Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

W целесообразно воспользоваться формулой (5.23)

w =

[[Ко +

К + ) М - Щ } - ' [(Ко + К +)Р +

На].

(5.39)

Здесь аналитическая вместе с обратной в правой полу­

плоскости функция Н определяется факторизацией

 

Я (S) Н і

- s ) =

■

 

[ГМ ( S)

М (

s) - f - cP ( s ) P (

- s)l,

 

 

 

q ()q (

}

 

 

 

 

 

(5.40)

и для рассматриваемого примера Я

(s) Я

(— s) =

г -f- с (а2—

— s2),

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

(s) = У с ф +

s),

b =

Y

а2 +

- f >

0 .

(5.41)

/Со (s)

и

/<+ (s)

определяются

разложением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гМ (—s)

а (s) Я (s) .

/Со (s)

+

К-и (s) +

К - (s)

=

- p j ^

q ( — s ) H (—s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.42)

Здесь /Со (s) — целая функция, функции К + (s) и /С_ (s) — аналитические в правой и левой полуплоскостях, соответ-

/со /со

ственно, причем интегралы j |К + (s) | 2 rfs и j

|/<_ (s) | 2 ds

— /оо

— /со

 

конечны.

 

 

Это является естественным

обобщением

разложения

дробно-рациональной функции на сумму полинома и пра­ вильных дробей, имеющих полюсы в правой и левой полу­ плоскостях S.

В отличие от операции разложения дробно-рациональ­ ной функции, которая может быть выполнена с помощью простых алгебраических действий, для вычисления компо­ нент разложения (5.42) необходимо использовать некото­ рые результаты теории интеграла Фурье.

Оригинал функции, стоящей в правой части (5.42), мо­ жет быть представлен в виде суммы двух функций времени, одна из которых равна нулю при t < 0 , вторая — при t > > 0, причем Фурье-преобразование первой компоненты равно Ко (s) + К + (s) = /С© (s), а второй — К—(s). Та­ ким образом, для вычисления /С® (s) необходимо найти ори­

гинал во временной области функции

гМ(— s)

q(—s)H(—s)

 

— а (s) Я (s) , представить эту функцию в виде суммы двух

14а

функций, одна из которых равна нулю при I < 0

, вторая —

при t >• 0, и вычислить Фурье-преобразование

первой из

этих функций.

 

 

 

Подставим все необходимые величины в (5.42):

K B ( S ) + K - ( S )

d —{—s

— У ce~ax ф

s) (5.43)

 

V с (b — s)

 

При определении величин /С® (s) и /<_ (s) необходимо от­ дельно рассмотреть два случая.

1. а < 0. Компоненты разложения (5.43) находятся без особого труда:

К@ (s) = — У~се~ах,

1

-------------- + У с ф — а) е~ах .

/(-(* ) = a -j- s

ус (Ь— s)

2. а > 0. Представим К © (s) в виде суммы двух слагае­ мых

^© (s) —

(s) + ^ 2 © (s),

где Kj© (s) соответствует разложению первого слагаемого

в(5.43), а Кг© (s) — второго. Оригинал первого слагаемого

К (/) =

- L -

Г

—= — — ---------- ds =

1 W

2щ

J

У с (Ь — s)(a + s)

'f

2 л /

т /7 J

(Ö — s) (a + s)

 

—/<»

 

Этот интеграл вычисляется с помощью интегрирования по контуру, охватывающему левую полуплоскость, при усло­ вии t — г ;> 0. Значение интеграла на полуокружности, охватывающей левую полуплоскость, при t — т >- 0 равно нулю, следовательно, К і (t) равно сумме вычетов в полю­ сах подынтегральной функции, лежащих в левой полупло­ скости. Так как в левой полуплоскости находится един­ ственный полюс в точке s = —а, то

Кі (t) =

—7 =----------

при

t — т > 0 .

 

Значение /Сі■ (/)

Ѵс(а + Ь)

Н

вычисляется

аналогич­

при t — т <с О

^

 

но (контур интегрирования выбирается в правой

полупло­

141

скости). Но для вычисления Ki® (s) значение K1 (t) при t — т < ; 0 не потребуется.

Применив Фурье-преобразование к функции

о

при

t <

О,

П ( 0 =

при

t >

О,

Л і ( 0

получим

 

 

 

Кіф (s) = j e~siK1 (t) dt =

 

 

 

/ с

(а +

b) (а + s)

Поскольку второе слагаемое в (5.43) является дробно­ рациональной функцией, то

 

 

 

' „ „ - о т

b +

5

 

 

 

K2®(s) = — Ѵсе~™

а +

s ’

 

 

наконец, ■

 

 

 

 

 

 

 

(s) = а + s

—-Tj= -------------У~с (b -)- s)

-- —

ce~ax.

