Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

 

 

Следовательно, выходной

сигнал u(é)

будет периоди­

ческой функцией, имеющей период изменения коэффициента

Ѳ=пТ.

 

 

Если изображение 6в0Ср)

равйо^.

 

получим

Решение суммы (1.40) производится

с

помощью интеграла

сверт­

ки.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9.

Пусть периодический

коэффициент

xft)

имеет форму прямоугольных

колебаний

(рис. I . I 6 ) и на

него

поступает входной

сигнал,

период

которого Т

связан

с

*(0

 

 

 

 

с периодом Ѳ

'соот­

 

 

 

 

 

ѳ

Ѳ

30

 

 

ношением: 0=27" .

г

Т

 

1

Для заданного коэффи-

 

 

 

 

 

циента

передачи

полу­

Рис. І . І6 .

 

 

 

чим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о "гJ

 

 

р

р

Подставляя

^0(р)

в (1.40),

получим:

 

 

37

Для суммы - V У\ X

. л— составим интеграл

свертки:

 

Его решение в правой полуплоскости дает:

Поэтому иэобрадение (У0(р) будет иметь вид:

Полученный

результат

поясняется

на рис. I . I 7 , где

пунктиром

показан график сигнала s ç ( ,

коэффициент

передачи

aeft)

и сплошной

линией -

график сигнала U СО

• Если

в

составе

периодического коэффициента от­ сутствует постоян­ ная составляющая,

"I изображение обра­ зующей U0(p) на основании (1.41)

щает вид : ÜJp) = Х0 (р) (/- в ~рГ).

Ш. Период, коэффициента

Ѳ

равен

половине

периода сигнала 7*

(

Ѳ -

-g

) . "

Напомним вновь формулу (1.29) связи изображений выход­

ного сигнала UCp) множительного звена

и входного сигнала

38

 

 

 

 

ШрУ^Х/р)^

£LX/*dK(p-^

7 - z ^ 3 >

При выбранном соотношении между периодами (

 

Ѳ=

)

бесконечная

сумма

разделяется на две части,

так

как функция

• Со

я*)Ѳ

_

q'p£

^

четных корней

JL ѵ

£г£/<

и

в

 

 

 

г

для

нечетных

корней

J ? ^

у

j?(£K+t)

,

ЛГ* =

0,.

1,

2,

• . .

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

того,

чтобы определить

сумму в

замкнутой

форме,

 

поступим следующим образом. Представим иэображѳниѳ периоди­ ческого сигнала Х0(р) в виде суммы

где

Хоч

(р)

- изображение обраѳупцей,

соответствующей

всем

четным гармоникам сигнала

ЭС^)

і

 

Хон

(р)

- то же для

нечетных гармоник, входящих

в состав

 

 

 

 

 

 

С помощью этих функций

сигнал Хф)

может быть пред­

ставлен в

виде:

 

 

 

 

Подставляя значение Х0(о) из (1.42) в бесконечную сумму, получим :

_2

Т 1-е

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.44)

Будем

считать, что

& ( £ )

на периоде

 

 

 

 

является гладкой функцией, т . е . не имеет особенностей. Тог­

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*.0>)

• Z

 

***К®

 

 

 

 

 

 

Подставляя

это значение

3£а(р)

, используя переход

к интегралам свертки, можно определить выражение (1.44) в

замкнутой форме. Методика в данном случае остается без из­

менения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подход, изложенный в этом пункте, целиком может быть

перенесен на случай, когда периоды сигнала

и коэффициента

равны

( Ѳ= Т

) ,

но коэффициент

передачи имеет

симметрию

Ш рода (в состав

°?0(р)

входят функции

е~р£

 

) .

Таким образом может быть снято ограничение,

наложенное на

форму

Зва

(р)

в

пункте

I

параграфа.

 

 

 

 

 

Пример 1,10.

Рассмотрим

преобразование

спектра

сигнала

периодическим коэффициентом, имеющим форму прямоугольных

колебаний

(рис, І.І8)і. Период сигнала

равен

 

Т

. В

этом

 

 

 

 

 

 

 

 

случав

 

 

г

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

г

 

 

 

 

Так как у коэффициен-

 

 

 

 

 

 

 

 

та

отсутствует

посто­

 

 

 

Рис. I . I 8 .

 

 

 

янная

составляющая,

 

 

 

 

 

 

для

определения

U(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

воспользуемся выражением (1.44). Учитывая периодичность 40

-fit

функции G а , получим:

Составляя интегралы

С 1-е - г

j Q

найдем после их решения в левой и правой полуплоскости:

3- Y- у / о > ^ _ Х»Сд

Поэтому

Подводя итог проведенному рассмотрению, можно сделать вывод о том, что в общем случае преобразование спектра периодического сигнала звеном с периодическим коэффициентом передачи описывается выражением, содержащим бесконечные сум­ мы вида (1.29), (1.30). Определение общего закона преобразо­ вания периодического сигнала в замкнутой форме возможно при конкретном подходе к решению задачи, когда известно соотно­

шение между периодами изменения

сигнала х (t)

и коэффи­

циента

де(і}

и когда задана

форма коэффициента. Общим

приемом

получения формул в замкнутой форме является образо-

41

ваниѳ по виду суммы интеграла свертки

и решение

его

в левой

и правой полуплоскостях.

 

 

 

 

Если определено выражение для изображения

U(p)

•

изображение выходного сигнала У(р)

определяется

по

оче­

видному соотношению:

 

 

 

 

Кратко рассмотрим анализ разомкнутых систем с периоди­ ческим коэффициентом передачи, структурное представление ко­ торых показано на рис. I.19. Очевидно, что единственное от-

 

Wo

личие

здесь заклю­

z(0

u(0 X

чается

в

том,

что

 

 

при определении

 

 

сигнала

UCp)

с

 

Рис. I.19.

помощью

передаточ­

ной функции:

U(p) - \J(p)X{p) в дальнейшем из рассмотре­

ния нужно исключить полюсы ~kf(p)

t так как

определяется

установившийся периодический процесс. Вся остальная методи­ ка переносится дословно. Поэтому поясним процесс расчета цепи примером.

Пример І . І І .

Пусть

Д І ^ О

имеет

вид, показанный на

рис. 1.20, а

периодический коэффициент

9&(0

имеет форму

прямоугольных

колебаний

(рис. І . І 8 ) .

Выберем для

простоты

 

 

 

*

 

 

 

 

 

\

 

\ ^

t

Найдем при

этих

условиях

 

изображение

для

выходно­

1.20.

 

 

го

сигнала

Y(p)

.

Рис.

 

 

 

 

 

 

42

Смотрите также файлы