Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
Подставив необходимые величины в (5.24) и (5.23), по лучим
|
|
|
> ч |
+ |
II |
о |
|
- 1 |
0 |
0 |
|
0 |
— |
|
1 |
- 1 |
0 |
|
0 |
|
/<о = |
0 |
0 |
- I |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
1 |
- 1 |
|
|
Я 2 (1 — а) . |
|
|
0 |
|
|
|
Яі + |
Я 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— (s + |
а) |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s + Яі + Я 2а\
Г1 к + к )
s + а
0
0
0
0
Я 2 (1 — а)
|
|
- 1 * + |
Я 1 + ^ |
’ |
|
h + К |
|
0 |
|
|
s + а |
|
— |
(S + |
а) |
|
|
Г - К ( а - 1 У |
Я » (а — 1) |
||||
|
|
] |
Я, ( а - 1 ) ; |
— Л а ( а — I) |
|||
^ 0 |
= |
Х| ~"Ь |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
— Хф |
Я ф |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
Хф -- Хф |
0 |
0 |
||
— Х 2 (а — |
1); Я 2 (а — 1) |
0 |
0 |
— |
Я 2Ь |
Я 26 |
|
М а - 1 ) ; |
|
- Я і ( а - -1) |
0 |
0 |
Хф — Хф |
||
Характеристический определитель замкнутой системы (уравнения (5.32) и (5.33)) запишется в виде
|
А |
(s) = |
|
(sa + |
as + |
b) (s + |
1) s, |
|
|
|
где |
b = У px - f p2 |
> 0 |
, |
a = |
У 2 6 + 1 > |
0 |
, px = |
, |
p2 = |
|
______l _ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
“ |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальная |
|
система |
при |
|
0 < p* + |
p2 |
C |
||
(случай четырех действительных корней) имеет вид |
|
|||||||||
|
* 1 (0 = |
|
+ |
Схйе~ 1+ |
С\е~^ + |
Сх4е - у*‘, |
|
|
||
136
* 2 (t) = СХ+ С\е~1- |
(Cxsé~Vl‘ + |
С £ГѴ ), |
Уг (t) = С{ + С\е-1+ С\е~^ + |
С\е-"\ |
|
у, (t) = С{ + С іе-1- |
(<% Г*‘ + |
C l e ^ ) , |
где Уі = 1 - ( а - Ѵ Т ^ 2 Ь ) , |
у2 = ± ( а + |
V T = T b ). |
При Рі + Ра > -J- (случай двух действительных и двух
комплексно сопряженных корней) фундаментальная система имеет вид
xi (0 = |
+ Сіе |
‘ "Ь |
-)- (Сз cos at |
|
|
-f- Cf sin at) é~nl, |
|
|
x2 (t) = |
СІ + C\e |
1— |
— g- (Cg cos соt - f
-|- c f sin at) e~nt,
yl (t) = Cf + |
|
C2e 1- f (Cg cos at + Cf sin at) e nt, |
||
Уг ( 0 |
= |
C{ + |
С&Г' - -£■ (С" cos at + Cf sin at) e~nl, |
|
|
|
|
|
P i |
где 11 = |
а |
со == |
]/2ö — 1 |
|
|
|
|
|
2 |
Полученная фундаментальная система позволяет найти зависимость между множителями Лаграниса Ä,lf к2 и ресур сами управления их, х2. Однако, в отличие от предыдущего примера, в этой задаче не удается получить простую ана литическую зависимость 7^ (xlt и2) и Х2 (х1г п2). Поэтому для окончательного решения задачи необходимо восполь зоваться численным методом. Например, на рис. 4 в каче стве иллюстрации приведены траектории, соответствующие рассматриваемой игровой задаче сближения при хг (0 ) =
Ю 3-582 |
137 |
|
= k (0 ) = у, (0 ) = y\ (0 ) = 0 , * 8 (0 ) = — 1 , y, (0 ) = xa (0 ) = 1 ,
y2 (0) = 0, |
K2U— 503, |
Ko = 469, |
что соответствует |
= |
|
= 3,45 • ІО-2 , = —3,57 • ІО-2 . Положения |
убегающего |
||||
и преследующего объектов, соответствующие |
одинаковым |
||||
моментам |
времени, |
соединены |
пунктирными линиями. |
||
|
§ 3. |
П Р И М Е Р Ы А Н А Л И ТИ Ч Е С К О ГО К О Н С ТР У И Р О |
|||
|
|
В А Н И Я Р Е ГУ Л Я ТО Р О В И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Й |
|||
И ГР Ы П Р ЕС Л ЕД О В А Н И Я — У К Л О Н Е Н И Я П РИ Н А Л И Ч И И З А П А З Д Ы В А Н И Я
До сих пор рассматривались задачи синтеза для объектов, движение которых описывается обыкновенными дифферен циальными уравнениями (см., например, (1 . 1 )), т. е. в изоб ражениях по Лапласу таких дифференциальных уравне ний Р (s) иМ (s) являются полиномами конечной степени. Заметим, что при изложении предлагаемого метода синтеза фактически нигде не использовалось предположение о ко нечности степени полиномов Р (s) и М (s), за исключением операции факторизации. Поскольку наиболее близким обоб щением полинома является целая функция, вполне есте ственно попытаться использовать изложенный спектраль ный метод синтеза к объектам, у которых Р (s) и М (s) — целые функции s, а в случае многомерной задачи — эле менты матриц Р и М — целые функции.
