Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 1
^ и - Т о ^ о . |
( 3 . 8 1 |
Разлагая в ряд Фурье,полученный результат сравнивая с выражени ями (3.4) .вычисленными при зс-=с .получим 24 уравнений для определения 0L , Ь , . . . , dL
Подставляя найденные значения в (3.4) и применяя обратные пре образования Лапласа,получим искомое решение задачи.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи.
1). Первая,вторая и смешанная задачи для бесконечного слоя,
2). Первая и вторая задачи для полупространства и многослойного полупространства,
3). Задачи для параллелепипеда и другие.
§4. ДЙНАМИЧЕСЖИВ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОРТОЇРОШОГО ТЕЛА
СЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ В ІШШДРИЧЕОКОЯ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.
Система динамических дифференциальных уравнений теория рр- тотропного тела с цилиндрической анизотропией в цилиндрической системе координат имеет вид
(4.1)
г 1 |
нір |
г. |
~ьг>ч> > "it1 ' |
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных условий
систему уравнений (4.1) можно написать так
(4 3}
Реиенжем системы уравнении (4.3) будет
(tag Ш>Р |:| |
1 |
«э сх» с |
,. |
(4.4) |
где при j = 1 2
Е : р ч а т , ^ > е . - . ^ К 1 1 |
<4-5) |
д(о) |
' ' ^ ™ |
с ° • |
<=^ = " IА С 2 к ^ № - ( A w * f ) А 2 Ы1 - 2 А,(ак*»Ж*«*0}/чО'
^= ^ | A 3 j A ( a ^ a - a ( 2 . . J ) A 1 ( 2 K . 1 ) ] ( A ^ ? ) } / u ( ^ ,
* А . г * А „ , b , ( i ^ O = A 6 t ( u ^ 2 K + 0 a - A t i , - n 2 A 2 I ,
« © ( 2 « * 0 - " ' , I C A « * A „ X ' R , + 2 ' " 0 - A „ - A „ " 1 , J " A A a * A w ) ,
A , M = A 5 ^ R . ^ . ) - n 7 A ^ , K a « 0 - ( A „ + A 5 S X Y a * V * A „ + A5 5 , ї - и Ч А и ^ А м . ) , f> = JT%, a ,
JJ^^,*) l j |
6-,vS- б; , |
гдейопределяется из уравнения
когда j = М = * . Г 5 .1 =6 >A S, v».t ->,Ъ к С"Л"Л\Ск С"."-4-")
определяется по следующим формулам
^ |
^ |
к |
дали |
£ * = - mQ [2) (ак ) Б, (? - d В (2 о ] /д (2 к V
& |
«І* |
C » - o ^ 1 / A ^ ) |
, = t*"XA «*?) - |
||
- 1 |
(?«'0?Гъ* ? ?« ]/Aa (a -0 |
, А Ы - А и |
|
||
- |
А 2 4 - и At t |
,B(aO = « 2 |
t A ^ A t t - ( A n + A f |
c t X Y 2 ^ ] , |
|
At (a> 0 * i A ^ A . O l ^ ^ O - A ^ A ^ , 5 ^ 0 - |
|||||
= A t b ( Y 2 ^ - A w - ^ A i a |
^ = ^ * ( А „ * А 5 |
в ) t |
|||
= ^ [ ( A i b + A 4 t ) ( T l . + 2 k ) + A w - A a i ] , |
|
|
A a ( ^ > A 5 5 ^ - 2 K + i f - v 1 ' 2 A 6 6 , |
|
|
1 ( W > ( А „ * А ^ ) ( И ^ 2 к * 1 > А и + А ^ , |
|
|
где "Rj определяется из уравнения |
|
|
A a A ^ - R 4 - [ A M C A b t + » A 2 2 ) + ( A 2 2 + M X t ) A b i |
- |
|
- и Ч А ^ - А ^ ^ Р ^ - А ^ А и С и - О ^ о . • |
(4.8) |
|
Рассмотрим пример.Пусть заданы на гракипят трубы смещения |
||
^ U = |
^ ^ . r - W . |
U.9) |
Применяя преобразование Лапласа к (4.9).будем иметь |
||
|
( a A = . = T < w > - |
{ 4 - 1 0 ) |
Разлагая (4.10) |
в ряд Фурье,получим |
|
Вычисляя выражения (4.4) при г - а и г=6 и полученный результат сравнивая с (4.II).получим 24 алгебраических уравнений с 24 не известными коэфициентами.Подставляя найденные значения в (4.4)
и применяя обратные преобразования Лапласа .получим искомое ре шение задачи.
