Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,83Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.14. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть сложная функция у аргумента х задана уравнениями

		y = f(u),			I			(1-26)
			I	ч	I			(1-26)
		u = q>(x).			)					;
Имеет	место	следующая	теорема.		Если	функции	f (и)	и	ср (х)
дифференцируемы		в соответствующих			друг	другу точках		и,	х, то
сложная	функция	у — Дер (х)] тоже дифференцируема					в	точке		х,
причем		y'	= f'{u)-u'					(1.27)
или		y'	= f'{u)-u'					(1.27)
или		dy	dy		du
		dy	dy		du
	'	dx	du	dx
Таким образом, производная от сложной функции у по незави
симой переменной х равна			производной от			сложной	функции			у

по промежуточному аргументу и, умноженной на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Придадим независимой				переменной х
приращение		Дх; тогда функция				и =	ср (х) получит	приращение
Аи,	что вызовет приращение Ау				функции у = f (и). Так как функ
ция	у — / (и) по		условию дифференцируема в рассматриваемой
точке и, то ее приращение можно						представить в форме
			Ay — f	(и) Аи +			аАи,
где а -> 0 при Да			0. Отсюда
			-.f>{u)J±			+ a*!L.		(1.28)
			Ах		Ах		Ах
	Функция	и =	ср (х) дифференцируема, а значит,					и непрерывна

в точке х, соответствующей рассмотренной выше точке и, следова тельно, lim Аи = 0, а потому и lim а = 0. Перейдя в равенстве

(1.28) к пределу при Ах -у 0 и учитывая последнее соотношение, придем к равенству (1.27).

Умножив равенство (1.27) почленно на dx, получим следующее

выражение для дифференциала сложной	функции:
dy = f'(u)du.	> (1.29)

Этот же вид дифференциал функции у — / (и) имел бы и в том "случае, если бы переменная и была не промежуточным аргументом, а независимой переменной. В этом состоит так называемое с в о й

с т в о и н в а р и а н т н о с т и (неизменяемости)	формы диффе
ренциала по отношению к аргументу. Здесь только	следует иметь

в виду, что если и — независимая переменная, то du есть ее произ вольное приращение, если же и — промежуточный аргумент, т. е. функция, то du есть дифференциал этой функции, т. е. величина, вообще говоря, не совпадающая с ее приращение|ц

	Гсо. --	. • . • г
2 Заказ № 118)	mr---y - v.	.... w •

ОнСч.едток* СО'. ЭКЗЕМПЛЯР-

Примеры.

у =

(2 +

я5 )1 0 -

Положим

у =

и1 »,

и =

2 +

хъ.

По формуле

(1.27)

имеем

у'

10u9 u'

10 (2 +

хь)я

(2 +

л:5)' =

(2 +

*5 )8 -5** = 50*4 X

х8 ) 9 .

у =

у'

—

t/ =

sin

5А;.

Положим

sin

и,

ы =

5*.

По формуле (1.27)

будет

cos и-и' =

cos

5л:-(5*:)' =

5 cos 5л:.

г/ =

In (tg

л:).

Положим

= In и,

и =

х.

Тогда

У =

ч ,

= •

—

— —

(tg х)'

igx

cos2 Л:

sin 2Л:

tgx

(При известном навыке букву и не пишут, вводя ее лишь мысленно.)

4.	у =	(2 +	3 In хУ;	у' = 4	(2 +	3 In .г)3	(2 + 3 In л:)' =	(2 -f- 3 In л:)3.
5.	у =	cos	(2л:3); у =	— sin	(2л:3)	(2л-3)'	= — 6*2 sin (2л:3).

Пусть теперь у как сложная функция от х представлена цепоч кой, состоящей не из двух, как в случае (1.26), а из трех дифферен

цируемых функций: у — f				(и), и	= ф (v), v	=	(х).	Согласно	пра
вилу	(1.27)	имеем у'	= f	(и)-и',	но в силу	того	же	правила	и' =
= ф'	(v)- v'	= ф' (v)	г\|>' (х); итак,

У'=/'(")Ф'(о)!>'(*)• Коротко можно сказать, что производная сложной функции

равна	произведению производных						от функций,		ее	составляющих.
6.	у =	In sin (2л?). Положим				у=1пи,	и = sin v,	v =	2xs.	Тогда
		у' = —	cos vv'	=	l-	cos	(2Л.-3) (2Л:3)' =	6x2	ctg	(2л?).
		u			sin (2л.-3)
7.	у =	[In (1 +	л-2)]*;	y'	= 4	[In (1 +	л:2 )]3 — —	(1 +	* 2 ) ' =
	~				• Sx		1 + л:2
	~				• Sx
					1 +	In3	(1 + JC2).
					1 +	X2

1.15.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у — ха, где а — любое действительное число. Производ ную этой функции можно было бы найти, пользуясь ее определе нием, однако мы быстрее достигнем цели, применив прием л о г а - р и ф м и ч е с к о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . Этот прием состоит в том, что функцию сначала логарифмируют, а потом уже дифференцируют. Прологарифмируем данную функцию, предпо лагая, что x5>0: In у = a In х. Здесь у есть функция от х, в силу чего левая часть этого равенства является сложной функцией от х.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х, причем его левую ч-асть дифференцируем как сложную функцию: — у' —

1	1	и	ха	—i
=	а —	. Отсюда находим у' = а ~-	= а — = аха	. Итак,
		{ха)'=аха-1.		(1.30)

Легко показать, что эта формула верна и при х < 0 ,

если только

в этом случае ха

имеет смысл.

