Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

случае

е,,,і" — / —I/оо ' ^ 2 —($) В2 —(— s) -f-

г (с — s2) (s)

ds.

^гМ (s) М (— s ) + (с — s~) Р ( s ) Р ( — s )

Передаточная функция оптимального регулятора, со­ гласно (1.5), определится формулой

 

W(s) =

ф 2 (S ) Р (S )

 

 

 

1 +

Ф 2 ( s ) М ( s )

 

 

 

 

 

 

 

 

и, если представить Ф 2 (s) в виде отношения двух

полино­

мов ср21

(s) и ф20 (s), т. е.

 

 

 

 

 

 

 

0

2(s)

Фаг ( s )

 

 

 

Фао (S) ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W(s) =

 

:

Ф м

(S) Р (Я)

( s ) '

( 1 ■1 ° )

 

 

 

 

фае (s ) +

Ф г і ( s ) TW

Характеристический

 

определитель

замкнутой

системы

запишется так:

 

 

 

 

 

 

 

A(s) =

P(s)

 

 

 

~

M(S)

-

П Р М

 

- c p 21(s)P(s)

 

cp20(s) +

cpai (S)M(S)

(Sj'

Замкнутая система объект -+- регулятор будет устой­ чивой при выборе варьируемой функции в виде (1.9),если полином Р (s) имеет нули только в левой полуплоскости, т. е. объект устойчив. В случае неустойчивого объекта ре­ шение задачи в виде (1.10) приводит к неустойчивости замк­ нутой системы.

Таким образом, для объекта, передаточная функция которого имеет все нули, или все полюсы в левой полупло­ скости s, решение задачи (передаточная функция оптималь­ ного регулятора W (s)) определяется одной из формул (1.8), (1.10). В противном случае регуляторы, определяемые фор­ мулами (1.8), (1.10), приводят к неустойчивой замкнутой системе.

Как видно, решение поставленной задачи (нахождение минимума функционала качества на классе передаточных функций регулятора, обеспечивающих устойчивость замк­ нутой системы объект + регулятор) тесно связано с вы­ бором варьируемой функции.

13

Аналогичный вывод делает Ш. Л. С. Чанг в своей моно­ графии 130]. Он, в частности, рекомендует выбирать раз­

личные варьируемые функции для

минимально-фазовых

и неминимально-фазовых объектов.

Для неустойчивых

объектов, согласно [24, 29, 30], решение задачи разбивается на два этапа: стабилизация объекта и нахождение уравне­ ния регулятора из условия минимума функционала.

В [14] показано, что, усложнив вид варьируемой функ­ ции, можно получить решение задачи для объектов с разны­ ми динамическими характеристиками (произвольным рас­ положением нулей и полюсов передаточной функции не­ управляемого объекта).

Действительно, если варьируемую функцию выбрать в

виде линейной комбинации функций Ф х (s) и Ф 2 (s):

 

 

в

и

и

Ф , в + Р в

я > .(» )= ; g

i ^ (g ,y g )

■

о - " »

где

а (s)

и

ß (s) — пока

произвольные

полиномы

от

s, то

можно получить «универсальное» решение поставленной за­ дачи.

Передаточные функции Fx (s), Fu (s) (1.5) и функционал

(1.6) имеют следующий

вид:

 

р /<Л

Ф (s) М(s) + р (s)

 

 

 

ß (s) P (s) + а (s)M(s)

’

p

. _

Ф (s) P(s) — a (s)

 

“ i

;

ß (s) P (s) + а (s) M(s)

’

/©O

 

 

 

e = T J [ß (S ) P (s) +

а (s) M (S )] Iß ( - s) P ( - S) 4 • а ( - s) /VI ( - s)] 83

—JOO

 

 

 

X{[rM (s) M (— s) + (c — s2) P (s) P (— s)] Ф (s)Ф (— s) -J-

+[rß (— s) M (s) — (c — s2) a ( —s)P (s)] Ф (s) +

+ [/-ß(s) M (— s) — (c — s2) а (s) P (— s)] Ф (— s) +

 

-f rß(s) ß (— s) -f- (c — s2) а (s) а (— s)\ds.

(1.12)

Последующие выкладки аналогичны двум первым случаям. Функция Ф (s), обращающая в нуль первую вариацию

функционала (1.12)

/оо

& = Т І

—JCO

D (s)D (-s)

 

r(s)

5Ф (— s) ds -j-

Q (s) Q( - s) Ф (5) + Q (s) Q (—s) .

D(s)D(-s)

Ф ( - 5 ) +

H - S )

 

6Ф (s) ds

Q(s) Q(— s)

 

Q (s) Q (— s)

 

14

и имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, опреде­ лится соотношением

ф (S) = -

[ß o (s) + В+ (s)],

(1.13)

где D (s) — функция, имеющая нули и полюсы только в ле­ вой полуплоскости, определяется из разложения

[гМ (s) М (— s) +

(с — s2) Р (s) Р (— s)] 5,1, (s) =

 

=

D(s) D (— s),

(1.14)

Q (s) — полином с нулями только в левой полуплоскости, получившийся в результате разложения

[ß (s) P(s) + а (s) М (s)] [ß ( - s) P ( - s ) +

 

+ a ( - s ) M ( - s ) } =

Q (s)Q (-s),

(1.15)

Т (s) = [rß (s) M (— s) — (c — s2)

а (s) P ( -

s)] S * (s),

(1.16)

B 0 (s) — целая часть (полином от s),

(s) — правиль­

ная дробь, имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, в разложении

 

T (s )

(s) +

(s) + B—(s)i

(1.17)

D

 

=

( — s )Q ( s )

 

 

 

 

ß _ (s) —

правильная дробь,

имеющая

полюсы

только

в правой полуплоскости s.

