Файл: Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие.pdf

ц и о н а л ь н а

р а з н о с т и

температур

среды

и

горячего

спая,

п о э т о м у

1

•

'

rfGi

(3-6)

dt

где

p — теплоемкость

корпуса

777;

S

— площадь п о в е р х н о с т и

корпуса

777;

a — к о э ф ф и ц и е н т

теплоотдачи;

t — время.

И з у р а в н е н и й

(3-5),

(З-б)

получаем

связь

м е ж д у

изме ­

р я е м о й т е м п е р а т у р о й

среды

и

термо - э . д. с.

Г — + Е = kbe,

(3-7)

dt

где

T = p ( a S ) - 1 .

П р и м е р

3-2.

В

качестве

и с п о л н и т е л ь н ы х

устройств

С А Р

часто

п р и м е н я ю т

двигатели

(электрические,

гидравлические,

п н е в м а т и ч е с к и е ) .

Рассмотрим

двигатель

с л и н е й н ы м и

меха ­

н и ч е с к и м и х а р а к т е р и с т и к а м и

(рис. 3-1,с),

когда

д в и ж у щ и й

Hi

/ IS

S2

А

в

б)

•

Рис.

3-1.

Двигатель

с линейными

механическими

ха­

рактеристиками

момент

растет

п р о п о р ц и о н а л ь н о

у п р а в л е н и ю

и

и падает

п р о п о р ц и о н а л ь н о

скорости

Q

Ма

=

ku-

М,—-Q,

(3-8)

Qo

где

Мо — п у с к о в о й момент;

йо — скорость

холостого

хода.

П о

Д а л а м б е р у

(см. (3-2))

г dQ

«

М

dt

Q,

и ли

T-?£- + Q = kuu-kMMc,

(3-9)

at

Т а к и м

образом,

двигатель как

элемент

С А Р

имеет

два

входных

воздействия — у п р а в л я ю щ е е

и

и

в о з м у щ а ю щ е е

М.й.

(рис.

3-1,6) и одну

в ы х о д н у ю

п е р е м е н н у ю — скорость Q.

N О д н а к о

в ряде случаев нас будет интересовать

н е

ско­

рость Q вала двигателя, а его угловое

п о л о ж е н и е

0

(в

сле­

дящих

системах, в

астатических

системах

с

сервоприводом

и др . ) .

П о с к о л ь к у

Q—

, то

у р а в н е н и е

двигателя

относи ­

тельно

п о л о ж е н и я

вала запишется с учетом-

(3-9)

как

ч

T ^at2

+ ^at- = kuu~-kMMc

(3-Ю)

Мс

= 0

О б р а т и м

внимание,

что пр и

у р а в н е н и е

двигателя

(3-9)

и

у р а в н е н и е

т е р м о п а р ы

(3-7)

аналогичны,

хотя

опи ­

сывают п р о ц е с с ы в

р а з л и ч н ы х

ф и з и ч е с к и х

системах

(777 —

т е р м о э л е к т р и ч е с к а я

система;

двигатель,

н а п р и м е р ,

электри ­

ч е с к и й — э л е к т р о м е х а н и ч е с к а я

с и с т е м а ) .

Д а л е е

будет пока­

зано,

что

на

с т р у к т у р н ы х

схемах

и

777,

и

двигатель с

выходом Q и з о б р а ж а ю т с я

одним

и

тем

ж е

звеном — инер ­

ционным .

П о л у ч е н н ы е

у р а в н е н и я

могут

оказаться

нелинейными,

хотя

н е л и н е й н о с т ь при малых

о т к л о н е н и я х

от

н о м и н а л ь н ы х

з н а ч е н и й

входных

воздействий о б ы ч н о бывает незначи ­

тельной . В

т а к и х случаях

у р а в н е н и я

л и н е а р и з у ю т

методом

малых

отклонений.

Ф и з и ч е с к и й

смысл

метода,

обоснован ­

ного

одним из

о с н о в о п о л о ж н и к о в

т е о р и и

автоматического

' у п р а в л е н и я

русским

ученым

А. М. Л я п у н о в ы м

(1857—1918),

состоит в

том,

что

обычно

С А Р р а б о т а е т

в

номинальном,

ствием

в о з м у щ е н и й

достаточно

малы, поскольку

С А Р

проектируется

таким

образом,

ч т о б ы противодействовать

возмущениям .

Т а к и м

образом, обычно выполняется гипо ­

теза

о

малости о т к л о н е н и й , когда н е л и н е й н о с т ь ю ,

есди

о н а

гладкая,

м о ж н о

пренебречь .

М а т е м а т и ч е с к и л и н е а р и ­

р а з л о ж е н и я в ряд

Тейлора,

в к о т о р о м

п р е н е б р е г а ю т нели ­

н е й н ы м и членами .

