Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
свойствами системы, а законом изменения коэффициента |
/С(а) . |
|
Поэтому при малых степенях |
<у можно рассчитывать |
на боль |
ший успех при его решении, |
чем при решении уравнения |
(3.3). |
Примеры решений дифференциальных уравнений с переменными коэф
фициентами в области |
изображений рассмотрены в [/7] • |
|
|||
Если коэффициент |
передачи к'(f) имеет |
гармоническую |
|||
составляющую: |
к(і) = К0 + KmScnSlt |
, уравнение |
(3.4) |
||
приводится к |
разностному: |
|
|
||
Yfa[h Ktftp)] + jfW(p)[Y(p^)-y^jS2)J=r(p) |
(3.6) |
||||
К разностному уравнению приводится уравнение (3.4) и в |
|||||
случае, |
когда |
К(і) |
в своем составе содержит экспонен |
||
циальные |
составляющие. |
|
|
||
Поскольку перечисленные уравнения имеют переменные коэф
фициенты, переход к преобразованию Лапласа в общем |
случае не |
приводит к такому значительному упрощению, как при |
анализе |
стационарных систем. Удобство использования области |
изображе |
ний заключается в том, что здесь |
характер связи Y(p)v |
Х(р). |
||
зависит |
не от динамики |
системы, |
а от формы переменного |
коэф |
фициента |
передачи к(і) |
. Это зачастую упрощает изучаемую |
||
связь и открывает более широкие возможности решения уравне ния. Естественно, трудно ожидать в общем случае получения точного решения. Обзор существующих работ в области исследо вания систем с переменными параметрами показывает, что прак тический интерес могут представлять дока только приближенные решения. Но именно в этом случае ценность того или иного ме тода анализа во многом определяется исходным математическим
описанием процессов, которое в области изображений представ ляется более предпочтительным.
Обратимся теперь к замкнутым системам, коэффициент пере дачи которых имеет периодическую составляющую произвольной формы. Общим приемом здесь может быть разложение коэффициен та передачи в ряд Фурье. Тогда уравнение (3.4) может быть приведено к разностному уравнению бесконечного порядка.
Более приемлемое описание можно получить, если сразу предположить в системе существование периодического режима, вызванного внешним сигналом, либо возникшего внутри системы. Анализ разомкнутых динамических цепей с периодически изменя ющимся коэффициентом передачи, проведенный в глава I , показы
вает, |
что |
можно получить уравнение связи цепи в замкнутой |
||
форме, |
не |
зависящее от |
формы входного периодического сигнала. |
|
Это дает возможность непосредственно применить полученные |
||||
уравнения |
связи Y(p) |
с Х{р) |
для исследования периодичес |
|
ких режимов работы замкнутых динамических систем. Действи тельно, если система имеет структуру, показанную на рис. 3.1,
получив уравнение связи |
Y(p) с £(fi) |
в |
предположении, что |
||
имеет |
периодический |
характер," достаточно дополнить его |
|||
уравнением |
замыкания |
Е(р)-= Х(р)~ Уф) |
, чтобы найти |
||
уравнение |
замкнутой |
системы. Это описание |
будет отражать |
||
только периодические процессы. Поэтому оно может быть исполь зовано при исследовании процесса отработки системой периоди
ческого |
входного сигнала |
, 8 также при изучении соб |
ственных |
незатухающих движений |
системы. |
§ 3 . 3 . Уравнение собственных движений замкнутой системы
В дальнейшем для краткости будем называть замкнутой си стемой схему, показанную на рис. 3 . 1, имеющую периодически изменяющийся коэффициент передачи К (t) :
|
Kreonsf , |
Кп(і) |
= |
«п(а±лѲ), |
|
|
где |
Ѳ - |
период |
изменения |
коэффициента Кп |
(О . |
|
|
Задачей |
исследования этих |
систем является |
в данном случае |
||
определение условий существования в них собственных незатухаю
щих движений. |
4 |
„ |
|
Так |
как математическое описание движений системы в об |
||
ласти изображений зависит от соотношения периода |
Ѳ |
и перио |
|
да Т |
рассматриваемого периодического процесса, |
целесооб |
|
разно указанную задачу поставить в следующей форме: для замк нутой динамической системы с периодически изменяющимся коэф фициентом передачи определить условия существования незатухаю щих собственных периодических движений о выбранным заранее
периодом |
Т » находящимся в |
заданном |
соотношении с перио |
дом Ѳ |
коэффициента передачи |
системы |
к„ (?) . |
В такой постановке задача становится более узкой по сравнению с исследованием границы устойчивости вообще, но зато приобретает более конкретную форму. В конечном счете такой подход позволяет выяснить вопрос о возможности сущест
вования периодических собственных |
движений |
в |
принципе, т . е . |
|
определить устойчивость |
системы. |
|
|
|
Запишем коэффициент |
передачи |
К (С) |
в |
следующей форме: |
|
|
|
|
• 91 |
|
Относя коэффициент K0 к стационарной части системы, |
ее |
структурное представление можно показать в виде, данном |
на |
рис. 3.2: |
X
|
|
Рис. |
3.2 . |
|
|
|
Составим уравнение динамики в области изображений. Посколь |
||||||
ку речь идет о собственных движениях, |
3c(t)-? О |
• Однако |
||||
непосредственная подстановка |
|
= О |
в уравнения системы |
|||
(3.1) |
не имеет смысла, так как они |
записаны для нулевых на |
||||
чальных условий и поэтому приводят |
при отсутствии |
внешнего сиг |
||||
нала |
к тривиальному решению |
у(f)-0 |
. • |
|
||
Чтобы рассмотреть уравнение системы при ненулевых началь |
||||||
ных условиях, остановимся вначале,на случае, когда |
Kn(t)-0 . |
|||||
Полученная линейная |
стационарная система, как следует из |
|||||
(3.3), |
имеет следующее дифференциальное |
уравнение |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
где |
С- - Коа. + £. |
, |
при |
с é- m г |
|
|
при m < i 4г п.
92