Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл (5,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 164

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решением этой системы уравнений будет

Иго л »

j - 1 0

= > " ' , в

- 1 j

чти	ь с ^ е т : Ed; *><

где 1

А, М="-(.»»*Ої>г г 3 > Ал_со="С»*Оуъ / / >

в Г Ь - Л , в ^ = Л , o - W & y

Рассмотрим пример. Пусть имеется сферическая оболочка о вну тренним и внешним радиусами а и ё На границях заданы смещения

Применяя преобразование Лапласа, получим
( ^ ) t . * = ^ > ^ - .	•	(5-6)
Разлагая (5.6) вряд, получим
УЛ - о Hi - о	J '
Ч Г ' Г Х П ^ Ї Г - ^ Ї П ^ -		( 6 . „

Вычисляя (5.4) при г=-х и полученный результат сравнивая о

(5.7),	получим 12 алгебраических уравнений для определения а"'"1
ь і	• • • •аі

Затем найденные значения подставляя в (5.4) и применяя обратные

преобразования Лапласа, подучим искомое решение задачи.

Замечание.

Из решенной задачи следует, что легко решается следующие задачи: 1 . Первая, вторая ж смешанная задачи для шаровой оболочки.

2.Первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для шара ж много слойного шара я другие задачи.

Ч А С Т Ь I I .

РАЗДЕЛЕНИВ ПЕРЕМЕННЫХ ВСТАТИЧЕСКИХИ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ.

Г Л А В А I .

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ В ДВУХ

МЕРНОМ ПТОСТРАНСТВЕ.

§ I . РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Уравнения теории температурного равновесия в декартовых координатах имеет вид:

где Т

5 Т а

- заданные функции, =I=.0>+J-VJ. ,

V~fy*'

Раэдохжм заданные функции в ряд Фурье

Решение системы уравнений ( І . І ) будем искать в виде

Подставляя (1.3) и (1.2) в	систему уравнения ( І . І ) , получим
(cUOal'-^cXj-oUBj	= ?oL,1^^i n

g i " - U*i)H i 6 1 >«t»a;= - P nJ^«vY l .

( I ' 4 )

Реиекием система уравнении (1.4) будет

(1.5)

1.-1

i=t

где а»1 = Не"*^Ф1е"х«[«+е"ЛФіе*'*'4,

(1.6)

-пж-

-кос

5 2 г = -Є

7 S2t =°tnote

Система динамических дифференциальных уравнений теории связанно! термоуцругости в плоской декартовой системе коор динат имеет вид:

Решением сжстемн уравнений			(1.7)	будет
Ц х =е .	Г	2 Ai « ( ^		•tj С к Ч )	,
_ l u 5 t	S,	. /	С«	лс"	ч	( I .

9 = e S E C : w(a j с^ка),

где А^'сгЬке^ ,БГсг) = ч ^ і г , 0 ^ = °

2 = *-, У

t - t - корни характеристического уравнения

}=4,*»,5,с , t : - корни характеристического уравнения

(«иог^- ї О ( 2 к * П ) * Л V K 2 +

Рассмотрим пример. I ) . Пусть дана бесконечная полоса. На гра ницах при а. => о и сс = а заданы смещения и температура

-lot^Cci		СУ), Сс=о,сО.	(1.9)
(Є) х = с =е	^
Разлагая заданные.функции	(1.9)	в ряд Фурье, сравнивая подучен-
Енй результат с выражениями (1.8), вычисленными при ос-с			, по
лучим 12 алгебраических уравнений для определения а'"0 и			б ? 4 ,

Бели подставим найденные значения в (1.8), то получим искомое решение задачи.

2). Пусть дан прямоугольник с основанием а

ивысотой % . На границах заданы

-Lat

(1.10)

Ддя решения этой задачи решение	(1.8) представим так:
U , = Є 2-Х- Ct t i A f ^ "	&: Ь. H j U к„*}

U 4 = & X X! C^j B. w U 4 s <-i A ^ S m * , , * ) ,

а тенэврэ напряжекия кмевт БЕД:

-p.	- iiot"2, І , С „ 0 ^ r „ t " i	.1*1	,
	е Е X (О. J.[BJ	с») - к х А-	с*>]с^3 +

где

Проекции нормального напряжения имеют вид:

						( I . I 3 )
Разлагая заданные функции в ряд Фурье, сравнивая полученнні
результат		с выражениями ( I . I I ) и ( I . I 2 ) ,		вычисленным при
сс=с	і	Ч--СІ	и принимая во внимание ( I . I 3 ) ,		получим сяотецг
«лгебраяческшс уравнений для определения				а^' и		. Есдя
подставим найденные значения в ( І . І І ) я				( I . I 2 ) ,	те	получай жэ-
жокнэ смещеная ж напряжения.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)	первая і		вторая задачи для полуплоскостж,
2)	вторая ж смешанная задачи для полосы ж другие.

§ 2. РАЗДЕЛЕНИВ ПОЛЯРВЖ КООРДИНАТ.

Уравнения температурного равновесия в полярних кояржж- натах имеют вид:

гда Т , T g ,Г Ч - заданные функции, = (-x-ij-Vj. , Т>г?/р ,<p-«/jf Разложим зятанные функции в ряд Фурье-

іза

Ревзни системы уравнений (2.1) будем искать в виде:

	^		'	( 2 - 3 )
Подставляя	(2.2) н	(2.3) в (2.1)	и приравнивая коэффициенты
щш	н С«ИV?	нулю, получим систему 4-х		днфференцналь-
ЕЕХ уравнений с 4-мя неизвестными функциями
•< тії і^У		f 1 * ?	- •'% -	ф * и . ,
				(2""
І
Решением оистемв уравнений (2.4)			будет
				(2.5)
где
V	и ~ *	,	. W * l	- И - 1
				(2.6)

A ^ r W ^ - ^ W V

Система динамических уравнения теории связанно* термеупругости в полярної системе координат имеет вид:

Решением это! системы уравнений будет:

Ъ	П . о j » l	і	«	і
Ъ
	, і ОО С	( л і	( м )	Ґ„\

где А*рС« = 3 . О - " ^ , A ^ w = /У.(;«,г), д^Ч,= у

•А';Ъч= ^н0"і'»-). С і г ) =п3п(^г);А11"(г) = пл/п(і^г)>

с["1хі=ч, Зн(і"»«) , C w = 9 y . a ^ , t ) , с£сг>=у1 '3И с;«ч'0,

Рассмотрим пример. Пусть дано кольцо с внутренним и внешним радиусами о. и & , на границах которого заданы смещения и температура

-;u>t (.ил

		(2.9)
Разлагая заданные функции (2.9) в	ряд Фурье и подученный резуль
тат сравнивая с выражениями (2.8),	вычисленными при г = Ъ. , по
лучим 12 алгебраических уравнений для определения аД"'		и 4£"\
Если подставим найденные значения	а р 1 и 1^ в (2.8),	то полу
чим искомое решение задачи.