В самом

деле, пусть

н е к о т о р ы й элемент^

С А Р описывается н е л и н е й н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравне ­

нием,

например,

F\{xh

xh

х2, x2)^=F2{y,

у),

(3-11)

где Fi,

F2 — н е л и н е й н ы е

ф у н к ц и и от

своих

аргументов .

Допустим, что установившийся п р о ц е с с

в С А Р

имеет

место,

когда

Х\=х\о,

х2=Х2о, у—уо-

Тогда

у р а в н е н и е уста­

новившегося

р е ж и м а

имеет вид

Fi(xl0,

0,

Х2о, 0)=F2(y0,

0) .

(3-12)

/о

\

dxi

Iо

дх*

Jo

\

д*

/о

(dFi\

I dFo_ \

г д е

~~ ч

а с т н

ы е

производные,

в ы ч и с л е н н ы е

в

\

дх /oi

\

оу /о

точке

установившегося

режима,

т. е.

н е к о т о р ы е

числа;

R\,

R2 — остаточные

члены

р а з л о ж е н и я ,

содер ­

ж а щ и е

члены

с

п р и р а щ е н и я м и

выс­

шего

порядка (в них - то и

з а к л ю ч е н а

вся н е л и н е й н о с т ь ) .

Т а к

как

п р и р а щ е н и я считаются малыми,

то о с т а т о ч н ы е '

члены R\, R2 содержат величины высшего порядка малости,

которыми м о ж н о

пренебречь . В

этом

случае,

исключая

из

последнего

уравнения

в ы р а ж е н и е

(3-12)

для

установивше ­

гося режима,

получаем

так

называемые

уравнения

первого

приближения

(уравнения в

« в а р и а ц и я х » ) ,

к о т о р ы е

являются

л и н е й н ы м и

для

п р и р а щ е н и й ,

&01

+ Ь1 \Ах\ + Ьй2Ах2

+ Ъ22Ах2=одАг/

-Ь а\Ау,

(3-13)

г д е ЬМ

= {

^

- 1

ат =

Л * р - V

4"> =

f

£

(п =

0,1,2).

J

О б ы ч н о к о э ф ф и ц и е н т

ао

д е л а ю т равным

1,

т.

е.

делят

у р а в н е н и е

(3-13)

на

ао. К р о м е

того,

о б о з н а ч е н и е прира -

4—291

-

49

щ е й й я

Л

б п у с к а ю т

п р и

записи, понимая,

что

у р а в н е н и е

составлено

для

п р и р а щ е н и й .

П р и м е р 3-3.

А с и н х р о н н ы й

д в у х ф а з н ы й

двигатель с

по ­

лым

или

к о р о т к о з а м к н у т ы м

ротором,

когда

п р и в е д е н н о е

с о п р о т и в л е н и е

р о т о р а

^ р

(в

величинах

статорного

сопро ­

тивления)

с о и з м е р и м о

с

выходным

с о п р о т и в л е н и е м

RB

источника

у п р а в л я ю щ е г о

н а п р я ж е н и я

(например, ф а з о ч у в -

ствительного з'силителя

ФУ, п о д к л ю ч е н н о г о

к у п р а в л я ю щ е й

о б м о т к е двигателя,

рис . 3-2,а),

имеет

м е х а н и ч е с к и е

харак ­

теристики,

п о к а з а н н ы е

на

рис. 3-2,6,

где

Q0 — с и н х р о н н а я

скорость

(при

Rp^>Rs

х а р а к т е р и с т и к и

п о к а з а н ы

п у н к т и ­

р о м ) .

К а к

видим, м е х а н и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

о т л и ч а ю т с я

Рис. 3-2. Асинхронный двухфазный двигатель

от

линейных,

р а с с м о т р е н н ы х

в п р и м е р е

3-2.

Разлагая

гладкую

н е л и н е й н у ю

ф у н к ц и ю

М(и,

Q)

в

ряд по,

п р и р а щ е ­

ниям

и и

й

и

пренебрегая

н е л и н е й н ы м и членами,

получаем

л и н е й н о е

уравнение,

аналогичное

(3-8),

&M=bo\Au

+ b02AQ,

(3-14)

где

И н т е р е с н о ,

что в

н е к о т о р ы х

точках м е х а н и ч е с к о й

харак ­

т е р и с т и к и к о э ф ф и ц и е н т Ьо2 имеет

р а з н ы е

знаки . Н а п р и м е р ,

п р и

малых

о т к л о н е н и я х

от

с к о р о с т и

Qi

величина

Ь02<0,

а

вблизи

точки

Q2 &ог>0

(далее

будет

показано,

что

о д и н

р е ж и м является

устойчивым,

а

другой

н е у с т о й ч и в ы м ) .

§

3-3.

Д и н а м и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

во

в р е м е н н о й

области

Временными

х а р а к т е р и с т и к а м и

л и н е й н о й

системы

явля­

ются

п е р е х о д н а я

ф у н к ц и я

h(t,

t\)

или

импульсная

характе ­

р и с т и к а

w(t,'

ti).