/ с

а + 6

г

к I

/

 

 

Таким образом, при любом а К® (s) выражается фор­

мулой

 

 

 

 

 

 

 

 

K@(s) = — V 7 e - a\

 

 

 

искомая функция W — формулой

 

—1

 

 

W =

еах

(Ь — а)

а +

s

(а - Ь),

 

 

 

 

 

 

 

а связь между

управлением

и (t)

и координатой

объекта

X (t) для оптимального регулятора имеет вид

 

 

X

 

 

 

 

 

еахи (t) -j- (b — A) j

e~a(Q~ x)u (t — Ѳ) cLQ=

(а — b) х (t).

 

о

 

 

 

 

 

 

В синтезированной замкнутой системе объект + регу­ лятор изменение координат во времени происходит по за­ конам

X (/) = х 0 {е~аі [1 (/)—

1 (/ — т)] + е~ахе~ь

1 (/ — т)},

(5.44)

и (0 =

х0 (а — b) е~ахе~ы 1 (/),

 

(5.45)

где

[О

при і < 0 ,

 

 

 

 

 

1

№ = (і

при t > 0 .

 

 

142

II. Рассмотрим задачу о сближении двух объектов, дви­ жение которых описывается следующими дифференциаль­ ными уравнениями:

 

(О

аху (t) =

тих (i),

xt (0 ) =

 

 

}

(5.46)

• ^ 2 (?) “Ь &х2 (t) =

и2 (і

 

т),

х2(0

) = х2й.

 

 

 

Здесь

хг

(/) — координата

первого

объекта,

х2

(і) —

второго, и-у (і) и «а (/) — управляющие воздействия,

а, т,

т — константы, причем а >

0

, т >

0 , х1 0

— х2 0 ф 0

, иг (t) —

= и2 (t)

=

0

при

t < ;

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

На

управляющие воздействия

накладываются

следую­

щие ограничения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

© о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J и\ (i) dt = к®,

j

«2 (/) Л

=

к®.

 

(5.47)

 

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Требуется найти закон управления

 

 

 

 

 

 

 

\Uy(t),

И2 (0 ]' =

№ [Хх (0 ,

* 2

(0 ]'.

 

 

соответствующий

стационарной

точке

функционала

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 0 =

j [*1 (0 — -«2 (0J2 d i.

 

 

(5.48)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Как и ранее, эта задача сводится к исследованию ста­

ционарных точек следующего функционала:

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =

J

{ [ * 1

(0 — * 2 (0]а +

К и\(0 +

(0} dt.

(5.49)

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возможны четыре варианта:

 

 

 

 

 

 

1) Ку > 0 ,

К2 >

0,

т. е. оба

управления минимизируют

функционал

/ 0;

 

0 — Uy (t) минимизирует функционал / 0,

2 ) Ку >• ОД 2 <

 

а и2 ( 0

— максимизирует /„, т. е. убегающий объект управ­

ляется

с

запаздыванием,

а

догоняющий — без

запазды­

вания;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Ку < ; О, К2 >

0 — ситуация,

противоположная вто­

рому варианту, а именно, догоняющий объект управляется с запаздыванием, а преследуемый — без запаздывания;

4) К у ■ < О, /Ѵ„ с 0 — оба управления максимизируют функционал /„.

Ниже будет получено общее решение этой задачи (при произвольных Ку и К2), из которого приведенные выше ва­ рианты будут следовать как частные случаи.

Пусть X (t) = xt (t) — хг (t), и (t) = [ut (t), иг (t)]'. Тогда преобразование Лапласа системы (5.46) и функционал (5.49) примут вид

Р (s) x(s) — М (s) и (s) + х0,

 

 

joo

 

 

 

I =

- ~ г -

j

[x' (— s) X(s) +

и! (— s) Au (s)] ds,

(5.50)

где P (s) =

s +

a,

M — [m, e—^],

x0 = x1 0 — x2 0 ф О,

Л =

= diag ( V

Я2}.

 

 

 

 

Для нахождения матрицы

воспользуемся формулой

(5.23). Входящие в это выражение матрицы А и В выбираем

в виде А — [0, 0]', В =

Д2, т. е. матрица Z запишется так:

\

s +

а

- т

g-ST-

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

0

 

1

а N = Ap (s) Р-'М = М,

Q =

Ap (s)B + A N = (s + а) Е 2.

Аналитическую вместе с обратной в правой полуплоскости матрицу Н определим из разложения

H J H :

Q7 [ Л ^ +

М *0 AAp (s)]Q1— 1

і Гm2 +

Xj (а2 — s2)

me-5’

~ а3 — s3

mesx

1 + ^2 (а2 — s3)

где T — симметрическая постоянная матрица. Запишем матрицу V в следующем виде:

„

ГМ 9* — ^

 

 

~

ягеэт

1

+ ?і2 (а2 — s2) ’

det V = ЛД, (а2

-

s2) (ц2 — s2),

Г * * - У

О -

 

 

Отметим, что факторизация возможна, если

т2

Яі + 4 - + а2 > 0 .

V,

•S3

°-

(5.51)

Хотя подлежащая факторизации матрица не является дробно-рациональной, для определения матриц Д и Г можно использовать идеи алгоритма Дэвиса. Применение алгорит­ ма Дэвиса оказывается возможным благодаря тому, что

.144

Смотрите также файлы