Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В нашем случае

( I . I I )

Разлагая (1.8) в ряд Фурье,

принимая ( I . I I )

во внимание, срав­

нивая полученные результаты

с выражениями (1.9) и (1.10), вы­

численными при х = с

и

y = d

, получим 12 алгебраических

уравнений, затем, решая,

находим

о."*' и б-1"'

. Если подставим

найденные значения в

(1.9)

и (1.10) и применим обратные пре­

образования Лапласа,

то получим искомое решение задачи.

Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:

1)первая и вторая задачи для полуплоскости,

2)вторая задача для полосы,

3)смешанная задача для прямоугольника и другие.

§2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМ0УПРУТОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

Система дифференциальных уравнений теории связанной термоупругости в векторной форме имеет вид:

(2.1)

v*0 -І

Применяя преобразования Лапласа с учетом начальных условий

(2.2)

получим

(2.3)

оі ^ictd сіиг U-xotroi.U-^.U = u^taci ва

где oi:rO**r>/j« . ?-??7^ . d s V f

В полярной системе координат решением системы уравнений (2.3) будет

U ^ Z i C c ^ s C ,С^г,ч.9;иВ -9)

« . 4 )

A > - ^ , АГ>)=и^>. A > = , ^ ' ,

Си"*

С»*4*

(к)

1

Рассмотри» пример. Дано кольцо с внутренним и внешним радиу­ сами а и і , на границах которого за­ даны смещения и температура

(2.5)

Применяя преобразования Лапласа, разлагая в ряд Фурье и срав­ нивая с полученным результатом выражения (2.4) при t = R , по­ лучим 12 алгебраических уравнений с 12 неизвестными a£r t и 6^"'. Затем подставляя найденные значения в (2.4) и применяя обрат­ ные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи.

Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:

1)первая, вторая и смешанная задачи для кольца,

2)вторая задача для круга,

3)первая и вторая задачи для многослойного круга и другие.

§3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРУЧ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОЛІРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕ­

КАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.

Система уравнений теории связанной термоунругости в де­ картовых координатах имеет вид:

(3.1)

Ті І£ _ ,-4в _ „їли* -чи, -»*»+ т»уг т>аг 4t *7т,Дт£*-»s

Пусть начальными условиями будут

Применяя преобразования Лапласа с учетом (3.2), получим

( a ^ W + ^ + ^ w f e + W r J = ? V ^ - a -

(3.3)

 

 

СО

где

tO/r ,

, u^ = W n u,a t

Решением системы уравнений (3.3) будет

 

» » і

(К.п.)

во во Ь r»tWt

' Г

где

(3.5)

(j-і.г") j

ї - - корни уравнения

X

-к -ьі - p = o •,

A. w = t e

Б . и і = к е

(3.6)

( і : 5 . ' * ) 5 , ' , ) , 0 > І І - корни уравнения

 

(а+Ог4 - ^-^0ОВ*р-г^р)»в*грл]г'* -O^-oV *

(3.7)

+ [(«1кт)г *(ъ-' ?)((•».-го в * f f гр^) +Вгт^ - Cb*f р)к

 

х (у+1) (іВ те)+f)~] х -у[(В +^ ?)(л *«О •* "2?л•< * ™ ] t

-

 

- ( в + ? ) [ ( в )

*о в • ?)+г ? иьъ] - (в ^ ? x - W - ? J А?

= о

3.7}

 

 

4

СГ-

=ff•

ft

= ic + m .

і

J

>

 

Рассмотрим пример. Пусть дан параллелепипед с основанием а и 6 и высотой с . На гранях параллелепипе­ да заданы напрянения, смещения и температура

( u « v ^ = * " b . ^ ,

( 3 - 8 )

Применяя преобразования Лапласа к (3.8), получим

Для удовлетворения граничным условиям в изображениях (3.9), решение (3.4), найденное методом разделения переменных, мож­ но представить так:

tly = 2

- Z Z l a j

К: W < ^ ^ Ь; И І П х ї

+

 

•

Ot,i«> оси*

(".«Ни»1

-,

fo тп\

U * Z Ь

2_. l Q i

с*)&;пк«у С«^Ї +

*

І

a I

Ч«,«о -0£,»Л ..

•

(3.II)

+ epyKAj^^B^lCH^S^m,,* . с ^ ' ^ С р ] , (3.II)

its.

j»l 1

ГД9

Д. (ai = Y

a l e

 

,

Bj сл> * к:Є

1

 

 

 

 

 

л

С; t ^ « W * l * * —

 

4

— U

 

33

^ ° ; И

^

Л

> ^

г

і t ]е*

»

^

 

'

 

 

t l j . C * l - V c i - w i . - f .

t-^sL) -

корнж уравнения

 

 

 

 

С..с ^ = т л г с С ^ е

73. (so=o , ( л = і д ) ,

Т;С-"-) - корнж уравнения

Проекции нормального напряжения имеют ннд:

(3.12)

В нашем случае:

при «. = 1 •. ^ i = ^ t , $4 = 0 , tt =o ;

при

4 =

7.

•

'

h - * 1

. У,= в ;

(З.ГЗ)

при

4»

' J

• « ' і 1

0 .

,

ї г " * 1 .

 

В силу (3.13) будут иметь место следующие выражения

(3.14)

Пользуясь

(3.14),

разлагая (3.9). в ряд Фурье и сравнивая полу­

ченные результаты

с выражениями

(3.10) и ( 3 . I I ) ,

вычисленными

при ot=i

, s . j

і j - . J

,

получим 24 алгебраических урав-

ненжі для определения QJ"-"1 ,

і!"'""' и С^"° .

 

Подставляя наиденные значения в

(ЗЛО) и (3.L.)

и применяя об­

ратные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи. Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:

1)первая и вторая задачи для полупространства,

2)первая, вторая и смешанная задачи для слоя и другие.

§4. ДИНАЫИЧЕСагаш ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРЫОУПРУГОСТИ ВВДЖОДРИЧЕСКИХКООРДИНАТАХ.

Система дифференпиаяыгах уравнений теории связанной терноупругости в цилиндрических координатах имеет вид:

^ U X r t U l

) +

- L ^ +

^ U ± l ^

і т и , '

" i i U " » 4

/

->t-iii f Tit1

у т>г '

і

 

г щ 1

-tufHJ" t->io* -»гг

(4.1)

r*l./VlJis-\ 1"2LHI ЦУд I L"LHi.

i^tHi

Применяя преобразования Лапласа с учетом начальных условии

Оя\,г(н*\*.-(*\..'°.

*'г-4.*

(4-2)

систему уравнений (4.1) можно написать так:

 

j l f — b u U ' l M ' *

і "»aut a "»u^

/і-Л^ч (4.3)

Смотрите также файлы