Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
ем Фурье (положив s = /со), функционал (1.3) можно запи
сать |
в виде |
|
|
, 0 3 |
|
е = |
- г J lrFx(s)F x(^ s) + ( c ^ s 2)F u(s)Fu( - s )]S t (s)ds, |
|
|
—/°° |
( 1.6) |
или |
|
|
,со |
|
|
|
|
|
|
[г 4- (с —а?) W (а) W (—а)] S^, (s) |
■ ds. |
|
- м—,со [Р (s) —М(s) W' (s)] [Р ( - s) —М( - s) W' (— s)] |
|
Выше отмечалось, что минимум функционала (1.6) не |
||
обходимо разыскивать на множестве таких функций |
W (s), |
|
которые обеспечивают устойчивость замкнутой системы объект + регулятор. Одним из возможных методов учета"' требования устойчивости замкнутой системы при миними зации функционала является введение варьируемых функ ций в том или ином виде в зависимости от динамических
свойств объекта [12]. |
|
J |
Так, пусть варьируемая функция Ф , (s) определяется |
||
соотношением |
|
|
Фі ® = |
Р (s) — М(s) \Ѵ(s) ' |
^ |
В этом случае передаточные функции Fx (s) |
и Fu (s) |
|
примут вид: |
|
|
Fx(s) = |
$>l(s). |
|
а функционал е будет квадратичным относительно Ф , (s): ,со
e = j J {[гМ (s) М (— s) + |
(с — s2) Р (s) Р (— s)] X |
— /оо |
|
X Ф, (S) ф , ( - S) - (С- |
S2) [Р (S) ф , (S) + |
Запишем выражение для первой вариации этого функцио нала
/оо
' бе==Т І { W s ) / W ( - s ) + ( c - s 2) P ( s ) P ( - s ) ] X
. —/00
а
к* |
M (s) M |
___Ф, (S) — <С— S2) Р (— s) ^ 1’ ^ |
« |
||||
X |
(— s) |
1 W |
^ |
S > *> |
S'M (s) M(— s) j |
* |
|
|
|
|
|
|
y°o |
|
|
|
X 6Ф (— s)ds + |
Y |
^ j[/7W(s) M (— s) + |
|
|||
|
|
|
|
|
— / 0 0 |
|
|
|
+ (C- |
S2) P ( S ) P ( - S)]Z I^ |
Z ? 0 1( - S) - |
|
|||
|
- |
(c - |
s2>я (s) л т д а т У |
бфі (s) *• |
|
||
В соответствии с методикой решения уравнения Вине ра — Хопфа [24, 30] выполним следующие промежуточные преобразования в подынтегральном выражении.
Множитель, стоящий перед Ф , (s), представим в виде произведения двух функций
[гМ (s) M ( - s ) + ( c - s2) Р (S) Р (-S )] M{s^ _ s) =
= Dj (s) D, (— s),
причем Dx (s) имеет нули и полюсы только в левой полу плоскости.
Выражение (с - |
s2) Р ( s ) M{s)^ |
_ |
s) ■ |
предста |
|
вим в виде суммы трех слагаемых |
|
|
|
||
(с ___s2) р |
(____s) |
^ |
. |
1 |
_ |
|
^ м |
(s) М (— s) |
|
D.i—s) |
~ |
— В 10(s) + |
^ 1+ (S) + |
^ l—(s)> |
|
||
где B 10 (s) — целая часть (полином от s), В i+ (s) — правиль ная дробь с полюсами только в левой полуплоскости s, Bi_ (s) — правильная дробь с полюсами только в правой полуплоскости S.
