Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 1
хда fb і ttiнестоящи».
Вичхтая жэ (1.18) яврахмсжв (І.Г7), получим
Из (I.I5) ишак
В силу (1.19) нирїхіжх* (1.20) будет хшть вад:
l a l U<" сЦг |
1 ~ V |
Ез cZ шмы
2
.Пкидквая (1.21) с (1.22), пазучжы
За espusosa (1.17) s ( L I B ) жьеги
С»)
В силу (ІД5) знрахвжаь (1.24) 6}дет ііаеть вад:
Псчдежяо умжожжя (1.23) їж (1.25), получзш |
|
|
* * 1 $ а ^ Х 4 = |
? э ' |
(1-26) |
Ревкзаем уржвмяжя: (1.26) будет |
< |
|
1 г = ^ ? г + ї |
і - |
(1.87) |
гз» рv - постоявше. |
|
|
Мам? бать, лгжгйжкі астшжт (І.ІЗ) *• щшидявжк иииадевей
плоскости. ДЕЗ Т#ГС, iseds ож приадлмжж азклдоявЗ п»ск*стж,
жвобхеджнэ х достаточно, чмбя т«жв#р крпжззн обращался в жуп тввдеетвмж* ,
* « * г К » « |
* ^ /+ T L H ? U £ )+ |
К^^І 1 ° -
Из лиеЯжогв ахежхтк (I.I3) плен
Н і ' Д а , Н г * 2 4 . |
( 1 .29) |
Подстамяя (1.29) з (1.28), пвдучяи
Если пвдствяяц (1.27) в (І.ЗО), то пмучкн
" U s , / |
• |
( І . З І ) |
Репюгивк этого урагкакя будет
П&іагаа , получим
* i |
= |
c |
l . |
|
(1.33) |
Точно THESIS пззагая |
C2 |
= о , подучим |
|
||
|
= |
с, s ; |
. |
(і . з4) |
|
Аїалогичшш способом из |
|
(1.27) |
будаы иметь |
|
|
1 . = ї 8 |
|
, |
• |
U.35) |
|
Пвжьзуясь (1.33), (1.34), (1.35), (І.ТЗ) к (1.29), найдем слвдугаув фор»йт гихвйного аалиэкта
a S* = ЯІ«К*» * а |
% , |
й г - г ^ . й ^ і , |
(1.37) |
||
|
|
|
|
|
.(1.38) |
d s* = %\ а<£+ |
а ! <* < |
, |
= ч в , н г - я а . |
« - 39) |
|
Пегьзугсь (1.23), ( I . 2 I ) , |
(1.33), |
(1.34) |
в (1.35), выражение |
||
(1.3) можно Ешшзать гак: |
|
|
|
|
|
джя линейных элементов |
(I.3S), (1.37) а |
(1.38) |
|
||
Для лннейаого элемента |
(1.39) |
|
|
|
|
I " I I ) |
1И- (.1) |
2 " № / |
• U) |
Эти условия (1.40) и (I . 4I) не только являются необходимыми, но также являются достаточными. Достаточность доказывается непосред ственной проверкой.
Й8 (1.36), (1.37), (1.38) н (1.39) следует, что систем» уравнений теории упругости допускает разделение переменных в полярянх, де картовых х спиральных координатах.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения равновесия упругого тела в полярнн? координатах ншют вид:
4 - s |
t \ ¥ ^ ^ w m - m ? m ^ ,(2.1) |
|
|||||
Для решения снстеда уравнений |
(2.1) выполним подстановку |
|
|||||
|
Uj ^Ъ.СЯЧФСчу |
, |
U ^ V O ^ b O . |
(2.2) |
|
||
После подстановки (2.2) |
в (2.1) |
и разделения переменяю: подучим |
|
||||
|
|
|
|
11г |
|
|
|
°>- d |
N . а гл d |
|
|
(2.3) |
|
||
|
|
= о |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полохнм |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl ^ г |
|
|
|
|
(2.4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
ф по синслу должна иметь период Зтт |
, что м<зхет |
|
||||
быть только прж ~к |
, |
равному квадрату целого числа и или |
|
||||
нуль. Полагая Ъ=-нг |
, |
(2.4) |
можно налигать так: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Гос. публичная |
|
|
|
|
|
|
|
научно - техни |
иая |
|
|
|
|
|
|
библмото.чч |
СССР |
|
|
|
|
|
|
ЭКЗЕМПЛЯР |
|
|
|
|
|
|
|
ЧИТАЛЬНОГО |
ЗАЛА |
После подстановки (2.5) в (2.3) получим
где
Умокая первое уравнение на $ ж дифференпдруя по $ , и вто рое ушожая на п* , получим
Внчлтая из первого второе, имеем |
|
|
|
||
Умножая второе уравнение (2.6) на |
и |
дифференцируя по $ , |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
' і ї ч Н М і Ш - ' - |
1 2 Л 0 ) |
|||
Внчжтая из (2.10) первое уравнение |
(2.6), |
получим |
|
||
Решениями уравнений (2.9) и (2 . II) |
будут |
|
|
||
А ^ Г |
И Г ' |
, В ^ . Г 1 |
^ ^ - " * 1 . |
(2.12) |
|
Если подставжм |
(2;12) |
в (2.6), то получим |
|
|
|
Из выражения (2.13) следует, что |
|
|||
|
|
|
|
(2.14) |
Подставляя (2.14) |
в |
( 2 . I I ) , |
будем иметь |
|
|
|
|
|
(2.15) |
Пользуясь (2.7), внраяание |
(2.15) мояио написать так |
|||
d-5 |
|
|
- |
( 2 Л 6 ) |
Умножая второе на |
g |
и дифференцируя по ^ , |
и складнвая, по |
|
лучим |
|
|
|
|
где
-і
Это есть неоднородное линейное уравнение Эйлера. Если введем замену переменного
і
5= е. , то уравнение (2.17) примет такой вид:
2 V *С*- |
* УЧ-т.а^ e |
*?a sza e ^ . (2.i8) |
Решеижеы этого уравяемня |
будет |
|
Возвращая к старым переменяны, подучш
где р. , |
tj,. г |
- |
произвольные постоянные. |
||
Подставляя |
(2.20) |
во второе |
(2.16), |
подучим второе решение |
|
_ |
l O t |
n * l |
lO, |
VI. I |
_ „ . v |
где
Для сокращения записи введен обозначения
Тогда решения (2.20) и (2.21) окончательно приму? вид:
(2.22)
к* = * . а и т^Лч -іАч +їМ .
Решеииеи урішнлния (2.5) будет
ф = fjS.inhM' + f b C o i h ^ , |
(2,23) |
Подставляя (2.23) к (2.22) в (2.2), получим решение система уравнения (2.1)
Решения прх и •= о ж |
п = і жмвют вид: |
|
и , - ? » ^ - ^ ' 1 |
, и *р = ? Л + ( М " \ |
(2.25) |
Объединяя решенжя (2.24), (2.25) и (2.26), можно написать ре-
иеняе в такой форме:
где обозначено
«Л» "S , Ы з = Т М " " ' " = 1 - ^ 3 С"-"'1 -'*)?
а » ' = і , а Г - с » — ' - а - ) * " " , а Г = - Г 1 > « Г =
