Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

второго слагаемого в (1.30) и (1.31), которые не содержат полиномов а (s) н ß (s).

Следовательно, функция ß _ (s) не зависит от полиномов а (s) II ß (s) и, согласно (1.18) и (1.29), минимум функциона­ ла качества и передаточная функция оптимального регуля­ тора W (s) также не будут зависеть от конкретного вида полиномов а (s) и ß (s), если Q (s) — гурвицев полином.

Можно доказать, что в числителе и знаменателе переда­ точной функции W (s), записанной в виде (1.29), стоят поли­ номы, т. е. дробные части соответствующих слагаемых равны по величине и противоположны по знаку. Ограничимся доказательством этого утверждения для числителя, когда

где g; — нули полинома G (— s).

Согласно (1.30), дробная часть второго слагаемого опре­ деляется соотношением

что и требовалось доказать.

Доказательство такого же утверждения для знаменате­ ля аналогично приведенному выше, только при определении W (s) вместо формулы (1.30) следует воспользоваться фор­ мулой (1.31).

Поскольку в числителе и знаменателе W (s) (1.29) стоят

= [rM (s) M (— s) + (c — s2) P (s) P (— s)] G 1(— s)I\(s),

18

или, согласно (1.22),

A(s) = G(s) Г! (s),

т. е. А (s) также не зависит от полиномов Q (s), а (s) и ß (s).

З А Д А Ч А С И Н ТЕ З А П Р И О Д НО М В Н Е Ш Н Е М

В О З М У Щ ЕН И И

Изложенные в предыдущем параграфе варианты решения задачи свидетельствуют о том, что существует тесная связь между динамическими свойствами стабилизируемого объек­ та и видом вводимой варьируемой функции. Однако рас­ смотренные варианты лишь констатируют существующую связь, не вскрывая ее. Даже «универсальный» метод (с по­ линомами а (s) и ß (s)) не вскрывает этой связи, так как оста­ ется неясным смысл вводимых полиномов а (s) и ß (s), от которых, в сущности, не зависит решение. Поэтому пред­ ставляется целесообразным обсудить общий подход к реше­ нию задачи синтеза системы стабилизации, из которого рассмотренные в § 1 «рецепты» решения отдельных классов задач вытекали бы как частные случаи, и, с другой стороны, его можно было бы обобщить на многомерную задачу (с про­ извольным числом внешних возмущений и управляющих воздействий).

Ниже этот общий подход будет изложен применительно к простейшей задаче, когда движение объекта описывается дифференциальным уравнением (1.1). Естественно, что по­ лученные конечные результаты будут совпадать с результат тами § 1.

Как отмечалось, специфика рассматриваемой задачи за­ ключается в необходимости обеспечения устойчивости замк­ нутой системы объект -f- регулятор, т. е. передаточная функ­ ция регулятора разыскивается в классе функций, обеспечи­ вающих устойчивость замкнутой системы. Следовательно, при решении вариационной задачи (минимизации функцио­ нала (1.6)) требуется ограничить вариации 6117(5) так, чтобы соответствующие вариации 6Fx (s) и 8FU(s) функций

Действительно, функции Fx (s) и Fu(s) удовлетворяют, согласно (1.1) и (1.5), следующему уравнению связи:

Если к уравнению (1.32) добавить соотношение

где а (s) и ß (s) — некоторые полиномы от s, то система уравнений (1.32), (1.33) позволит выразить передаточные функции Fx (s) и F,, (s), а следовательно, и минимизируемый функционал (1.6) через одну функцию Ф (s):

Так как при минимизации функционала (1.35) допуска­ ются только такие вариации бFx (s), бF„ (s) и 6Ф (s), которые имеют полюсы только в левой полуплоскости, то, как видно из (1.32) — (1.34), матрица Z должна быть аналитической вместе с обратной в правой полуплоскости s.

Поскольку сc(s), ß(s), Р (s) и М (s )— полиномы, то матрица Z будет аналитической вместе с обратной в правой полуплоскости, если

det Z = ß (s) Р (s) + a (s) М (s) —

гурвицев полином, что совпадает с ограничением, наклады­ ваемым на полиномы ос (s) и ß (s) в «универсальном» методе решения § 1 (два первых метода § 1 соответствуют a (s) = 1, ß (s) = 0 и a (s) = 0, ß (s) = 1).

Теперь можно объяснить, почему определитель замкну­ той системы в рассмотренных ранее вариантах решения со­

1 Индекс «*» означает операцию транспонирования и замену s на —s.

20

совпадают с нулями М (s), Р (s) или Q (s) соответственно. Если при этом учесть, что полюсы Fx (s) и Fu(s) совпадают с нулями определителя замкнутой системы, то становится ясным появление в нем упомянутых множителей.

В свете изложенных сообщений, общая схема решения задачи сводится к следующему. Поскольку деѳ функции Fx (s) и Fu (s) не свободно варьируемы (должны удовлетво­ рять уравнению связи (1.32)), введем в качестве варьируе­ мой функцию Ф (s) в виде (1.33). Разрешив матричное урав­ нение (систему уравнений (1.32), (1.33)) относительно Fх (s) и Fu (s) (соотношение (1.34)) и подставив полученные зна­ чения Fx (s) и Fu (s) в (1.6), получим выражение для мини­ мизируемого функционала качества в виде (1.35), которое с точностью до обозначений совпадает с (1.12).

Определив Ф (s) из условия равенства нулю первой ва­ риации функционала (формула (1.13)) и подставив ее в (1.19) и (1.12), получим выражение для искомой передаточной

21