Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

риантно всякое k-мерное подпространство простран­ ства Е (для какого-нибудь одного значения k, удовлет­ воряющего неравенствам 1 ^ k < п).

Коллинеации пространства Е, являющиеся линей­ ными отображениями1), образуют нормальный делитель GLn(K) в группе r Ln(K), называемый полной линей­ ной группой от п переменных над телом К■ Подгруппы

есть их общий центр. Он изоморфен мультипликативно^ группе Z* центра Z тела К и состоит из так называемых

центральных гомотетий х^>-ху, где ^ e Z * .

Для любых подпространств V и W одинаковой раз­ мерности в пространстве Е существует такое линейное

группу А автоморфизмов тела К. Ядром этого гомомор--

ции й соответствует не один автоморфизм о тела К, .но целый класс смежности группы А по подгруппе / внутч ренних автоморфизмов (изоморфной K*/Z*). Этот класс

над одним и тем же телом К называется также изоморфизмом этих пространств. Таким образом, элементы группы GL„(K ) — это авто­ морфизмы векторного пространства К п.

Мы не будем здесь заниматься проблемой класси­ фикации коллинеации векторного пространства Е над произвольным телом К. Укажем только, что эта проб­ лема состоит в отыскании условий, при которых кол­

ных отображений и проблема решается классической теорией элементарных делителей (см., например, Бур-

баки [2]). Эта теория обобщена на произвольные кол­ линеации в работах Джекобсона [1], [2] и [3], Накаямы [1], [2], Асано и Накаямы [1] и Хаантьеса [1]. Мы огра­ ничимся здесь изучением нескольких частных случаев, которые будут использованы в дальнейшем.

стве Е. Всякая коллинеация и пространства Е, относи­

автоморфизмы тела К, соответствующие и и до, совпа­ дают. Очевидно, что эта подгруппа содержит в качестве нормального делителя группу GLP(K) X GLn- p(K), образованную линейными коллинеациями пространства Е, относительно которых инвариантны V и W.

В тех же обозначениях рассмотрим коллинеации и, оставляющие на месте каоісдый элемент подпростран­ ства V. Ясно, что такая коллинеация должна быть ли­ нейной и определяется своим ограничением на подпро­

ства W в V, а до — произвольное линейное отображение

W на себя. Отображения ѵ и до зависят от выбора до­ полнительного подпространства W, но линейное преоб­

определен коллинеацией и с точностью до сопряженно­ сти. Обозначим через а класс сопряженности элемента а (образованный элементами ?іа^-1). Следует различать два случая в зависимости от того, состоит класс & лишь из единицы 1 тела К или нет. Если &=?М1}, то коллинеация и называется растяжением. Легко пока­ зать, что в этом случае существует единственная пря­

ция и не тождественна, то она называется сдвигом вдоль гиперплоскости У; будем также говорить, что У принадлежит сдвигу и. В этом случае для любого х е Е

менной замены а на аХ и р на Аг'р, где Х ^К *. Подпро­ странство Ѵо = аК cz V называется прямой, принадле­ жащей сдвигу и; мы также говорим «сдвиг в направле­ нии прямой Ѵо». Не существует никакой прямой, инва­ риантной относительно и и не принадлежащей У.

Растяжения и сдвиги, соответствующие гиперплоско­ сти У, вместе с тождественным отображением образуют подгруппу D(V) группы GLn(K). Сдвиги вдоль гипер­ плоскости У вместе с тождественным отображением

странства V, т. е. группе Кп~'. Факторгруппа D(V)/T(V) изоморфна мультипликативной группе К*. Группы D(V) и Т(Ѵ) имеют простую интерпретацию в проективном пространстве Рп-\{К)\ если гиперплоскость простран­ ства Рп-\{К), соответствующую пространству У, при­ нять за «бесконечно удаленную», то D(V) будет груп­ пой аффинных преобразований пространства Кп~\

14 Гл. I. Коллинеации и корреляции

переводящих каждую прямую в параллельную ей пря­ мую, а Т(Ѵ) будет группой параллельных переносов

пространства Кп~1.

Два растяжения (соответственно два растяжения, содержащиеся в D(V)) сопряжены в группе GLn(K) (соответственно в группе D(V)) тогда и только тогда, когда они соответствуют одному и тому же классу & сопряженных элементов в группе К*. Любые два сдвига сопряжены в группе GLn(I\) (п ^ 2); два сдвига, со­ держащиеся в Т(Ѵ), сопряжены в группе D(V) тогда и только тогда, когда они соответствуют одной и той же

необходимо и достаточно выполнение следующих усло­

= 1р(х).

Для того чтобы два сдвига были перестановочны, не­ обходимо и достаточно, чтобы прямая каждого из них содержалась в гиперплоскости другого. Централизато­ ром группы Т(V) в группе GL„(K) является произве­ дение (прямое) ZnT(V). В самом деле, относительно преобразования и, перестановочного с любым сдвигом вдоль V, должны быть инвариантны гиперплоскость V и любая прямая этой гиперплоскости. Следовательно, ограничение и на V есть центральная гомотетия hy (см. гл. II, § 1). Тогда hy'u е D (V), и легко видеть, что hylu может быть только сдвигом.

§ 3. Инволюции и полуинволюции

Инволюцией в группе GLn(K) называется такое ли­ нейное преобразование и, что и2(х) = х (мы будем за­ писывать это и так: и2 = 1). Описание таких преобра­ зований различно в случаях, когда характеристика тела отлична от 2 и равна 2.

волюцией, если соответствующая проективная колли­

для всех І е К. Теперь необходимо рассмотреть два случая:

А) у не представляется в виде %№, ^ е / ( . Тогда можно построить квадратичное расширение Ко тела К,

базис которого над К (правый и левый одновременно) дортоит из 1 и такого элемента р, что р2 = у и т)р = рт)а.