Выше

[см.'формулу

(1.5)]

формула

(1.30)

была

выведена

для

натурального

показателя

а =

п.

Примеры.

у =

— - f

2 у ^ =

З х _

4 +

—

;

у' =

3 ( —

4х~5)

2 х 3

х*

„ - 1 .

..,

л ..—5"

„ I

)

< / = - ^

^ =

2х

a - * "

;

*/'=2

^ л :

У х

- ( - Ь , - 2 ) =

" 1

# =

У^е

cos х;

у' =

()/"*)' cos

х +

(cos)' =

—^7= cos д; — Ух

sin

х.

•

у х

у =

Ух2

Положим

у — Уи,

и = хг +

Тогда

и'=

(

Х 2

(ЛГ2

1)'

= •

•

2 v

(/ =

(cos

д:)2

. Положим

у =

2 ,

u =

cos х.

Тогда

— 2и~3

п .

2 sin

X и

— 2 (cos

х)

(cos

х)

= (cos

Л;)3

1.16.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у — ах ( а > 0 , а Ф 1). Для отыскания производной этой функции снова применим логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем

данную

функцию: In у =

х In а.

Дифференцируя

обе части

этого

равенства по х, находим— -у' =

\-\na, откуда

у'

у In а =

ах

In а. Итак,

(а*)'= 0*111 а,

(1.31)

в частности,

при

а =

е,

(e*).' = e*.

' .

Примеры.

у =

3* +

2е*;

(/' =

3* In 3 +

2е*.

у =

еьх.

Положим у

= е", и =

5л:. Тогда

= eu -u'

= е^-б.

/JT

Ух / , / - у

т^1ё

3. у = е

;

(У ж) = - — ? = - е .

2 Уд:

Прием логарифмического дифференцирования, примененный, для отыскания производных степенной и показательной функций,

удобно применять для дифференцирования

степенно-показательных

функций

вида

у=

и (х

) 0 ( А ' ) , а

также

функций,

являющихся ча

стным

произведений других

функций.

у =

х5х~;

In у = 5Л:2 In х;

—

• у' = \0х

In х - f 5.v2

— ,

откуда

у' =

у (Юх In х +

5А-) =

5х5х'+[

(2 In х + 1 ) .

у =

(sin х)х,

In у =

х In sin х;

— • < / ' =

In sin .v +

л,- X

«/

cos x,

откуда у'

(sin x)x

(In sin A: -4- x ctg я)/

sin д;

3 ,

{X""+.

l )

A l

+ 2

; In у =

In (.vs +

1) +

—

ln(l +2*)

— ln.v —

A: V(*2

— I ) 3

—

In (д.-2— 1);

—-•</

-2A-H

x2 + 1

1 + 2 *

X -

* ,

откуда

= ( ^ + 1 ) У 1 + Я «

* 2

—

A: V (A"2

— I ) 3

2.v

3A:

X *2 -f- 1

3(1+2A.-)

2 (x2 —1)

1.17. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть даны две взаимно обратные

функции: у — f (х)

и х =

— Ф (У) ( Т А М

Ж Е > С Т Р - 129).

f (х) и х =

ср (у) возрастают (или

Теорема.

Если

функции у =

убывают)

точке х

функция

f (х)

дифференцируема,

причем

f (х) =р 0,

то

соответствующей

точке

функция

ср (у)

тооюе

дифференцируема

(по у),

причем

¥(У)

= ~7^г-

(1-32)

/ (*)

или

—

= — ! — .

(1.33)

Коротко: числовые значения

производных

взаимно

обратных

функ

ций

взаимно

обратны.

переменной у приращения

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Придадим

Ау

=j= 0.

Так

как

функция

х =

ср (у)

возрастает

(или

убывает),

то

Ах = ц>(у-{-Aw) — ф (y)=jLQ

- .

Функция

Г = Ф ( У )

Дд;

Смотрите также файлы

Караваев М.М. Промышленный синтез метанола.pdf

Лабораторна робота №13 Оформление.doc

Кашепава М.Я. Современные отечественные и зарубежные координатно-расточные станки обзор.pdf

Лабораторна робота №13.doc

Косачев Г.Г. Экономическая оценка сельскохозяйственной техники.pdf

Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно