Файл: Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие.pdf

Г л а в а

3

Х А Р А К Т Е Р И З А Ц И Я С А Р И Е Е Э Л Е М Е Н Т О В

§ 3-1.

С п о с о б ы х а р а к т е р и з а ц и и систем

Ч т о б ы иметь

возможность анализировать С А Р ,

н е о б х о ­

димо

п р о и з в е с т и

ее

математическое

о п и с а н и е (характери -

з а ц и ю ) . И м е е т с я

несколько способов

х а р а к т е р и з а ц и и :

1)

посредством

дифференциальных

уравнений,

описы ­

в а ю щ и х и з м е н е н и е

п е р е м е н н ы х

С А Р

во времени и

прост ­

ранстве;

временных

характеристик,

2)

посредством

д а ю щ и х

связь

м е ж д у

переменными, заданными как ф у н к ц и и

времени;

3)

посредством

частотных

характеристик,

д а ю щ и х

связь

Н е

все

из у к а з а н н ы х

способов

являются

наглядными,

и м е ю т

п р о с т о й ф и з и ч е с к и й

смысл

и л и

у д о б н ы

п р и реше ­

н и и тех

или

и н ы х п р а к т и ч е с к и х

задач.

Н а п р и м е р ,

ш и р о к о

п р и м е н я е м о е

о п и с а н и е

С А Р

с п о м о щ ь ю

системы

д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

в

н о р м а л ь н о й

ф о р м е

весьма

н е у д о б н о

для

представления

и

а н а л и з а связи

м е ж д у

дан­

ными

воздействиями

и

выходной

п е р е м е н н о й ;

в

то

ж е

время

т а к о е

о п и с а н и е

весьма

у д о б н о

п р и м о д е л и р о в а н и и

системы

на

вычислительной

м а ш и н е .

Н а о б о р о т , о п и с а н и е

С А Р

посредством в р е м е н н ы х

х а р а к т е р и с т и к

обладает

наглядностью,

имеет

п р о с т о й

ф и з и ч е с к и й ' с м ы с л ,

н о

неудоб ­

н о для практических расчетов и моделирования .

Т а к и м

образом,

о п и с а н и е

по

п.

1,

2

имеет п р о с т о й

ф и з и ч е с к и й

смысл,

н о н е у д о б н о

для

и н ж е н е р н ы х

расчетов,

поскольку

приводит

к

необходимости решать

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

и л и

интегральные

уравнения .

Оказывается,

что

и н ж е н е р н ы й

анализ

у д о б н о проводить

с п о м о щ ь ю частотных

х а р а к т е р и ­

стик.

Н е б о л ь ш и е

затраты

труда

по

и з у ч е н и ю

математиче ­

ского

аппарата • п р е о б р а з о в а н и й

Ф у р ь е

и Л а п л а с а

п о л н о ­

стью

о к у п а ю т с я

удобством,

о п и с а н и я

и

анализа

систем,

п о с к о л ь ку вместо

и н т е г р о д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

надо

решать

только

алгебраические

у р а в н е н и я .

П о э т о м у ,

далее

будут

рассмотрены

все

т р и

способа

х а р а к т е р и з а ц и и ,

к о т о р ы е

для

л и н е й н ы х

систем

с о в е р ш е н н о

р а в н о п р а в н ы и

полны,

т. е.

к а ж д ы й

из

способов п о л н о с т ь ю

х а р а к т е р и з у е т

все

свойства

системы.

Для

н е л и н е й н ы х

систем

долгое

время

существовал

только

один

способ

описания — с

п о м о щ ь ю

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

уравнений .

О д н а к о

в

последние

годы

и н т е н с и в н о

развиваются

два

других

с п о с о б а — с

п о м о щ ь ю

в р е м е н н ы х и

частотных

характеристик .

Н е о б х о д и м о сразу

заметить,

что

о п и с а н и е

систем

всегда

получается у п р о щ е н н ы м ,

поскольку

нельзя

учесть

абсолют ­

н о

все воздействия

на систему

и все

ее

свойства.

С

точки

з р е н и я

задач

управления,

т а к о е

у п р о щ е н и е

о б ы ч н о оправ ­

дано .

