Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

К + =

0 ,

Кп =

1

О

1

— I

И, наконец, согласно (5.23), получим

1

’

1 ~і

W =

V

1

1

т. e.

\2k

(хг

* 2),

w2 —

(■ *! * 2 )•

Из этих соотношений

следует

=

(ul)

=

1

-^a)2) >

( ( ■ * ■ 1

^ =

(ul)

=

((xi

хг)г)-

В свою очередь

/со

k =

Л _ - я»(ѳ; +

el)

К =

^ (Ѳ іЧ ѳ І)

я ( Ѳ і + Ѳ,2) ’

1

Kj (Xj —

х 2)3 ’

Хо (xj — х2)3 '

Таким образом, решение задачи, согласно (5.27) и (5.26),

существует при кх >

х 2

и имеет вид

я(ѲІ+ Ѳ&

Х~ Х 2), и ^

-

Щ

^ - ( Х 1 ^ Х г),

я(ѲІ+ѲЙ

л3 (Ѳ* +

Ѳ 2)

е0 (^іі 2

0)»

.

- .

9*

Д31

*1 (*i + Яг) (*і — х2)>

Ха (Хг +

Xa)

« 1

^ 2

51 (Ѳі +

(xi ^2 ) 1

я (ѳ ^ + ѳ :>

€>»)

^(Ѳ ? +

ѲІ)

ßrnln min

(*i + Щ?

U, Hj

II. Рассмотрим предыдущий пример в детерминирован­

ной постановке. Полагаем ^ =

ф2 =

0, хг (0) = х10, х2 (0) =

j u\dt — xj,

j u\dt =

«а

0

0

требуется определить закон

управления

и — Wx,

доставляющий минимаксное значение

(min max) функцио-

ванию стационарных точек

функционала

СО

1 — h

+ J

(^iui + ^2 ul) dt,

причем

> 0, а Х2 <

о

0.

закон управления имеет вид

“і =

iQT

~ х^ ’

и2 =

Т ^ Г

“ х^ г

где k = V

-

?'2

> 0

-

Далее

получим

-

со

~

. СО

щ =

\ u\di =

— — / 0,

к® =

\ uldt =

— -— / 0.

1

J

1

АДО

0

3

. J

3

0

Так как

корень характеристического уравнения

замкнутой

системы

равен /г, т. е.

X; — х2 = г = z0e~w,

С

..

то

CQ

СО

/ 0 = J z » d f = 0Jz e - » ' Ä = A

- t

X® =

и; =

№

2Цк3

2

?ui

2

Принимая

во внимание,

что

.

= — — , получаем

k =

2 (x,

г4о

’

%a------

4

4xj (xx — x2 ) 3

2

4X2 (XJ — x2 ) 3 '

Решение задачи существует при xL>

х 2 и имеет вид

__

2Ч(

(Xj

х 2)

(,л1

„ \

,, __

2 х 2 ( х 2

х 2)

«1 --------------- -

хг),

и%-----------------------

(-'"1

-^г)’

z2

г 3

о

г1

о

/о:,|п: г

= '4 ( х , \ ) ! •

III.

Рассмотрим игровую задачу о сближении двух объ­

ектов на плоскости. Пусть движение первого (догоняющего)

объекта описывается

уравнениями

+

К =

и*,

(5.28)

“Ь Уі ~

а движение другого

(убегающего)

объекта

* 2

+

Ч =

1

(5.29)

І/2 +

У2 =

Ѵу- I

Требуется при ненулевых начальных условиях и ограниче­

ниях

j

(и® +

и®) dt =

х®,

О

(5.30)

оо

j

(о| +

о®) dt =

X®

найти законы управления (матрицу Ц7 передаточных функ­

ций регулятора в цепи обратной

связи [их,

ѵх, иу,

ѵуУ =

== \Ѵ [xlt

х2,

t/i,

у2У), доставляющие

минимаксное

значе­

ние

(min max)

функционалу

-.

-

/о =

— *а) 2

+

(Уь~Уг?\Л1

нарных точек функционала

оо

I = /о + 1 [К («5 + 4 ) + К

( ѵ і + 4)] dt,

(5.31)

о

где множители Лагранжа Ях > О, Я2

< 0.

обозначив

xt =

qt,

у, — р( (і =

1 ,

2

):

Рх = Ми,

(5.32)

где X = [<7 Х,

q2,

pv

р2,

хѵ х2,

уѵ

у2]',

и =

\их, ѵх, ид, ѵи]',

Г/І + 1 1 ^ 4

0

Е,

Р =

d

м =

04X4J

dt

Тогда уравнение регулятора запишется в виде

и = W0x,

(5.33)

а функционал (5.31) определится формулой

/

= I

(x'Rx +

и'Ли) dt,

(5.34)

где

0

04X4

Ro =

Rx

Огхг

.

-

1

R =

Ро.

,0гх2

Ri _

Rx =

,04X4

- 1

1

Л г

0гх2

Ях

0

Л =

Лх

Лі =

0

Я,

L^2X2

Использовав преобразования Лапласа, уравнение (5.32)

и формулу (5.34), перепишем так:

Р (s) X(s) = Ми (s) -|- X (0),

/со

1 ~

~2 яГ f

[ * '(s) Rx (s) +

u '(s) Ли (s)] ds.

— /os

Здесь

X (0) — вектор начальных

условий,

P(s) =

( S 4 * 1 ) Ец 0 4 x 4

- E t

sE,4 J

Перейдем к решению задачи, т. е. к определению

матри­

цы

передаточных

функций

W0.

Требование аналитичности матрицы Z- 1

в правой полу­

плоскости удовлетворим,

полагая

А =

U W ;

Д4

1, В =

=

0 4 x4 , т. е.

(s +

1) £ 4

£ 4

-

е :

det Z =

1 .

Z =

- Я

4

04X4

04X4

Определим_

S£ 4

04X4

04X4.

необходимые величины

Ар (s) =

det Р =

s4

(s +

I)4,

s£

Я =

А

(s)P- I /W =

s3(s +

4

1 )э

4.

L £

Q =

Ap(s)ß +A W

=

s3(s +

1)3£ 4,

Q7[G,GQ-1=

Q7 1 [ЛД£Я +

А; (s) AAp (s)] Q"

1 =

■ [ + V > ( s a — 1)

— 1

0

0

— 1

1 +

A,2S2 (sa — 1

)

0

0

0

0

1 +

X^ (sa — 1)

— 1

0

0

— 1

1 +Xj>s2(s2- 1 ) _

‘1

+ W a(s2

— 1 )

—

1

=

В Д Я 0. (5.35)

— 1

1+ X2s* (S2 —

1)

Тогда,

согласно

(5.20),

Г

=

Т0

0

н

=

Но

о-

о

т,0 J

о

Но

Воспользовавшись алгоритмом Дэвиса для факториза­

ции

матрицы (5.35),

получим

Т0 =

Я4 -|- Я2 Я2

Я2

Я2

'

s 2 1 Ях -f- Я 2а

Яф

I

ХфЯ 2&

Я 2 (1 — а)

s —

Я 0

=

Я х + Я 2

Ях -)- Я 2

Я х + Я 2

Я х -{- Я 2

— (sa

as +

b)

s2

+

as -f- b

где

b =

j / " —

> 0

,

д =

у

2b +

1 >

0

(рассматрива­