Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
Разложим заданные функции А. в ряд такого вида:
где оЛ ^ д . |
- |
функции зависят |
только от г і |
определяются |
по следующим формулам: |
|
|
||
0 |
О |
|
|
|
о т |
|
|
||
•С а» |
|
e J l f , |
(1.4) |
|
|
|
|
||
?» = * Г ^ \ t A e P - " ^ » e c M B l V + |
h . A ^ 5 « M ^ ( l e j ( f |
|
||
— С"0 Г ( |
" |
ТзС1"^ |
' Cm! |
|
їа= |
U m \ ? » ^ m c ? - A 9 ? H t " ' L e C o s m l o - j j e d ( < ) |
Решение системы уравнений (1.2) будем искать в виде:
Н*е rm:o |
J |
|
(1.5)
где а І |
, |
зависят |
только от t я пока неизвестняе фушщц |
|
Если подставим (1.5), (1.3) в |
(1.2) н приравняй коэффициента п |
|||
Si* №kf I |
GKWM" ЕУЛВ, TO ПОЛУЧИМ |
|||
|
|
_ |
(1.6) |
|
2)А = - г ^ , ^ Ь + 5 7 |
- г е . , |
Я ^ ъ ^ , |
||
Решением'системы уравнений |
(1.6) будет |
|
|
|
Q=t Z<*, |
А,ад+SLt СЧ , |
Qa= Za. |
в.en +s£<x\ |
|
K=Zb; |
А-»)*Асо, |
6t=£E-, |
ь . см - ^Ь |
(1-е) |
где A^Ctt Ъ'Т*-> Флі> определяются по формулам (13.5) главы 2
Система динамических уравнений теории связанной термоупрутости в сферической системе координат имеет вид:
Решением этой системы уравнений будет
-vvj-t" " ' |
(«1 |
. C-,m1 |
(и, п., |
и = о tnrC |
l - » J |
d |
J^-J K |
vc
1 |
(I.II) |
0 r e I Z Z l 1 , V w ( a , Ь ^ ч ^ С ™ ч ) , |
|
Рассмотрим пример. Пусть дана сферическая оболочка с внутрен ним и внешни радиусами о. н 6 .На гра ницах заданы смещения и температура
(I.I2)
Разложим (I . I2) в ряд такого вида
иг* m =о
Сравнивая (І.ІЗ) с выражениями ( I . I I ) , вычисленными при г = к ,
получки 16 алгебраических уравнений для определения |
aL"'"\^"•"'\ |
ж d^"'"5 . Если подставим найденные значения в |
(ї1 .П),"1 то |
получим искомое решение задачи. |
|
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1) первая и вторая (внутренняя и внешняя) задачи для шара, 2) вторая и омешанная задачи для шаровой оболочки и другие.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ІЕШНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения температурного равновесия в цилиндричес ких координатах имеют вид:
Т |
/ |
s -,,1 |
г т я й 1 " ^ |
U ^ - W l a * . |
Разложение зманных функций в ряд и интеграл Фурье дает:
^-Q ОСІ**1
oo oo і |
(2.2) |
Решение системы уравнении (2.1) будем искать в виде:
И =0 - bo 1-І
Если подставим (2.2) и (2.3) в (2.1), то получим
Решением системы уравнений (2.4) будет
1=1 |
b l |
1ДС t
^ a ? » * V b * y « r . л г „ - ? і * ї х - у » - 5 ^ , m V - * , - i » - V l f
Система динамических уравнонжй теории связанной термоупругоети в цилиндрических координатах имеет вид:
Г \ ^ . Л — \ ^ - ( t u |
ЛіЛЇУь ї л и , |
-»г ц* ^ і " * Ч + ^ |
- |
" U e ^ i * V J , |
( 2 ' 6 |
|
Решением этой системы уравнений будет |
|
|||
Т ^ Н ъ J + t* Т>ч* |
її* |
~ «Ч гллЛ та ) |
|
|
« • " " > • ' |
* |
\ ' |
(2.7) |
|
и=о icro X - i
. .4 00 00 S C X * |
(тЛ |
(2.7) |
|
||
И ~ D 1С-О |
|
' |
|
= / |
АС"."> А^'"' Л'"'1" »T"'"') |
Л0 "'^ |
« |
|||
А 4 Ч |
|
, А 1 г |
= А г і |
= А „ - A v l - - o , A r t |
|
||
А4*' - а З |
|
|
= ^ |
, A ^ ^ ) A - - y J _ |
|||
+ *•*<v f |
, S j = t o * w |
* i ' ? |
4 ^ |
. ^ 1 ( |
л |
, p -- H j . , |
|
Рассмотрим пример. Пустьг.аш часть трубы конечного размера с внутренним и внешним радиусами О- и і и высотой Vi . На границах заданы:
( e V ^ e ^ W ) , r w - |
( 2 ' 8 ) |
d = о,и -, і - о\ .
Для решения этой задачи решение (2.7) можно представить так:
Ц =е 2 - 2 . 2 - \ A . t c v ^ ^ c ^ j
4 u t |
£2, £° JL, |
c« ^ |
0 = e |
2- 2- L |
CLX A > 9 (о&миу fcuK3 |
Решение (2.10) автоматически удовлетворяется граничным услови ям (2.9). Разлагая (2.8) в ряд Фурье по синусу и косинусу и
сравнивая с (2.10), вычисленными при |
х~с |
, получим 8 алге |
браических уравнений, и решая, найдем |
а^1 '"1 - |
Если подставим |
на£денные значения в (2.10), то получим искомое решение задачи. Аналогичным способом легко решается следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для бесконечной трубы,
2)пгрвая и вторая (внутренняя и внвавяя) задачи для пданндра
идругие.
§3. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Неоднородные уравнения температурного равновесия в де картовых координатах имеют вид:
Ч=» V ~-»*»a -»*•»* '
- W |
T»*W |
.TV |
,VUP |
.; "bV |
-vr |
|||
^ |
* ^7» * ^ |
|
Т |
Г |
* |
|
r * |
- |
где ^ - ( л * г у р |
, |
p « J / |
f J , |
|
|
|
||
Пусть температурная функция Т |
разлагается в ряд Фурье |
|||||||
|
T = £ Z I > . < 4 |
|
• |
(3.2) |
||||
Решение системы уравнений |
(3.1) |
будем искать в виде: |
||||||
|
|
оо |
оо |
V |
|
|
|
|
|
|
оо |
«і |
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
КІ Стхоо"ї"мС' а1і * ! |
|
' |
|
|
||
к = Е Е Е £ - Л