Ниже будет показана возможность применения изло женных ранее идей синтеза к объектам, у которых Р (s) (элементы матрицы Р) — полином (полиномы) конечной степени, а М (s) (элементы матрицы М) — целая функция (целые функции) вида М (s) = Q (s) é~TS, где Q (s) — по лином конечной степени.
Выбор такого типа примеров обусловлен следующими
соображениями: функция М (s) = Q (s) é~xs является одной из простейших целых функций, а уравнения движения, соответствующие выбираемым Р (s) и М (s), возникают при исследовании довольно важного класса задач, а именно за дач синтеза, в которых управляющее воздействие запазды вает на промежуток времени т.
Не претендуя на построение общей теории синтеза си стем с запаздыванием, материал настоящего параграфа иллюстрирует тот факт, что для некоторых объектов, дина мика которых описывается обыкновенными дифференциалfa
lse
ными уравнениями с отклоняющимся аргументом, задача оптимального синтеза может быть решена изложенным ра нее методом.
I. Рассмотрим пример синтеза регулятора, когда управ ляющее воздействие имеет временное запаздывание т. Пусть движение объекта описывается дифференциальным уравне нием с отклоняющимся аргументом
X (t) -f- а х (t) — и (t — т), |
а = |
const, |
т > 0 , |
(5.36) |
|
при начальных условиях |
|
|
|
|
|
X (0) = х 0 Ф 0, |
и (t) = |
0 при |
t < 0. |
|
|
Требуется определить закон |
управления |
|
|
||
и = |
W x |
|
|
(5.37) |
|
(передаточную функцию W), который на классе физически реализуемых систем обеспечит минимум функционалу
|
|
СО |
|
|
|
|
/ = J (гх2 + си2) dt. |
(5.38) |
|
|
|
о |
|
|
Изображение Лапласа уравнения (5.36) имеет вид |
||||
(s + |
а) X (s) = |
e~ xsu (s) + |
х 0, |
|
т. е. Р (s) = (s + |
а), |
М (s) = |
e-xs. |
|
При решении |
настоящего примера будем следовать ме |
|||
тоду, изложенному в гл. 1 , модернизируя его применитель но к специфике рассматриваемой задачи.
Первым шагом решения является выбор функций а (s) и ß (s), обеспечивающих аналитичность в правой полупло
скости |
матрицы Z вместе с обратной |
|||
|
|
|
\р (?) |
— М (s)‘ |
|
|
~ |
U (s) |
ß (s) |
|
Этому требованию можно удовлетворить, выбрав а (s) = |
|||
= |
'е~ах, |
а в качестве |
ß (s) — целую функцию следующего |
|
вида: |
|
|
|
|
|
|
|
1 _ |
е— ( s + a ) T |
|
|
ß(s) = |
s + а |
|
|
|
|
|
|
т. |
е. q (s) — det Z = 1. |
|
|
|
Поскольку рассматривается задача в детерминированной постановке, для вычисления искомой передаточной функции
Ю* |
139 |
|