Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение уравнения равновесия, найденные методой разделения пе­ ременных, можно представить так:

1^=1,2 . 1<Ч A. t - ^G^ - j - g .

В ; tsOSu.w-,0

 

«=• U 1

'

(13.8)

Тензоры напряжения имеют вид:

Х ' [ > А Л У ) Ч ^ Г Ь * Г ^ У - ~ ^ 1 ,

г у ч

" Z . 2 ^ j a

г

- ^*а ] . )к: а Ъ 1 с-х^Ск^у*- (13.9)

 

+ 1

[(л+з^А,

 

С У ) ] ^ ^

] ,

?

££

1 < U * ^

A

^ ] 6:.. ^

* -

 

*

Г 4ч

 

^

1 г

П

 

В нашем случае

(13.10)

Разлагая (13.10) и (13.7) в ряд Фурье, сравнивая полученные ре­ зультаты с выражениями (13.8) и (13.9), вычисленными при х = с и у = d , получим 8 алгебраических уравнений для определения

З А М Е Ч А Н И Е .

Из решенных в §§ 10, I I , 12 и 13 задач следует, что легко реша­ ются следующие задачи:

1)первая, вторая и смешанная задачи для полосы,

2)первая и вторая задачи для полушюскостл,

3)многослойная полуплоскость, разделенная параллельными лини­ ями раздела,

4)задачи для пряттоугшшгака и другие.

ГЛ А В А 2.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ СТАТИКИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§I . ОБЩЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

ВУРАВНЕНИЯХ СТАТИКИ УПРУГОГО ТЕЛА.

Мы разыскиваем все системы криволинейных ортогональных ко­ ординат, в которых система дифференциальных уравнений теории уп­ ругости допускают разделение переменных.

ТЕОРЕМА. Разделение переменных в решениях системы уравнений теории упругости в системах криволинейных ортогональных координат возмояно в трех случаях:

1)в декартовой

2)цилиндрической и

3)сферической системах координат.

Доказательство. Пусть линейный элемент эвклидова простран­ ства трех измерений имеет вид:

ds* = Z H ' d Q * •

(1-І)

Система дифференциальных уравнений статики теории упругости ткет вид:

Для удобства если введем замену переменных по формулам

и ' л ,

= H * U %

t

,

(і.з)

то система уравнении

перепишется

в виде:

 

 

•5

III

ill

 

в% І- Н 4 1 Я-

"П- ' J

'

Теперь положим система уравнений допускает разделение переменных

и = и 1 ( я л и , і ч о и 1 с г о -

(1-5)

Здесь Lt ся^І -ЯВЛЯЕТСЯ решениями системы обыкновенных дифферен­

циальных уравнений второго порядка.

Подставляя (1.5) в (1.4) и разделяя переменные, получим

Ul

~?i

U .

^ , U . t f ;

U ; + J , u ;

< - ? t u ' = o .

u ' b )

где

o^' 1 ,

f j° t

-функции,

зависящие

только от переменной (g^

Интегрируя

второе

и третье

выражения (1.7),

найдем

Р

и ••

- г „

<•

(1.10)

Подставляя (I.10) в первые выражения (1.8) и (Г.9), получим

. - П ч ^ - і ^ .

,Г . П)

Интегрируя ( I . I I ) , получим

(I.12)

Подставляя (I.12) в (I.10), получим

Потенцирование (І.ІЗ) дает

 

 

 

 

 

 

Из (I.14) получим

 

 

 

 

 

 

H . - f ^ M *

,

 

V«?.V;

•

 

Сі. 15)

Аналогичным способом из (1.7),

(1.8)

и (1.9), найдем

 

нг=гллъ

.

H , - * , V S , .

 

 

( 1 Л 6 )

 

 

 

 

 

 

Пользуясь ( I . I 5 ) ж ( I . I 6 ) ,

линейный элемент

( I . I )

можно написать

в виде

 

 

 

 

 

 

d V= С і л . і ^ я , ) - C w A ^ V C ^ ^ j 4 .

( r - I 7 )

Введя замену переменных по формулам

 

 

 

 

1,<К, = < ^ , гМ,-^,

. ^ « ь ^ А »

,

( ї л а )

тогда линейный элемент можно написать в такой форме

Уравнения (1.6), соответствующие этому линейному элементу, будут тлеть вид:

іг t w

і іч

•, m

til сі) "l Ju!"

' l l 1 1 1

2 ,

_ • CI)

.

CD ,,«.4

a

• ітл

en ,,'ii

•1Ь

a ^ l l i l i ' U i i ' Д О * иГ.'Ь-4!,І-)[--.+

(.11

(1.22)

a ( 1 ,', г Л , и ' d ( і d f v s- , ,14 w't 1

Из

(1.23) имеем

 

 

 

С л , ™

 

» t ,

 

 

Аналогично из R U )

(1.22)

имеем

 

 

J 'г'т

і

 

, си

 

її

1 1 1

 

 

" Г

V

1?

~ ь

 

[1ъ/ц^~?,-

 

 

Из

и ,/( '"

(I.2I) имеем

 

1*1 L ^ d J " ^ A ) - ^ , ]

, р е

* ! [ т ф >

 

 

Л >

" < ' " ]

-

Із. Ї1ib-їм

 

 

 

 

5x/

u,

1 .

lТ.

'

 

 

" "

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'і

 

 

 

 

 

Подставляя (1.25) в

(І.ЗІ)

и (1.27)

в (1.28), получим

(1.25)

( 1 - 2 6 )

(1.27)

( 1 . 2 9 )

( I - 3 0 )

(і.зі)

(1.32)

Если подставим (1.32) во второе выражение ( I . 2 I ) , то получим

•

С

а

д

- І ^ Щ ) * ^ ^ ) - ^ .

<і.зз.

Из этого следует, что

 

 

 

 

 

1 1 " а % ; " = м . ,

(1.34)

 

 

 

 

V * / l . \ 4

(1.35)

где

?•

,

т .

-постоянные.

 

Пользуясь (1.32) и (1.27), третье выракепле (I . 2I) мояно написать так:

^ v

^ K

 

^ $

^

y

v

^

y %

1 - Н • (1-36)

Из (1.36) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• с»

.

 

 

, «і

 

 

Ч 1

~

 

'

А\,

 

t l

И'*" -I

(1-37)

Вычитая из

(1.29)

выражение

(1.37), получим

 

 

 

 

L , i

/Чі"! =

 

L"»

•

(1.38)

Почленное деление

(1.34)

на (1.38) дает

 

 

 

 

 

Г С ' л а ,

= Т

.

 

 

(1.39)

Интегрируя

(1.39),

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

" Г ^ г Л * " ? »

 

•

 

(1.40)

Для удобства можно положить

їі г ~^,

 

тогда

 

Пользуясь (1.32) и (1.27), пятое и шестое выражения <^Д1' и (I . 2I) можно написать так:

Из (1.42) и (Т.43)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

T ( f ^ ^

^

^

'

Т

С

.

(1-44)

^ [

^ ' ^

k t f

^ -

l

^

i

~ И «

•

(1.45)

Вычитал из (1.45) выражение (1.44), получим

 

 

Почленное деление

(1.35)

на (1.46)

дает

 

 

 

 

Й » 7 й ^ '

= F i c

•

 

 

 

 

 

(1.47)

Приводя к обшему знаменателю и интегрируя, будем иметь

 

Не нарушая общности, можно положить Р ^ - о , тогда

С1С

Всилу (1.38) выражение (1.37) будет иметь вид:

Смотрите также файлы