Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

менить другой. Поэтому из последней теоремы вытекает следующее приближенное равенство:

Ay^dy. (1.9)

Абсолютная и относительная погрешности этого равенства мо­ гут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малом по модулю Ад:. Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формулой (1.9) ши­ роко пользуются в приближенных вычислениях.

 

 

Пример. Дан куб с ребром

х = 2 м. Вычислить, на сколько

 

возрастет

его

объем, если

его ребро

увеличится на ДА: =

1 см. Объем куба

V =

х3.

 

 

Т о ч н о е

р е ш е н и е .

AV =

(х +

Дд:)3 — х3 = 3*2 Дх +

Ъх (Дх)2 +

+

(ДА:)3 = 3-23 -0,01 + 3-2

(0,01)2 +

(0,01)3 = 0,120601 ж3 .

 

 

 

 

 

П р и б л и ж е н н о е

р е ш е н и е .

Используя формулы

(1.9),

(1.7)

и

(1.5), находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AV к dV = V'Ax = Зх2Дл; = 3-22-0,01 =0,12 м3.

 

 

 

 

 

Абсолютная

погрешность

этого

результата

| dy — Ay \ = 0,000601

м3

относительная

 

\dV-AVl

 

Л 0 0

0 6 0 1 и 0,005 (0.5./Q),

 

погрешность

AV

 

0,120601

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операции

нахождения

производной и дифференциала

от дан­

ной

функции

называются

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м

этой

функции. Общее название

обеих операций объясняется

тем, что

с точки зрения техники вычислений они почти не отличаются друг от друга. В силу формулы (1.8) дифференциал функции получается простым умножением производной этой функции на dx = Ах. Ниже в этой главе устанавливаются общие правила дифференци­ рования функций, а также вычислены производные от основных элементарных функций. Это позволит при дифференцировании лю­ бой элементарной функции не обращаться каждый раз к определе­ нию производной, что значительно уменьшит объем вычислительной работы.

1.8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОСТОЯННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим

постоянную

функцию у = С — const. Для любого

Ах будет Ау =

0, так что у'

= l i m

- ^ - = lim —^- = 0. Итак,

 

 

Д.х-»0

Ах Дд:-.о

Ах

и

 

С' = 0

(1.10)

dC = C'dx = 0.

(1.11)

 

Следовательно,

производная

и дифференциал

постоянной функции

равны нулю.

 

 

 

 

1.9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ ФУНКЦИИ

Теорема. Если функции и = ф (х) и v = g [х)

дифференцируемы

в точке х, то в этой точке

 

(и ± v)' = и' ± v'.

(1.12)

12

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у = и ± v. Придадим х приращение Ах, в результате чего функции и, v, у получат соот­ ветственно приращения Aw, Av, Ay, причем

Ау = [(и + Аи) ± (v + Av)] — [u ± v] = Аи ±

Av.

Пользуясь

этим,

находим

 

 

 

 

 

 

 

i

1-

Ау

,.

Дц

.

Av

,

,

,

у = lim —— = hm —

± hm —

= и

±

и.

 

дж-о

Ах

дл- о

Ах

ддг-о Ах

 

 

Подставив

сюда

у =

и +

v,

получаем

формулу

(1.12). Умно­

жив равенство

(1.12) почленно

на dx,

получим

 

 

 

 

d(u±v)

 

= du + dv.

 

 

(1.13)

Формулы (1.12)- и (1.13) легко обобщаются на случай любого числа слагаемых. Итак, производная {дифференциал) алгебраической суммы функций-равна алгебраической сумме производных (дифференциалов) слагаемых.

1.10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

Теорема.

Если функции и = ср (х) и v = g (х)

дифференцируемы,

в точке х,

то в этой точке

 

 

(uv)' = u'v + uv'.

(1.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у = uv. Придадим х при­ ращение Ах, и пусть Аи, Av, Ay будут приращения соответственно функций и, v, у, вызванные приращением Ах аргумента. Имеем

Ау = [(и + Аи) (v + Av) ] — uv = vAu + uAv + AuAv.

Учитывая, что и и v —• начальные значения функций, не зави­ сящие от приращения Ал; аргумента, находим

,

,.

Ау

,.

у

= n m — — — vhm

 

Ax-rO

Ax

Ax-0

Аи ,

,.

 

j - uhm

Ax

Д . 1 - 0

Av

.