Здесь н е о б х о д и м о

отметить,

ч т о , м а т е м а т и ч е с к о е

опи ­

с а н и е

системы м о ж е т

быть аналитическим

или

эксперимен­

тальным,

в зависимости

от

того,

каким путем о н о

получено .

О б а

способа

получения

о п и с а н и я

и м е ю т

свои

достоинства

и недостатки: а) аналитическое

о п и с а н и е

позволяет

выявить

о с н о в н ы е з а к о н о м е р н о с т и

и

свойства

ряда

о д н о т и п н ы х

систем

(класса систем),

в

то

ж е

время

д а н н у ю

к о н к р е т н у ю

систему

о н о

обычно

х а р а к т е р и з у е т

с

недостаточной

точ­

ностью",

б)

э к с п е р и м е н т а л ь н о е

о п и с а н и е

обычно

точнее,

н о

зато

н е у д о б н о

для

выявления

о б щ и х

з а к о н о м е р н р с т е й

Н а д о отметить,

что

аналитический

путь

описания,

осно ­

в а н н ы й

на

выявлении

законов природы,

которым

подчи­

н я ю т с я

п р о ц е с с ы

в

д а н н о м

классе

систем,

п р а к т и ч е с к и 4

всегда

приводит

к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравнениям .

Э к с п е ­

риментальный, наоборот,

дает

обычно

результаты

в

ф о р м е

в р е м е н н ы х

или

ч а с т о т н ы х характеристик .

П о с к о л ь к у п р и

х а р а к т е р и з а ц и и

с л о ж н ы х

систем,

к

которым

относятся

п р а к т и ч е с к и

все

п р о и з в о д с т в е н н ы е

процессы,

п р и м е н я ю т

как аналитический,

т а к и

э к с п е р и м е н т а л ь н ы й

пути,

и н ж е ­

н е р у н е о б х о д и м о

знать все

способы

х а р а к т е р и з а ц и и .

' Д а л е е

будут

рассмотрены

только

линейные

системы,

к

которым

п р и м е н и м п р и н ц и п

суперпозиции

( н а л о ж е н и я ) .

П о я с н и м

это п о н я т и е .

Рассмотрим о д н о м е р н ы й

объект (это

может,

быть

С А Р •

и л и ее

э л е м е н т ) ,

и м е ю щ и й

одно входное

воздействие

x(t)

и

одну

в ы х о д н у ю

п е р е м е н н у ю

у(t)

(рис. 1-1,в).

В о б щ е м

случае

связь м е ж д у н и м и м о ж е т

быть

з а п и с а л а в

виде

где

А

— н е к о т о р ы й

оператор

(ставящий

в

соответствие

од­

н о й ф у н к ц и и

другую

ф у н к ц и ю ) .

П р е д с т а в и м

входное

воз­

действие

суммой

произвольных

с о с т а в л я ю щ и х

k

А

О б ъ е к т

называется л и н е й н ы м

( о п е р а т о р

называется

л и н е й н ы м ) ,

если

выполняются

условия:

^xK(t)

=

J]

AxK(t)

(3-1)

AcxK{t)

=

cAxK{t)

где

с — константа .

В ы п о л н е н и е

(3-1)

позволяет

с ф о р м у л и р о в а т ь

п р и н ц и п

с у п е р п о з и ц и и :

если

на

объект

(систему)

действует.

одно­

временно

несколько

воздействий,

то

реакция

линейного

объекта

(системы)

равна

сумме

реакций,

вызываемых

каж­

дым

из воздействий

в

отдельности.

Системы,

для

к о т о р ы х

условия

типа-

(3-1)

не

выпол­

няются,

называются

н е л и н е й н ы м и .

Л и н е й н ы е

системы описываются

л и н е й н ы м и

д и ф ф е р е н ­

циальными

уравнениями .

Д а л е е

мы

будем

рассматривать

л и н е й н ы е системы

с

сосредоточенными

параметрами,

кото ­

рые описываются л и н е й н ы м и

о б ы к н о в е н н ы м и

д и ф ф е р е н ­

циальными

уравнениями .

