Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
а деформации поперечного сдвига таковы:
|
а і |
= |
а 2 = ° . |
( с < 2 < с |
+ Л1 ; |
— с — / z a < z < |
— с); |
|
; і . 18) |
||||||
|
а 3 |
= |
а 3 (л-, |
jfj = а (х, t), |
( — с < 2 |
< г). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
И м е я деформации н пользуясь |
законом |
Гука, |
найдем |
н о р |
|||||||||||
м а л ь н ы е * н а п р я ж е н и я в слоях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для первого слоя |
{c^z^Lc |
+ li\) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
с- |
(да |
, |
да |
|
d*w \ |
|
|
|
(1.19) |
|
|
|
|
|
|
|
\дх |
|
дх |
|
дх2} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д л я заполнителя |
( — c ^ z ^ c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/ ди . |
да |
|
d2w \ |
|
|
|
|
(1.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д л я второго слоя |
( — с — Л г ^ г ^ — с ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a9 |
— h„l |
|
с |
дх |
z |
|
. |
|
|
|
(1.21) |
|
|
|
|
2 |
- \дх |
|
|
дх"- ) |
|
|
|
|
|||
Значение касательного |
н а п р я ж е н и я |
на |
этом |
этапе |
|
м о ж н о |
|||||||||
найти только для заполнителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T = G a , (—cs^zs^c). |
|
|
|
(1.22) |
||||||
К а к |
у ж е отмечалось, |
касательные |
н а п р я ж е н и я в |
несущих |
|||||||||||
слоях могут быть найдены при наличии нормальных |
н а п р я ж е |
||||||||||||||
ний |
из условий равновесия малого |
элемента |
стержня . |
|
|
||||||||||
|
|
|
3. СИЛЫ И МОМЕНТЫ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ |
|
|
||||||||||
Из выражений дл я нормальных |
напряжений |
следует, |
что в- |
||||||||||||
пределах к а ж д о г о слоя они в зависимости |
от поперечной |
коор |
|||||||||||||
динаты |
изменяются |
по линейному |
закону. |
Это обстоятельство |
|||||||||||
позволяет введением |
послойных |
продольных |
сил Nu и |
изгибаю |
|||||||||||
щих |
моментов |
Ми исключить |
из дальнейших |
формул |
коорди |
||||||||||
нату |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назначим |
линии |
приведения |
д л я к а ж д о г о |
слоя. Д л я |
запол |
||||||||||
нителя естественно принять его центральную |
ось ( z = 0 ) . |
Для. |
|||||||||||||
несущих |
слоев удобны |
линии |
сопряжения |
их с |
заполнителем; |
( 2 = ± С ) .
Теперь получаем следующие продольные силы Nh и изгибаю щие моменты Mk (положительные направления сил и моментов, показаны на рис. 6).
* При вычислении нормальных напряжений для трехслойных пластин, ис пытывающих цилиндрический изгиб, в формулах (,1.19)—(1. 21) следует Ей з а менить на Eh/(l—Vir) (vj, — коэффициент Пуассона соответствующего слоя) .
12
|
Д л я |
первого |
несущего |
слоя |
( с ^ г ^ с + Лі) |
|
|
|
|
|||||||||
N,=b |
|
J |
\ а г = |
В У |
і ^ + |
КУі |
р з | - - ( ^ |
+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c+hi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du+ |
|
|
|
\ (1.23) |
|
Mx |
= |
b |
\ |
o1(z-c)dz^-cN1 |
|
+ Ky1t1^- |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / |
Ê L - ^ + a g ^ - " 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ÔU |
^ 1 1 |
3' |
dx°- |
|
|
|
|
||
|
Д л я |
заполнителя |
( — c ^ z ^ c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3 |
= |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
.) |
|
[o3dz=By™; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
—c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
öa |
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 |
= b |
\ o3zdz=Dy3t32 |
|
Ѳ - 1 |
|
|
(1.24) |
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
dx2 |
J |
I |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Q9=à=b |
' |
Gadz=Ghb(4a. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
Q3 — поперечная |
сила, |
|
воспринимаемая |
заполнителем. |
|||||||||||||
Д л я второго несущего слоя ( — с — / г г ^ г ^ — с ) |
|
|
|
|||||||||||||||
N2 |
= b |
j |
a2dz=By2^- |
— Ky2 |
. 3àx |
V |
2 П |
з ; |
<Элг2 . |
|
||||||||
|
|
|
—с—hi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M2 |
= b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
(1.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- c - ft . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з/3 j ^ - ( 4 / 2 + 3 / 3 ; |
^2вд |
"I |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ох |
|
|
|
ÔX2 |
J " |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Здесь введены |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
B=Ehb\ |
K = — Eh4\ |
£> = — |
Ѳ |
|
(1.26) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
( D — минимальная |
изгибная |
жесткость |
с т е р ж н я ) , |
при этом па |
||||||||||||||
раметр |
Ѳ пока |
ие определен. Введем |
д а л е е |
полную |
продольную |
|||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силу |
N' — ^ N k |
|
и, проводя |
суммирование |
в этом |
выражении . |
||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
âa_ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--12 |
— С13 дх2 |
|
|
(1.27) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Если вместо перемещения и ввести новое обобщенное переме щение V в соответствии с равенством
1 / / |
|
dw \ |
(1.28) |
|
|
|
|
то выражение дл я полной продольной |
силы примет вид |
|
|
N = В |
дѵ |
|
(1.29) |
|
дх |
|
|
Рис. 6. Внутренние усилия и моменты в поперечных се чениях стержня
Полный момент, вычисленный относительно средней линии заполнителя, равен
Кроме того, в дальнейшем понадобится некоторый новый момент Н, ие имеющий аналога в теории однородных стержней
14
и определяющий поперечный сдвиг в заполнителе, вследствие чего назовем его моментом сдвига
H = M3 + cN1 — cNi.