,.

Аи

,.

д

Av.

 

 

|-hm

— - l i m

 

Ax

 

Ax-rO

Ax

Д х - 0

 

 

Функция v = g (x) в рассматриваемой точке по условию диф­

ференцируема, а значит, и непрерывна (см.

§ 1.4),

следовательно,

Игл До = 0 и предыдущее равенство дает у'

— vu'

+ uv' - j - и' -0.

д*-о

(1.14).

 

Подставив сюда у = uv, придем к формуле

 

Для случая трех сомножителей, применяя формулу (1.14), на­ ходим:

(uvw)' = [(uv) w]' — (uv)' w + (uv) w' = (u'v + uv') w + + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

Умножив равенство (1.14) почленно на dx, получим

d(uv)=vdu + udv.

(1-15)

13

С л е д с т в и е . .Постоянный множитель можно выносить за знаки производной и дифференциала: таким образом, если С = = const, то

 

(Си)'

= Си',

 

 

(1.16)

 

d{Cu)

= Cdu.

 

(1.17)

Формулы (1.16) и (1.17)

получаются

сразу из формул (1.14)

и (1.15), если положить в них v = С и воспользоваться

формулами

(1.10) и (1.11).

 

 

 

 

 

 

1.11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧАСТНОГО

 

Теорема. Если

функции

и =

ф (х)

и

v = g (х)

дифференци­

руемы в точке х,

причем в этой

точке

v Ф 0, то

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у =

. Пусть, по-преж­

нему, Аи, Av, Ау— приращения функций и, v, у, вызванные при­ ращением Ах аргумента х. Тогда

Ay-

и -4- Аи

 

и

vAu—

uAv

 

v + Av

v

 

v2 +

vAv

 

 

А и

 

Av

 

v lim

 

 

и lim

 

y' — lim y —

A*-o

A *

 

A*-*o A*

_ v u '

дл:-.о Дх

o H ^ I ' i n A»

 

—u v '

v2-\-v-Q

Ax-0

ибо, как было отмечено в предыдущем параграфе, lim Av — 0.

Ax~0

Подставив сюда у — -^-, придем к формуле (1.18). Умножив это

равенство почленно на dx, получим

 

rf(-f) = v d » - u d v .

(1.19)

Примеры.

1- у = 5л:*; у' = (5х*)' = 5 (х4)' = 5-4л:3- — 20х3. Использованы пра­ вило (1.16) и формула (1.5).

2.

у =—

;

у' =

\-—

=

— (хг)

=

2х = х.

 

2

— Ах +

\ 2 J

2

 

2

 

3.

£/.= бл;3

5;

г/' =

(б*3 )'

— (4л:)' +

5' == 6 (л:9)'' — .4 (*') + 0 =

= 6-Зл:2 — 4 1 =

18л:2

— 4. Использованы правила (1.12) и (1.16) и формулы

(1.5) и

(1.10).

 

 

 

 

 

 

 

 

4- y = i k + 6 x - u

 

" ' " ( w ) ,

+ ( W

' - 1 , = w M ' +

+ 6 ( 4 ' - 0 = - ^ Л : 3 + 6 = 2К2"-Л:3 + 6.

 

 

14

5. у =

х3

(4х2 — 3);

у'

=

(х3 )' (4х2 — 3) + х3 (4ха — 3)' =

Зх2 (4х2 —

— 3) +

х 3 - 8х

=

20х* — 9ха . Использованы

правила (1.14),

(1.12) и (1.16).

6.

у =

(ха +

4) (1 — 2х);

(/' = (*а + 4 ) '

(1 — 2х) +

(х2 +

4) (1 —

— 2*)' =

2х-(1 — 2х) +

(х2

+

4) (— 2) =

— 6х а

+ 2х — 8.

 

 

7

и

= х 1 ± 1 .

 

,

(*' +

 

З Г * 2 - ( * 4

+

3)(х 2 Г

 

 

 

 

 

 

 

х 2

 

 

 

 

 

(х2 )2

 

 

 

 

 

 

4 x s x 2 — ( х * + 3)2х-

2х6

—6

т .