Аналогичным способом легко и решаются следующие задачи:
1).Первая,вторая и смешанная задачи для трубы,
2).Первая и ва рая внутт^няя и внешняя задачи для цилиндра и многослойного цилиндра,
3).Первая,вторая и смешанная задачи для трубы и цилиндра конеч ного размера и другие задачи.
Ч А С Т Ь |
ГУ. |
РАЗДЕЛШШЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ ДАЛЛАСА И ДАЛЖБЕРА И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.
Г Л А В А |
I . |
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ ЛАПЛАСА И ДАЛАМБЕРА.
§I . ОНЦЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ВВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ ЛАПЛАСА И ДАЛАМБЕРА.
Векторные уравнения Лапласа и Даламбера имеют вид:
• П - o,w.d dnr U - rot tot ц = о , |
( I I ) |
ТЕОРЕМА. Разделение переменных в решениях уравнений
( I . I ) |
и (1.2) возможно в трех случаях: |
I ) в |
декартовых, |
. 2) цилиндрических, 3) сферических системах координат.
Доказательство. Уравнение в системе криволинейных ортогональ ных координат имеет вид:
Пусть линейный элемент в криволинейной системе координат имеет вид:
c k ^ Z H ^ o , 1 . |
(1.4) |
Для удобства введем замену переменных
U U 1 = H . t U ^ . . |
(1.5) |
Тогда система уравнений (1.3) |
примет вид: |
(і.б)
Теперь положим, что система уравнений (1.6) допускает разде ление переменных
со
Здесь U- являются решениями системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений второго порядка.
Подставляя (1.7) в (1.6), получим
(1.8)
иГ-*ГйГ* № |
^ t W - t f V - o , |
где "*j |
i f j , ){j ~ функции, зависящие только от одной перемен |
ной 0^. |
|
Путем штегрирования выражения (1,9), найдем
Н ^ Д Л , , |
( 1 Л 0 ) |
Пользуясь (1.10), после несложного преобразования, линейный элемент (1.4) можно написать так:
[ЛЛЛ^+{Ыь*ф$ХМ$- (1-П)
Выражения (1.8), соответствующие втому линейному элементу будут иметь вид:
^ К г " ^ » ^ ^ , ^ + |
'<>, |
(I . I2) |
где
(І.ІЗЧ
Ч-^ІЇІ^"^^^- tt.
* < С . - С |
. U£ |
, ^ |
, № |
, у " шеей |
|
S l |
u;u в *. |
(i.i4) |
|
1 |
l J ^ |
X |
' |
(I . I5) |
|
|
|
|
(1.16) |
|
|
|
|
(I.17) |
v. p a \ib
(I.18)
(1.20)
(I.21)
(1.22)
уїлі = |
, |
(1.^3) |
В силу (1.20) ж (1.23), выражения (І . І5) и (І . І8) будут иметь вид:
|
V ? ^ * « . |
|
|
(I-25) |
||
Пользуясь формулами (1.24) и (1.25), выражение |
(І.ІЗ) для |
|||||
^ |
можно написать так: |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
.44 |
(1.26) |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
||
|
|
"u^ = |
T »* ' |
|
|
( I - 2 7 ) |
|
^ - £ ч |
|
|
|
(1-28) |
|
Боли подставим (1.24) в (1.16.), то получим |
|
|||||
|
,<г ' . . |
. |
..сч |
(1.29) |
||
|
|
|
|
|
|
|
В силу (I.Li) выражение |
(1.29) |
примет вид: |
|
|||
|
. 2 U |
- ? i c • |
|
( 1 - 3 0 ) |
||
|
' г |
U |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Аналогичным способом найдем |
|
|
|
|||
|
ї г |
JixL |
^ ? |
|
|
(I.3I) |
