Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Учитывая, что изображение производных при ненулевых на­ чальных условиях имеет вид:

°РІУГР)

-Р'"У(0)

- Р " ! * Ы

* '"(ОХ

произведем в уравнении (3.8) переход к преобразованию по Лап­ ласу. В результате получим:

C0Ù Уф) « Ai 0ф)Хф) + РФ), (3.9 где С(р) = «0#ф)+ ô(p) ,

Ш = Cnï/fàp"" /fayfb)+ Сп., у(о)]р"-г +

*/С»У("ЛО)

*

у***>ÙÙ

+ $ УУСо)]р

+

*[СпУ^(о)

V c^yf-^o) + ...+с,у'<Го) + С у(о)J.

Полагая

Х(р)

~0 , получим уравнение собственных

движений стационарной системы:

 

 

 

СФ)УФ)=ЛФ).

.

(зло)

Решение этого уравнения позволяет определить у ft) при заданных конкретно начальных условиях

&)-Ä'{Yto], У ф У - ^ ^ . (з . и,

В рассматриваемом случае задача исследования состоит в определении условий существования собственного периодического

движеная. Поэтому изображение искомого периодического реше­

ния Y(p) можно записать в виде:

 

 

Уф) = У0Ф)~^т •

(3.12)

Подставляя

(3.12) в ( З . І І ) ,

получим,

что существование

такого решения

возможно в случае,

когда К0$Су?к) + ÔÇj^s^-

Таким образом,

мы совершенно естественно

приходим к критерию

устойчивости Михайлова [51 ] . Если выражение для Y(p) преобразовать следующим образом:

 

УГр)

* іір). Tïibm

'

получим,

что

Y(p)

соответствует

периодическому решению

в случае,

когда

 

 

т . е . мы приходим к амплитудно-фазовому критерию устойчивости [ З У ] .

Проведенное рассмотрение стационарной системы позволяет сделать два вывода. Во-первых, последовательное решение зада­ чи на существование периодических собственных движений естест­ венно приводит к известным критериям устойчивости линейной системы. Это свидетельствует о продуктивности подхода.. Во-вто­ рых, что очень важно, существование периодического режима не зависит от начальных условий и определяется только внутренними свойствами системы. Начальные условия оказывают влияние на количественные характеристики периодического режима, точнее

на его масштаб. 94

Действительно, при выполнении условий периодического ре­

жима:

коэффициенты разложения

 

в

РОД Фурье определяются вы­

ражением:

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

•А

2

2>0&*д

 

 

. и зависят от начальных условий, объединенных в

-D(p)

 

Этот вывод, легко ощутимый физически, позволяет при изу­

чении вопроса только о существовании периодического режима в

системе исключить из рассмотрения

начальные условия и

перейти

к исследованию

уравнения

 

 

 

 

 

C(p)Y(p) = 0

или

[HK0W(p)]Y(p)*o.

(здз)

Оно будет

иметь нетривиальное

решение только при///л; W(p)J- О,

причем %

p-j

j?K

, так

как

рассматривается

периодический

процесс.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратимся теперь к общему случаю, когда коэффициент пере­

дачи имеет ненулевую периодическую составляющую: 3f(é)

Ф О

Поскольку

принципиально учет

ненулевых начальных

условий

не дает ничего нового (уравнение системы остается линейным), составим уравнение в области изображений, используя (3.4).

Учитывая периодичность

составляющей 3t(£)

, для

коэффициен­

та передачи А^, (t)

получим изображение

в виде:

 

Поэтому условия существования периодического собственного дви­ жения системы можно записать в виде:

Уф) +Ф®Ы7У&**^7^

* ^ - ( З . І 5 )

 

m/h) -

 

к°

 

 

Здесь

v-ftpj -

^

коУ(р)

, причем предполагается, что

знаменатель

/•/•/& W(p)

не обращается

в 0 при чисто мни­

мых значениях

р

 

. Полученное уравнение

(3.15) и является

объектом дальнейшего

исследования.