§ 3-2. Составление

у р а в н е н и й

С А Р

и

и х

л и н е а р и з а ц и я

О б ъ е к т ы

у п р а в л е н и я и

у п р а в л я ю щ и е

устройства

обычно

являются

весьма

с л о ж н ы м и

д и н а м и ч е с к и м и

системами,

в к о т о р ы х

п р о т е к а ю т

процессы,

и м е ю щ и е

часто

р а з л и ч н у ю

ф и з и ч е с к у ю

природу,

и

на

к о т о р ы е

действуют

различные

ф и з и ч е с к и е

воздействия .

П о н я т н о ,

что

описать

всю

систе­

му

одним

у р а в н е н и е м

весьма

с л о ж н о .

Д л я

у п р о щ е н и я

обычно систему р а з б и в а ю т на отдельные элементы и

д а ю т

математическое

о п и с а н и е

процессов

в н и х

и

связей

м е ж д у

ними .

Уравнения

элементов

составляются

на

основе

физи­

ческих

законов,

определяющих

протекание

процессов

в

них.

Н а п р и м е р :

а)

для процессов.,

связанных

с о б р а з о в а н и е м

и л и преоб ­

р а з о в а н и е м

веществ

(обычно,

п р и х и м и ч е с к и х

р е а к ц и я х ) ,

а т а к ж е

связанных

с

п е р е н о с о м

веществ,

п р и м е н я ю т

з а к о н

45

/

с о х р а н е н и я

вещества,

к о т о р ы й

приводит к

уравнениям,

материального

баланса;

б) для процессов, связанных с

п р е о б р а з о в а н и е м

различ ­

ных

видов

энергии,

п р и м е н я ю т з а к о н с о х р а н е н и я

энергии,

к о т о р ы й

п р и в о д и т

к у р а в н е н и я м

энергетического

баланса,

в частности, к уравнениям

теплового

баланса;

в)

для

процессов,

связанных

с м е х а н и ч е с к и м

переме ­

щ е н и е м

и

взаимодействием тел,

материалов, п р и м е н я ю т

законы

Ньютона,

в

частности,

у р а в н е н и е

Д а л а м б е р а

д л я

в р а щ а ю щ и х с я тел:

/ i £ L =

M a - M c

,

(3-2)

где Q — угловая

at

скорость тела;

1

/ — момент

и н е р ц и и

относительно оси

в р а щ е н и я ;

М д , Мс

— соответственно

д в и ж у щ и й

м о м е н т

и

момент

с о п р о т и в л е н и я ;

законы

г)

для электрических

и э л е к т р о н н ы х

схем —

Ома и

Кирхгофа:

J]U* =

°>

(3-3)

21UK — сумма

k .

где

н а п р я ж е н и й

п о

замкнутому

контуру,

к

V I

7

Л

5) 7 , - 0,

(3-4)

где

27; — сумма

токов

в узле .

(

Н а д о отметить,

что

р а з л и ч н ы е

ф и з и ч е с к и е

п р о ц е с с ы

нениями . «Единство п р и р о д ы

о б н а р у ж и в а е т с я

в

«порази ­

тельной

аналогичности»

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

уравнений,

о т н о с я щ и х с я

к р а з н ы м

областям

я в л е н и й »

(В.

И .

, Л е н и н ,

Соч., изд. 4, т. 14,

стр. 276).

П р и м е р

3-1.

В

системах

( р е г у л и р о в а н и я

т е м п е р а т у р ы

часто п р и м е н я ю т

т е р м о п а р ы

(ТП)

(см.

§

2-3). Если

тем­

п е р а т у р а

холодного

спая

р а в н а

нулю,

то

термо - э . д. с. Е

п р о п о р ц и о н а л ь н а

т е м п е р а т у р е

f}[ горячего спая

,

J5=ft#,.

(3-5)

О д н а к о

измеряемая

т е м п е р а т у р а г}с

о к р у ж а ю щ е й

горя­

чий спай

среды н е

совпадает

с т е м п е р а т у р о й

•&]. П р и

кон ­

вективном

т е п л о о б м е н е

м е ж д у

к о р п у с о м

ТП

и

о к р у ж а ю щ е й

средой

у р а в н е н и е

т е п л о в о г о

б а л а н с а устанавливает,

что

скорость

и з м е н е н и я

т е м п е р а т у р ы горячего спая

ТП п р о п о р -