Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

A - 6—0

В этом случае значение F (b — 0) показывает, сходится или рас­ ходится данный интеграл.

Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходи­ мости интегралов по бесконечному промежутку. Основной признак сходимости базируется также на рассмотрении интеграла от абсо­ лютной величины функции.

150

сравнения, доказательство которого аналогично приведенному для

она остается справедливой и в случае неограниченности функции при нижнем пределе интегрирования а.

Теореме можно дать наглядную геометрическую интерпрета­

линии 12. Очевидно, если линия 12 ограничивает конечную площадь, то линия 1Х и подавно ограничивает конечную площадь. С другой стороны, если линия 1Х ограничивает бесконечную площадь, то

151

то данный интеграл сходится и при этом абсолютно.

ГЛАВА 7

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

7.1. ДВЕ СХЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Основное содержание задач, приводящих к вычислению опреде­ ленных интегралов, состоит в том, что ищется значение некоторой величины А, соответствующее промежутку [а, Ь] изменения не­ зависимой переменной х, причем величина А обладает тем свойством,

чале находится приближенное выражение для величины А. Для этого промежуток [а, Ь] разбивают на частичные промежутки и, исходя из условий задачи, вычисляют приближенное значение рас­ сматриваемой величины на каждом частичном промежутке, пропор­ циональное длине соответствующего промежутка.

В качестве приближенного выражения для величины А, в соот­ ветствии со свойством аддитивности, принимают сумму ее прибли­ женных значений на всех частичных промежутках, представляю­ щую собой интегральную сумму для некоторой известной функции на промежутке [а, Ь]. Затем вычисляют точное значение искомой величины путем перехода к пределу интегральной суммы при без-

152

граничном измельчении промежутка изменения независимой пере­ менной. Таким образом, искомая величина оказывается равной определенному интегралу от некоторой известной функции.

При решении задачи по второй схеме изучаемую величину рас­ сматривают как функцию Ф (х) независимой переменной х на про­ межутке [a, b ] и находят дифференциал этой функции

йФ (х) = / (х) dx.

Так как величина Ф (х) обладает свойством аддитивности, то очевидно, что

ф (6) = Ф (а) + Л,

откуда

А — Ф (Ь) — Ф (а). Но по формуле Ньютона — Лейбница

A =$d<b{x) = ti{x)dx.

аа

Для нахождения дифференциала '<2Ф (х) произвольно фиксиро­ ванному значению х на промежутке [a, b ] дают произвольное при­ ращение Ах = dx и вычисляют приближенное значение прираще­ ния функции АФ (х), пропорциональное Ах, т. е. находят главную часть приращения функции. Обычно это та часть приращения функ­ ции, которая получается при условии, что все величины, опреде­ ляющие Ф (х), не меняются на промежутке [х, х + Ах] и равны значениям в точке х.

Ниже приведены решения некоторых простейших задач с при­ менением указанных схем.

7.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Задача о вычислении площади плоской фигуры формулируется следующим образом: на плоскости дана фигура, ограниченная ли­ нией L . Зная уравнение линии, найти площадь фигуры — Q.

Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной и полярной системах координат.

Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах

В § 6,1 было показано, что интегральная сумма для неотрица­ тельной функции f (х) на промежутке [а, Ь] дает приближенное' значение площади криволинейной трапеции, ограниченной графи­ ком этой функции. Отсюда следует, что площадь Q криволинейной трапеции (рис. 67), ограниченной линией у — / (х), расположенной

153