 

Задача исследования состоит в определении условий сущест­

вования

отличного

от нуля решения Уф)

. Сравнивая уравне­

ние (3.15) с уравнением для стационарной системы (3.13), мож­ но отметить их принципиальное различие: в уравнении (3.15) не разделяются свойства системы с выражением для сигнала У(р) , поэтому определить в явном виде Уф) невозможно. Именно это и приводит к осложнениям при его решении. Поэтому в общем виде задача практически может быть решена лишь приближенно. Так как речь идет о периодических движениях, решение уравне­ ния целесообразно искать в виде:

причем точность приближения будет возрастать с увеличением п . Условия, при которых коэффициенты q{ и 6. получаются конечными и вещественными, и будут определять возможность

периодического собственного режима системы.

Уравнение (3.15) можно упростить, если задаться опреде­ ленным соотношением между периодом Ѳ и периодом искомого

96

процесса T . Целесообразность

такого конкретного

подхода

была подтверждена уже при анализе

разомкнутых цепей.

Поэто­

му выберем вначале случай, обсуждавшийся в литературе, ког-

да Ѳ= Т

[28].

 

 

 

Периодическое

решение Y(p) в

этом случае можно запи­

сать в

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

( З Л 6 )

причем

изображение

образующей

Y0(p)

остается неизвестным.

Подставляя

(3.16)

в уравнение

(3.15),

получим:

Как было показано в главе I , уравнение (3.17) эквивалентно следующему :

Это уравнение позволяет перейти к уравнению для образующей процесса и тем самым получить окончательное общее выражение для определения условий существования незатухающих собствен­ ных движений системы.

Учитывая (3.16), уравнение для образующей будет иметь

вид:

 

YM* V®4JK(fi->)

X ® - ^ Р Г -о (3.19,

7 Зак. 161р.

y t

 

В частном случае,

когда

коэффициент

передачи

имеет толь­

ко периодическую

составляющую ( К0=0

) ,

уравнение

(3.19)

приводится к

виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

YM + M®'

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JKJP^

 

Yo(>) J-L,

 

сЬ.О.

 

 

(3.20)

 

Дальнейшее

изучение уравнений (3.19) или (3.20)

 

опирает­

ся на методику,

рассмотренную в § І . І

и позволяющую

элемен­

тарно связать

изображение образующей с коэффициентами Фурье.

 

При заданной

конкретно

форме

периодической составляющей

ЗЕ(0

уравнение

(3.19) или (3.20) может быть преобразовано

дальше. Ограничения, накладываемые на форму

 

Эе(е^) , об­

суждались в § 1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим методику преобразования уравнения в случаях,

когда

3e[f)

 

н е

имеет

особых точек

внутри

периода. Это

значит, что на интервале

[Ot Т ]

коэффициент

âîft)

 

может

быть

аналитически

записан

с

помощью функции

J-(é)

 

,

такой,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

»

•

{

'

?

:

 

 

"

 

Г

 

 

 

 

Чтобы получить изображение образующей

Зв0 (р)

 

 

, доста­

точно

решить

следующее

соотношение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J C-joo

 

 

 

 

 

 

 

'Более

просто

можно

получить

изображение

ЭѲ0 (р)

 

,

если

известно изображение функции

f (t

+Т)

 

 

 

 

 

 

98

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае для Зв0(р) имеем [ 19 ]

а?М

=

г&

-е'^'бО-

(3.21)

Таким образом,

в выражение для

3?0(р)

входит перио­

дическая функция

Q р Т

, имещая

период Т

. Именно этот

факт позволяет произвести дальнейшее преобразование уравне­ ния (3.19), переводя его из интегрального в уравнения других классов. Подставляя (3.21) в (3.19), получим:

ХФ>+

^ІХЫ^[ГФ->Уе«-»тГТФ-ф*

 

.о.

 

 

 

 

\

Это уравнение

может быть преобразовано к следующему

виду:

Y/P) ^

^

J X ^ ^ F t p - W

-

 

C+J<x>

Оба

интеграла, входящие в уравнение

(3.22).можно решить в пра­

вой

полуплоскости по полюсам функций F(p-*)

и Р(р-^

Тем

самым удается привести уравнение

к более

простому виду,

зависящему конкретно от

формы

периодической

составляющей

коэф­

фициента

передачи

âeft)

,

определяющей

вид функции У

ft) •

Рассмотрим ряд примеров,

иллюстрирующих методику преобра­

зования

уравнения

(3.20).

 

 

 

Смотрите также файлы