В принятых обозначениях выражение для первой вариа ции функционала запишется в виде
/со
бе = у [ D1( - s ) [D 1(s)<b1( s ) - B u ( s ) - B i + ( s ) -
*— /оо
/со
— Bi—(s)]6® i(— s) d s -j— -г- |
§ |
D1(s)[D1( s)Oj.( s) |
' |
— jeо |
|
- ß 10( - s) - B l+ ( - |
s) - |
5 ,_ (s)] SO, (s) ds. |
10
Тогда функция Ф , (s), обращающая в нуль первую вариа цию функционала бе и имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, определится следующим соотношением:
фі (s) = |
[Вы (s) + B l+ (s)], |
а минимум функционала е |
|
/со |
|
®min |
ß ,_ (s )ß ,_ (- ■s)+ |
--JOG |
|
г{с- |
ds. |
+ гМ(s) M(—s) -|- (c — s2) P (s) P (—s) |
Из (1.5) получим выражение для искомой передаточной функции
iw /,л _ |
Р (s) ®і (5) |
1 |
WW |
М (s) Ф, (s) |
' |
Определим, при каких условиях выбор варьируемой функции в виде (1.7) обеспечивает устойчивость замкнутой
системы объект + регулятор. |
|
|
|
Представив Ф , (s) как отношение двух полиномов |
cpu (s) |
||
и ф10 (s), т. е. |
|
|
|
|
0,(5) = Фа 60 |
’ |
|
|
Фіо (s) |
|
|
получим |
|
|
|
т /ч\ |
Фа (s) Р (5) |
Фіо (s) |
( 1. 8) |
U |
фи (s) Af (s) |
|
|
Тогда дифференциальные уравнения, описывающие движе ние замкнутой системы объект -f- регулятор, имеют сле дующий вид:
Р (р) X — М (р) и = ф,
[фю(р) — Фп (Р) р (Р)1 X+ Фи (Р) М (р)и = 0. Характеристический определитель замкнутой системы
P ( S ) |
— M(s) |
Д(5) = |
Фіо (sW s ) . |
Фіо (s) — Фи (s) |
(s) Фи (S) Л4 (s) |
Нули полинома cp10 (s), являющиеся полюсами функции Ф, (s), расположены в левой полуплоскости s, так как полу чаемая в результате решения уравнения Винера—Хопфа
И
передаточная функция Ф х (s) физически реализуема (имеет полюсы только в левой полуплоскости s). Таким образом, замкнутая система объект + регулятор будет устойчивой, если все нули полинома М (s) находятся в левой полупло скости. В противном случае (полином М (s) имеет хотя бы один нуль с положительной вещественной частью) замкну тая система будет неустойчива.
Рассмотрим другой вариант выбора варьируемой функ ции.
Пусть
|
|
Ф 2 (S) = |
р(S) _ yvl (S) W (s) • |
(1-9) |
|
Тогда |
передаточные функции |
Fx (s), Fu (s) и |
функционал |
||
(1.6) |
имеют |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
Fx(s) = - p ^ l® 2 (s )M (s )+ l], |
|
||
|
/DO |
Fu(s) = |
Ф а(«)» |
|
|
|
|
|
|
|
|
e = |
| [ |
{[гМ (s) M ( - |
s) + |
(с - sa) P (s) p ( _ s)] Ф 2 (s) X |
|
X ® s ( - s ) + rM (s)® 2(s) + /-A4 (—s) a>a(—s) + r} p ^ p l _ s) ds.
Ход решения задачи аналогичен ходу в первом случае, поэтому приведем только окончательную формулу
Ф2 (S) = ----- [ß20 (S) + В 2+ (S)],
где D2 (S ) — функция, имеющая нули и полюсы только в ле вой полуплоскости, которая определяется из разложения
[гМ (S) М ( - S) + (С - S2) Р (S) Р ( - S)] -р |
s) = |
— ^2 (S) ^2 ( S)> |
|
ß 20 (s) и ß 2+ (s) — целая часть (полином от s) и правиль ная дробь, имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, в разложении
гМ ( - s) S^(s)
£>., (-S) Р (s) Р (-S) = В 2 0 (S) + В 2 + (s) + В2 —(s)
(ß2- (s) — правильная дробь, имеющая полюсы только в правой полуплоскости s). Минимум функционала в этом
12