 

 

 

 

Минимальное

значение

функционала запишется

в виде

 

 

/со

 

 

 

 

 

 

'"= Т I

B _ (s )ß _ ( - s ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r ( c — s ^ S ^ l s )

1

(1.18)

+

г / И

(S) М ( — s ) +

(с — S - ) Р ( s ) Р ( — s)

ÜS'

 

Передаточная функция оптимального регулятора, согласно (1.5) и (1.12), определится формулой

W СО =

ф ( s ) р

~ а ( s )

(1.19)

 

ß(s) +

Q (s)M (s)

 

и, если Ф (s) представить отношением двух ПОЛИНОМОВ фх (s) и фо (s)

®(s) = Фі (s)

<Po(s) ’

то W (s) примет вид

iw СО =

Фі (5) Р (s) — Уо (s)« (s)

(1.20)

W

Фо (s) Р (s) + Фх (s) ЛГ (в)*

 

15

Характеристический

определитель замкнутой системы

имеет вид

 

 

— Фі (s) Р (s) +

Фо (s) а (s)

фо (s) ß (s) + Фі (s) M (s)

= Фо (s) [ß (s) P (s) +

а (s) M (s)].

Так как полином Фо (s) имеет нули только в левой полу­ плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необхо­ димо, чтобы полином ß (s) Р (s) + а (s)M (s) имел нули толь­ ко в левой полуплоскости, т. е., согласно (1.15),

ß(s)P(s) + a(s)M (s) = Q(s).

(1.21)

При заданных Р (s) и М (s) соответствующим выбором полиномов а (s) и ß (s) можно добиться того, чтобы полином Q (s) имел нули только в левой полуплоскости. Другими словами, задавшись произвольным полиномом Q (s), нули которого лежат в левой полуплоскости, соотношение (1.21) можно рассматривать как полиномиальное уравнение отно­ сительно а (s) и ß (s) и решать это уравнение методами, ука­ занными, например, в [6]. Таким образом замкнутая система объект + регулятор будет устойчива при любых полиномах Р (s) и М (s), характеризующих свойства объекта. Остается показать, что произвол в выборе полинома Q (s), а следова­ тельно, и полиномов а (s) и ß (s), не отражается на конеч­ ном результате, т. е. передаточная функция оптимального регулятора и минимум функционала качества не зависят

от полиномов а (s) и ß (s).

 

Введем некоторые добавочные обозначения.

Пусть

 

 

R (s),

rß (s) Ni (— s) — (с — s2) а (s) P (— s) =

rM (s) M (— s) +

(c — s2) P (s) P (— s) =

G(s) G(— s),

 

 

(— s)

( 1.22)

Sy (s) =

П (S) Г ,

 

Г. Й r 0 (—S)

 

 

 

где G (s), Г 0 (s) и I\ (s) — полиномы с нулями только

в ле­

вой полуплоскости.

 

Тогда, согласно (1.14), (1.16) и (1.17):

 

D(s) = G (s)-Гi і й .

(1.23)

о й

 

 

(1.24)

В о (s) + В + (s) + В -

(s) = G ( — s ) Q й Г о й '

(1.25)

 

16

Если функцию Ф (s), определяемую выражением П.13), переписать в виде

 

 

Ф (5) = -

T ( s )

+

Q (s) 5 _ ( s ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D (s) D ( - s)

D ( s )

 

 

 

то в принятых обозначениях

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (5) =

G ( s ) G ( - s )

 

Q ( S ) r„(s) ß _ ( S).

 

(1.26)

 

 

 

 

 

G ( s ) T \ (s)

 

 

 

Нетрудно проверить, что

 

 

 

 

 

 

/И (s)

(s) =

ß (s) G (s) G (— s) — (c — s2) P (— s) Q (s),

(1.27)

P (s) R (s) = — а (s) G (s) G (— s) +

rM (— s) Q (s).

(1.28)

Тогда,

согласно

(1.19), (1.26),

(1.27) и

(1.28),

получим

w , . _

—

r M (—

s) Г; (s) G ~ * (—

s) + P

(s) Г „

(s) B _ (s)

„ 2 g .

U

 

( c - s * ) P ( - s ) r 1 ( s ) f f - , (-r s) + i M ( s ) r 0 ( s ) Ä _ ( s ) - ^ '

Рассмотрим

более детально

 

процедуру определения

ß _ (S ) .

Е с л и умножить и разделить

выражение

(1.25) на

Р (s), то, учитывая (1.28), получим

 

 

 

 

В0 (s) +

В+ (s) -|- В _

—

 

а (s) G (s)

rM (—

s)l

I\(s)

(s) =

 

О Й

+

G ( — s)

Г 0 (s)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.30)

Аналогично, если умножить и разделить (1.25) на М (s), то, учитывая (1.27), получим

В0 (s) + В+ (s) -(- ß _ (s) =

1

р (s) G (s)

(c — s3) P (— s)

r t (s)

(1.31)

М (s)

Q(s)

G (— s)

r 0 (s)

‘

Как видно из выражения (1.25), полюсами В_ (s) будут только нули полинома G (— s).

Отметим, что три полинома Р (s), TW(s) и G (— s) не могут иметь даже одного общего нуля, так как в этом случае объект регулирования будет неуправляем и неустойчив. Поэтому, определяя В _ (s) в виде суммы правильных дробей, полю­ сами которых являются нули полинома G (— s), при вычис­ лении слагаемых следует пользоваться выражением (1.30), если полюс дроби не совпадает с нулем Р (s), или (1.31), если полюс дроби совпадает с нулем Р (s). В каждом из этих случаев правильные дроби, полюсами которых являются ну­ ли полинома G (— s), появятся только вследствие наличия

2 3-582

17

Смотрите также файлы