 

 

 

.. , о ч

 

, 0 ,

—

 

v

х*

' — =

 

 

. Использованы правила

(1.18)

и (1.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4 х а — 1

 

, _

(4ха — 1)' (4х2

+ 1) — (4х2 — 1) (4х2 +

\)' _

'

У

~

4х*+1

'

У

~

 

 

 

( 4 х 2 +

I ) 2

 

 

 

_ 8х (4х2 +

1) — (4х2 — 1) 8х

=

16х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 4 х 2 + 1 ) 2

 

 

 

 

~ ( 4 х 2 + 1 ) 2 '

 

 

 

 

 

9.

i/ =

x6

— 2х;

dy= (х6 — 2x)'dx =

{5xi

—

2)dx.

 

 

 

10.

у =

 

 

;

dy=

 

 

 

dx=

 

•

dx.

 

 

 

 

 

 

х 2 — 1

 

U 2 — 1/

( x 2 — l ) 2

 

 

 

1.12.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

 

Возьмем функцию у =

 

sin х.

Аргументу х

придадим прираще­

 

ние Ах, в результате чего функция получит

приращение

 

Ay — s'm(x-\- Ах)—sin х = 2 sin

 

 

cos ^

+ ~ -

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

 

. Дх

cos

/

 

.

Дх

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

 

х 4-

 

 

 

у' = lim —— = lim

 

 

Дх

 

 

 

 

 

 

 

 

Д д - О

Дх

Дл: - 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ Дх

 

/

, Дх \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-

2

2

cos

1х -)

2 /

 

,.

/

 

.

Дх \

 

i

 

 

V

 

 

 

= cosx.

= h m

 

 

1

 

 

— =

lim cos\x-\

 

 

 

Д д : - 0

 

 

Дх

 

 

 

Длг - 0

\

 

 

 

2

J

 

При вычислении этого предела мы воспользовались эквивалент­

 

ностью синуса бесконечно малой дуги самой дуге (там же, стр. 171).

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin х)' = cos х.

 

 

 

 

(1.20)

 

Аналогично

можно

получить

формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cosx') = —sin х.

 

 

 

 

(1-21)

Используя правило (1.18), находим

у/ sinx у (sin х)' cos х — sin х (cos х)'

(igx) •

cos x J

C osa x

 

cos2 x + sin2 x

1

 

sin2 x

cos2 x

15

1. у = 5А:3 — 2 tg х; у' = (5х3 )' — (2 tg х)' = 15л:2 -
Итак,
аналогично
Примеры.

1

(tg*)' = — — = sec2A:.

можно получить

(ctg х') = — - — cosec3 х. sin2 *:

о

(1.22)

(1.23)

2.

г/= л;2 sin А:;

у' =

(л:2)' sin л: +

_

cos л:

,

(COSX)'A: —

3.у = : у' = —

X

Х 2

 

cos2 л:

л:2 (sin х)' =

2х sin х -4- A:2 COS х.

cos А: (л:)'

л; sin А: + cos х

——=

!

 

Х 2

4. у — 5 sin х; йу = (5 sin х)' dx = 5 cos xdx.

1.13. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть теперь у = \ogax (<з>0; а Ф 1). Приращение этой функ­ ции, соответствующее приращению Ал: аргумента, будет

Ay = log, (х + Ах) -

log0 х = loga Г - Ц ^ = loga f 1 +

 

 

 

 

 

 

х

 

 

=

loga e-ln 1

Ал;

 

(мы воспользовались

здесь

тождеством

loga А = loga е- 1пЛ).

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л * \

ДА;

 

 

 

1 П

1 + '

А;

 

 

г/' = П т - ^ - = 1°ёае -1™

—^—;

- = loga e-lim —— = 4 " l o S a e -

д* - о ДА;

ДХ-О

 

ДА;

 

Д*-О ДА;

Х

При вычислении этого предела мы заменили бесконечно малую

In (1 + 4^"") эквивалентной

ей бесконечно малой

4 ~

(там же,

( ! + • ¥ • ) «

 

 

 

 

 

стр. 167). Итак

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(loga *)' = 4rloga e.

 

(1-24)

В частности,

при а = е получаем правило дифференцирования

натурального логарифма

 

 

 

 

 

 

 

 

( I n * ) ' = 4 - .

'

(1-25)

Примеры.

 

 

 

 

 

1.

у' =

10 log2

*:

У' = 1 0 —

1 о 8а е.

 

 

2.

г/ =

A;2 In х\

у'

= (A;2)' In А: + Х2 (In А:)' = 2А; In х + А:2

4 " =

2А; In А: + х.

16

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы