Файл: Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие.pdf

ч и не

x(t),)

• Atk. В

соответствии,

с п р и н ц и п о м

с у п е р п о з и ц и и

(3-1) р е а к ц и я

н е в о з б у ж д е н н о й

системы

в ф и к с и р о в а н н ы й

момент

времени

н а б л ю д е н и я

tn

м о ж н о

представить

как

сумму

р е а к ц и й

на

последовательность

таких импульсов .

П о с к о л ь к у

р е а к ц и я

в

момент

tn

н а k-e

импульсное

воздей ­

ствие,

п р и л о ж е н н о е

в

момент

4 ,

равна

w(ttn,

4 ) - х ( 4 ) Л 4 ,

то, суммируя р е а к ц и и

на все импульсы

к

моменту tn,

полу ­

чим,

переходя

в пределе к Д^->- О,

y(tn)

=

\\m

У

w(tn,tK)x(tK)AtK

к

k—

i w(tn,tK)x(tK)dtK.

(3-18)

Д л я с т а ц и о н а р н ы х

л и н е й н ы х

систем

р е а к ц и я

на

импульс­

н о е

воздействие

зависит

только

от

и н т е р в а л а

времени

м е ж д у

моментом

п р и л о ж е н и я

импульса

и

м о м е н т о м

н а б л ю ­

дения,

п о э т о м у

w(tn,

th)=w{tn-th)=w(x),

где x=tn

— th.

П р о и з в о д я

з а м е н у

п е р е м е н н о й

в

(3-18)

и

учитывая,

что

dth=-=-dx

( ^ — ф и к с и р о в а н о ) ,

п о л у ч а е м

о

.

1

»

y(tn)

=

—

J

w[x)x(tn

— x)dx

=

j "

w(x)x(tn

— x)dx.

(3-19)

oo

0

Т а к и м образом,

получена

связь м е ж д у

входным

п

воздей ­

ствием

и

выходной

п е р е м е н н о й

(обычно

и н д е к с

у

мо­

мента времени

н а б л ю д е н и я

о п у с к а ю т ) . Л е г к о

показать,

что

для

н е в о з б у ж д е н н о й

системы,

на

к о т о р у ю

начало

действо ­

вать x(t)

в момент

^ = 0 ,

р е а к ц и я

р а в н а

t

t

у (t)

=

j o i ( т )

х(t

— х)dx

=

^x{x)w(t-

х) dx.

(3-20)

о

b

• И н т е г р а л ь н о е

в ы р а ж е н и е

(3-20)

v

н а з ы в а ю т

сверткой

ф у н к ц и й и о б о з н а ч а ю т

у ( 0 = * ( * ) •

«>{*)•

'(3-20)

К а к

видим,

в р е м е н н ы е

д и н а м и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

д а ю т

связь м е ж д у

входом

и выходом

системы

в

ф о р м е интеграль -

н о го

уравнения .

П о с к о л ь к у

такая

,форма

связи

весьма

н е у д о б н а

при

и н ж е н е р н ы х

расчетах,

рассмотрим

еще

один

вид

д и н а м и ч е с к и х

характеристик .

§ 3-4. Д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и

в частотной

области

Если

рассматривать

не

ф у н к ц и и

времени, а

их

изобра ­

ж е н и я п о Л а п л а с у

X(p)=L{

x(t)},

Y(p)=L{y(t)

},W(p)=L{

w(t)},

то вместо

свертки

ф у н к ц и й

(3-20)

м о ж н о записать

для их

и з о б р а ж е н и й

Y(p)=X(p)-W(p),

(3-21)

где

W(p)

называется

передаточной

функцией

системы.

И з

(3-21)

м о ж н о

дать

и другое

о п р е д е л е н и е

передаточ ­

н о й ф у н к ц и и

W(p)

У{р)

(3-22)

Х{р)

П р и

нулевых

начальных

условиях

передаточная

ф у н к ц и я

обозначается

часто т а к ж е

через

К(р).

В

отличие

от

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

и

времен ­

ных

д и н а м и ч е с к и х

характеристик,

п е р е д а т о ч н а я ,

ф у н к ц и я

не

имеет

простого

ф и з и ч е с к о г о

смысла.

О д н а к о

в и н ж е ­

н е р н ы х

расчетах

пользуются

именно

о п е р а ц и я м и

над изо ­

б р а ж е н и я м и .

П р и

этом

ш и р о к о

используют

с л е д у ю щ и е

свойства

п р е о б р а з о в а н и я

Л а п л а с а (табл. 3-1).

Б о л е е понятным

становится

смысл

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ­

ции,

если

р а с с м о т р е т ь

весьма

б л и з к у ю

к

не й

динамиче ­

с к у ю х а р а к т е р и с т и к у

— комплексный

коэффициент

усиле­

ния

В 7 ( / ( о ) = Ф

{w(t)},

.

(3-23)

где

Ф — о б о з н а ч е н и е

и з о б р а ж е н и я

по

Ф у р ь е ; со — частота.

К а к

и

для

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и ,

здесь

м о ж н о

записать

(для

н е в о з б у ж д е н н о й

пр и

t<C0

системы)

v

'

x m

'

где

ХЦа),

У(/со)

— и з о б р а ж е н и я

п о

Ф у р ь е

входного

и вы­

ходного

воздействий .

Если

входным

воздействием

является

гармоническое

x(t)

=xm-s'm

at, то

в

установившемся

р е ж и м е

на

выходе