 ; у0) |
h\ |
из формулы |
|
(8.34а) |
|
берем |
Ауи |
= |
т;1), |
||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
УІ =• 0о + |
Ду,,, |
^ |
= |
/ (*,; |
ух) |
|
h |
, |
|
Лт,,, = |
тц |
— т;„ |
|
|
|||||||
и заполняем табл. 8.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.6 |
||
п |
|
|
|
|
У |
|
Ау |
|
|
|
|
|
Ат, |
|
|
|
Д'-t) |
|
А3т, |
|||
0 |
|
|
|
|
У» |
|
Аг/0 |
|
ъ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X, |
|
|
Ух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Второе приближение: в формулах |
(8.38 |
а, |
|
б) |
сохраняем |
по |
|||||||||||||||
два |
слагаемых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
А(/0 |
== Ъ + 4" |
• |
Л |
/ У |
і |
= а Т | і + |
|
~<Г Л т '« |
' |
|
|
|||||||||
и находя |
|
|
|
|
|
|
Уі =• Уо + А У„ ; |
У-і = Уі |
Ь Ау, . т п =f(xl; |
у J h\ |
|
Л,=/(л;2 ; г/.,) /г, |
Л'І0 — т ц т іо> |
|
|
||
заполняем табл. 8.7. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Таблица 8.7 |
п |
X |
У |
Ау |
|
Д37, |
0 |
х{) |
Уо |
Ау0 |
тю |
|
1 |
|
Ух |
|
|
|
|
Ау, |
|
|
||
|
х2 |
|
|
|
|
|
1'2 |
|
^2 |
|
|
Третье приближение: используем все три формулы Крыло ва с учетом в них трех слагаемых:
|
Ау„ = т-о + -7Г |
Л т ' 0 |
|
1 |
VV |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ау, = |
1, - f — А-/ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
Ау, |
= |
г12 + _ |
Дтц |
-| |
— - A2 YJ0 |
, |
|
|
получаем табл. 8.8. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.8 |
п |
X |
У |
\ АУ |
|
|
|
A l |
А-т] |
А-V, |
0 |
х0 |
Уо |
Ау0 |
|
тк> |
|
A^io |
|
|
1 |
|
Уі |
|
т п |
|
A 2 r w |
|
||
* 1 |
Ау, |
|
|
Атп |
А8 ТІ0 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
• *г |
Уг |
Ау2 |
|
|
|
AYJ2 |
|
|
|
3 |
|
Уз |
|
Із |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Четвертое приближение: по формулам Крылова с учетом в них всех слагаемых уточняєм Ау0, Аг/,, Ау2. Таблица имеет
такой же вид, как в третьем приближении. После получения четвертого приближения табл. 8.9 продолжается по формуле Сдамся:
|
by* = |
|
|
1 |
5 |
|
ь \ |
|
|
3 |
ь; |
|
||
|
7 >з |
+ |
|
Д т *з + |
- т т г |
+ |
-g- д : і ' і |
|
||||||
|
|
Уі = У» + д г/3 ; ^ = / (xt; yt) h\ |
|
|
|
|||||||||
Д т і з |
= ru |
— |
v > |
Д |
2 т і 2 |
= Д т / з |
- Д Т І 2 ; |
Д З т « і |
= |
Д 2 г і 2 |
— |
A%; |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
Ьуі |
= |
І4 + |
— А ї із |
Л |
Л 2 |
ї ' 2 |
+ |
Т Л |
2 т |
ц |
|
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.9 |
|
tl |
X |
|
У |
|
*У |
"1 • |
|
|
|
Д2т, |
|
Л3т, |
||
0 |
Х<> |
|
Уо |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X, |
|
У\ |
' |
ЬУх |
тп |
|
|
|
Д % |
|
|
||
2 |
|
|
Уг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Хі |
|
|
&У2 |
7 І2 |
|
|
|
|
|
|
Д Ч |
|||
3 |
х3 |
|
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ьу3 |
ТІЗ |
|
Д> |
|
|
|
|
|
||||
4 |
х4 |
|
У* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T U |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
&УІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уъ |
|
|
Т І5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вывод формул Адамса и Крылова |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Интегрируя на отрезке \xk\ |
хк:\] |
уравнение |
y' = f(x: |
у) с |
||||||||||
начальным |
условием у U~.v0 = |
#0> с |
учетом |
(8.32) |
получаем |
|||||||||
|
|
У (х»+\) |
- У (**) = |
f |
1 (*) — |
dx . |
|
. |
(8.35) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
*k |
|
|
|
|
|
|
|
Для функции Tj (де) на отрезке l x * r 3 ; |
хк\ строим |
интерпо |
ляционный многочлен Ньютона, применяя формулу |
(5.18) и |
|
считая практически постоянными третьи |
разности: |
|
