Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл (5,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .

Пользуясь решением (2.27) и известными формулами для ььчмслення тензоров деформации и напрякений, найдем тензор на пряжений

^ И Г О І - і

п-о 1 = 1 ' W. 1

= Ї £ (а-"с«ьч - ,

- 1

„1С)

				§ 4 . П Р И М Е Р I .
	Пусть на границе круга упругого тела при										за
даны смещения:
			( u i \ s		1 L =	V * 0	, i - s , f	.			(4.1)
Решение (2.27) для нашего случая можно написать										так:
											(4.2)
Разложим (4.1)			в ряд Зурье
	V '				и = 1
где ^(.Ч>)	-	функции периодические и удовлетворяющие условиям
Дирихле.
Сравнивая	(4.2)			при	g ="R		с (4.3),	получим
С, =bs	/2R		,	С6	= е^/гтг. ,
C i t , *		* c ' *			=ci 4	, 0 , 1 ^		* C t	H	,	(4-4)
Решая систему			(4.4),		найдем
	О1"»		p С*)				-Сні ( n J	(ні	(иі
c t m = i b t _ l i » _					,	С с " - Л _ А _ 1 а		* ^	„<-	. л ,	(4.5)

Если подставим (4.5) в (4.2), те получим

to) ОО

U 4 = 6 4 V a * i ^

H M ^ l J t lSi.„V t

Таким образом, мы получили форюльное решение первой краевой внутренней задачи для круга в виде рядов. Покажем, что полупен ное решение (4.6) является искомый. Для этого докажем сходи - мость рядов (4.6), возможность ида£ферензгаров8яияи непрерыв ность не границз круга.

Цусть

и^'-Г ґa^" + e, > \•>l , V, ', Г„1"\.«*> o w *"\,»-ч,

(4 '

Вычислим m -ю производную функций u^ 1 і u ' " по ^

(4.

Отсюда получаем опенку

|V"U,f 1 І л і г /_1-Ч »<"'. t«) гч-і , (ЛЧ (."1 .(.«І t v,, n - i .

При любом целом	n , изменяющемся от I , 2, 3,	4, .
имеет место
	•hi і	(4.10)
Пользуясь (4.10),		А'
Пользуясь (4.10),	выражения (4.9) мохно написать так:
	Т) vf	(4.ГІ)

Теперь рассмотрим такие ряды

Из этого видно, что они сходятся равномерно при t<-i и при любом ш . Поэтому ряда (4.6) можно продифференцировать по ч в лю бой точке внутри круга любое число раз. Аналогично можно показать,

что пс £	можно дифференцировать внутри круга сколько угодно раз.
Следовательно ряды (4.6) удовлетворяют системе уравнений		(2.1).
	Теперь покажем непрерывность функции в замкнутой области
( t i i	) .
При ^ І "R ряды (4.6) можно можорировать рядом
	* ' £ ( \| а Г М Є Г і ) ,	(4.13)

М - 1

сходящемся в силу предположения о непрерывности и кусочно-гдадко- сти -^(чО . Следовательно, ряды (4.6) сходятся равномерно при t > i , представляемые ими функции также непрерывны на границе крута.

Теперь рассмотрим численный пример. Пусть на границе круга заданы смещения

U . J s t U = a ; ( i - C ^ ) .

(4.14)

В нашем случае решение (4.6) примет вид:


Если положим 5 - І .	, а^=2, 0^,= i v		> =Ї , ^ = і _ ^ ,
то получим численное значение решения
=3,15	,	Ц,= 0,675 .
§ 5.	П Р И М Е Р		2 .

Пусть имеется плоское кольпо с внутренним и внешним ради усами а и § . На границах при ^ = а и $ = К заданы смеше ния:

( " О ^ х " ^ ^ ,

; i = S,4),

(5.1)

где F; Счі - перпотдаческие функции, удовлетворяющие условия?/ Дирихле.

Разлагая функции, заданные на гранитах, в ряд Фурье, «тем иметь

ос

h = 1

Сравнивая (2.27) при \-<х в	^ 4	с	(5.2),	получим систему
8 алгебраических уравнений для определгния о.^				и V	. Ксли
подставим найденные значения в	(2.27),		тс полутам искомо? ре
шение задачи.

§ 6 .	П Р И М	Е Р	3.
Пусть дан круговой прямоугохьндк, ограниченный двумя
дугами кругов,	описанных из центра координатной системы ради
усами а и I	. На гранилах заданы:
( U k ) S	r t = Y - % ) ,	С = а,1 ,	j = s > > f >	(6.1)

^ %>Ч,А	)ч*А	'	(6.2)
В нашем случае ретениг (2.27) можно представить так:
	©о U
а	К го I'M	*	(6.3)
	ОО U

где

Решение (6.3) автоматически удовлетворяет	граничным условиям
(6.2). Разлагая (6.1) в ряд Фурье па синусу	и косинусу и срав

нивая с полученным результатом (6.3) при ?=и и $ = £> , полу чим систему уравнений для определения a t . Подставляя найден ные значения а. в (6.3), получим искомое решение задачи.

2i>

§ 7. ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ПУАССОНА.

Аналогично интегралу Пуассона для теории гарыошгчьс- EOS функции легко ножно на!ти интегралы Пуассона для теории уп

ругости.Имэгт место следующие формулы

^ " V .	Л , . , ч U+ta )0*p - 2 t
	2(C<fr-)
	t V i - n i C ^ f 1 >

„

C"> и

[

( I f

( t V i - a t c ^ . f ) ' 1

"=« 1

(t\i-at.upf

2^ p -v

Если подставим (7.1) в (4.6), то получим

С
+ з[^и*т-о(с»>сч-о-ь)	)bu. (ч-ч>п -іd	( 7 ,
' Л - 0 [ І Ч І - 2 І С « ( Ч , - Ч ' П	J

зо

В случае внешних задач для крута і - Я/,

Аналогичным способом легко мокно получить формулы для второй задачи теории упругости.

З А М Е Ч А Н И Е .

Из репонных задач в §§ 4, 5, 6 следуют, что легко решаатся следутие задачи: I) первая, вторая я смешанная задача туи коль ца. 2) первая и вторая внутренняя' ч внешняя задачи для круга,

3)упругая область, разделенная круговыми границаш раздела,

4)первая, вторая г сгятанная зшіачи для часта сектора и сек тора н другие.

§ 8. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДШАТ.

Система дифференциальных уравнений (І.Т) в декартовых координатах имеет вид:

1-і-О ^ ?

(8.1)

= о

где ^ = (>*j-Vf. ."^}* - упругие постоянные ЛЕЛІЄ.

ЗІ

Вышеуказанный способом решая (8.1), получим решение в такой

форме

u ^ C * С - s ± А ^ > ( а Г ^ . У						J ,
						(8.2)
S	ic:li4
где
А,<.*0 = Є	A	t	( » ) =	— ' - 2 ) e	C	^
A , C^-}= Є	A		Cx.> = - ( ^ k x * d * a ) e
С»'	-«СО-»',		Си)	-IC(Q-3L5