Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

16

Гл.

].

Коллинеации и корреляции

для всех r i e /С1).

Можно, далее,

ввести

в Е структуру

правого

векторного

пространства

над

/Со,

положив

хІ = хІ + и(х)г\

при

£ = I +

РЛ е

Ко

(I е /(,

ті е

/().

При этом Е будет иметь размерность п/2 над /Со, от­

куда, кстати, следует, что в этом случае п непременно

четно (ср. Дьёдонне [14]2)).

и (х) Х~и,

В)

у=%Ха, где К^К. Положим тогда ѵ (х) =

это будет полуинволюция относительно автоморфизма т,

определенного

равенством

Имеем

и2( х )= х ,

І* = | .

Пусть

К\ — подтело

тела

К, образованное эле­

ментами, инвариантными относительно т. Возможны два

случая:

К\ =

К,

В1)

т.

е.

т — тождественный

автоморфизм.

В этом

случае

ѵ — инволюция в

группе

GLn(K)\

вид

такой коллинеации был определен выше.

В2)

К есть квадратичное расширение тела

/Сі. Тогда

Е есть правое векторное пространство размерности 2п

над К\ и и, рассматриваемое как линейное преобразо­

вание этого

векторного

пространства,

есть

инволюция

в группе GL2n(K\). Если характеристика тела К отлич­

на от 2, то К имеет базис над К\,

состоящий из 1 и та­

кого элемента р, что

р2е /С |,

рт =

—р.

Пространство £

разлагается

над К\ в прямую сумму собственных под­

пространств

Ѵ+ и Ѵ~ преобразования ѵ. Так как ѵ(хр) =

— —ѵ(х)р,

то

коллинеации

х- *хр

отображает

Ѵ+

на

Ѵ~. Следовательно, пространства Ѵ+ и Ѵ~ имеют оди­

наковую

размерность,

равную п,

и базис

пространства Ѵ+ над

К\ есть в то

же время базис про­

странства

Е над

К■ В этом

базисе

ц(е,) = еД при

1

^

^ і ^ п.

Если

К — тело

характеристики

2, то

оно

имеет

над

Кі базис, состоящий

из

1

и

такого

элемента

Ѳ, что

02 + 0 =

ß e £ i

и

Ѳт =

0 +

1.

В

этом

случае ѵ(х) =

‘) Если

а — нетождественный

автоморфизм

тела

/(,

то

Ко

не

коммутативно,

даже

если

К коммутативно.

Это

с

очевидностью

по­

2) Доказательство существования тела Ко, данное на стр. 178—

179

этой работы, годится

при любой

характеристике тела К, но

если

К имеет характеристику 2 и о оставляет неподвижным каж­

дый

элемент центра тела

К, то Ко не

будет расширением Галуа

§ 4.

Централизатор проективной инволюции

17

= x-\-w(x),

где

w (Е) cz w~l (0) =

V,

причем

размер­

ность р

пространства w(E)

над К\ не

превосходит

п.

Легко проверяется, что w (хѲ) =

w (х)Ѳ -f w (л) + x;

в

частности, если г е і / ,

то w (хѲ) =

х.

Отсюда

следует,

что

w ( E ) = V

и

р — п.

Так

как

отображение

х —*-хѲ

является

коллинеацией,

то

размерность

подпростран­

ства

ѴТ)

(над

К\) равна размерности

V, т. е.

п. По­

скольку

V П VQ =

{0}, подпространства

V и VQ допол­

нительны. Таким

образом, базис (е/)1<і<лпространства

V над К\ есть в

то же время базис пространства

Е

над

К, и в этом

базисе

и( е ^— е{% при

1 ^ і ^

п. Мы

группы Н элементов ѵ <= ГЬП(К),

соответствующих та­

ким проективным коллинеациям ѵ.

Коллинеации а е Я

вочны» с и, т. е.

ѵ(и(х)) = и(ѵ(х))а,

а ^ К -

Допуская

некоторую

вольность,

мы будем

записывать

это

так:

ѵи =

иѵ-а.

Пусть

о

и т — автоморфизмы

тела

К,

соот­

ветствующие и и V.

Заменяя в полученном выше

соот­

ношении X на х |,

приходим к условию

lox = a~ltwa

(3 )

при

всех

I е К

(мы

полагаем,

что

£от =

( |or)'t).

Если

и2(х)

= ху, то для у

имеются условия

(1)

и (2); кроме

у- ‘ух = а°а.

(4)

Заметим, что для решения нашей первоначальной

задачи можно

по желанию заменять и и

ѵ на и-а и

u-ß, где а и

ß — произвольные элементы

из К*) при

§ 4.

Централизатор проективной инволюции

19

(если и есть

(р, п — р )-инволюция), образованной

та­

ветствующие

Ѵі и ѵ2, совпадают. Группа GLP(/()X

X GLn-p(K)

есть нормальный делитель в Н0.

ß)

Пусть

теперь К — тело характеристики 2. Тогда

и(х) =

X + w(x), где w (Е) cz w~' (0) = U. Положим р =

в Е/U,

тождественно. Элементы и е Я 0 являются линей­

ными

преобразованиями. Пусть

U' — дополнительное

подпространство к

U. Для

всякого » е

Я

и * е U'

имеем

ѵ ( х ) = ѵ х{х)-\-ѵ2{х),

где vx(x)<=U'

и и2( х ) е Я .

При x ^ U '

должно

выполняться

равенство

w{vx{x)) —

= о(ш(,ѵ)).

Следовательно,

при

данном

ѵх коллинеа-

торгруппа

Я/Яо изоморфна группе r Lv (K). В группе

HQ можно

выделить нормальный делитель Нх, образо­

что ѵ{х) — х для всех x ^ W ,

в

каждом классе

смеж­

ности группы Н0 по

Н1 имеется

такой

элемент

ѵ,

что

ѵ(х) =

X для всех х е

W -f- U'. Отсюда следует, что фак­

торгруппа Я0/Я, изоморфна группе

Но,

образованной

ограничениями

коллинеаций

о

е

Я 0

на

подпростран­

стве U. В группе Но выделяется нормальный делитель

Яг, образованный коллинеациями, тождественными

на

U по

модулю

W.

Легко

видеть,

что

факторгруппа

HolН2

изоморфна группе GLn_2p(/(),

а группа Я2'

изо­

морфна ' аддитивной

группе

/(р(п- 2р>.

Обозначим

через