Вычисляя, найдем его в ы р а ж е н и е через перемещения
|
|
H— |
— c,nN4-Dy |
|
—1 |
|
|
. |
|
||
В предыдущих |
формулах |
были |
введены |
обозначения |
|
||||||
|
Ѳ — г 3 3 |
— З с і 3 ; |
|
У = |
(сі3~3с12гіа) |
Ѳ _ 1 ; |
|
|
|||
|
|
|
ft — 1 _ л > |
С23— Зсіосіз |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I |
C-22 — |
о 2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oCn |
|
|
|
||
где в свою очередь коэффициент Сц, имеет |
вид |
|
|
||||||||
см=к |
(Yi — Y2); ^ и = Y i ik+к)—Ys |
(к+к); |
|
|
|||||||
C 2 2 = 4 2 ( 3 Y I + 3 Y 2 + Y 3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 3 |
YA (к+к)+Зѵг^з |
|
(4 - г |
к)+Y3^32; |
|
|
|||||
Сзз = |
Yi W |
+ |
бѴз + |
3/3 |
2 ) + |
Y2 |
(4/3 2 + 6^8 + 3/3 |
2 ) + ѵ Л 8 - |
|||
В заключение |
отметим, |
что |
из |
в ы р а ж е н и я |
для |
M (1.30) |
|||||
м о ж н о не только найти значение параметра 6, |
определяющего |
||||||||||
минимальную |
изгибную |
жесткость |
стержня, но |
и |
положение |
оси изгиба. Из (1.30) следует, что последняя находится на рас стоянии
от средней линии заполнителя .
4. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ
Уравнения колебаний и одновременно граничные условия, соответствующие принятым кинематическим гипотезам, получим,
используя принцип Д а л а м б е р а , |
который д л я |
упругих |
систем |
||||
формулируется |
следующим |
образом: с у м м а р н а я .виртуальная |
|||||
работа внешних |
активных |
сил |
6Ae, |
внутренних |
сил |
упругости |
|
àA{ и сил инерции о/ равна нулю д л я всех обратимых |
виртуаль |
||||||
ных перемещений, совместных с заданными |
кинематическими |
||||||
условиями |
à(Ae+Ai |
+ J)=0. |
|
(1.36) |
|||
|
|
||||||
З а м е т и м , что введение у п р о щ а ю щ и х |
гипотез равносильно |
нало |
жению кинематических связей, поэтому виртуальные перемеще ния д о л ж н ы быть согласованы с ними.
15
И т а к, имеем трехслойный стержень длиной /, загруженный внешней поперечной нагрузкой q и внешними торцевыми усили ями нормальными bo и касательными Ьх с пнтенсивностями
во, то при х=0;
сг/, хі при х=1. |
|
|
(1.37) |
|
Мгновенное равновесие стержня |
обеспечивается |
внутренни |
||
ми н а п р я ж е н и я м и в слоях |
|
|
|
|
|
сг 1 ; оу, |
сгз", т ь Тг",Тз |
(1.38) |
|
и силами |
инерции. |
|
|
|
Д а д и м |
слоям виртуальные |
перемещения: |
|
|
нормальные |
|
|
|
|
|
ÔMJ ( — с — / і г ^ г ^ с |
+ Л-і) |
(1.39) |
|
|
|
и тангенциальные в форме (1. 16)
(Ъи + сЪа-гЪр- |
, |
( c < z < c + |
A1 ); |
дх |
|
|
(1.40) |
|
|
|
|
S« = ( & t i 4 - z & a —zB — |
; |
( — c < z < c ) ; |
|
Л -II |
|
|
|
8н — сЬа. — zb—, |
|
( — с — f t 2 |
< z < — с ) . |
В соответствии с виртуальными перемещениями виртуальные деформации в слоях будут
|
8 е г = 0 , |
— с —Л а < 2 < с + |
А1 ); |
(1.41) |
||||
дЬи |
1 с ^ а |
— % d4w |
, |
( ^ < 2 < с |
+ А |
1 ); |
||
дх |
|
дх |
|
дх°- |
|
|
|
|
дЬи |
, |
дЬа |
|
дЧт |
, |
( — с < г < с ) ; |
(1.42) |
|
дх |
•у |
дх |
— z |
дх2 |
||||
дЬи |
— с |
доа |
— z дЧш |
, |
( — С — Л а |
< 2 < |
— |
|
( дх |
дх |
|
дх* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О, |
( с < г < с + / г і ) ; |
|
|
||
|
|
|
8а, |
( — с < г < с ) ; |
|
(1.43) |
||
|
|
|
О, |
( — с — / 7 2 < z < — с). |
16
Теперь получаем виртуальную работу внутренних сил
|
|
|
|
|
I |
.С + ІН |
дои |
|
I |
дЪа |
|
|
д-Ъъа -, , |
, |
|
|||||
5 Л , . = — b |
|
dx |
|
|
|
Z |
|
|||||||||||||
|
|
|
'[дх |
|
|
|
С - |
|
— — |
I dz-f- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
дх? |
|
|
|
||
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
I |
С |
(дЪи , |
дЪа |
дЧгѵ |
|
\ , |
|
.С . |
, . |
|
|
||||||||
|
|
|
I |
|
С |
|
ІдЬи |
с |
дЪа |
д-bw |
\ |
, |
|
|
(1.44) |
|||||
|
|
|
4 - |
J |
а, |
|
|
дх |
z |
дх* |
I |
|
dz. |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
~\ дх |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
—с—hi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя |
вместо |
|
перемещения |
и обобщенное |
|
перемещение ѵ, |
||||||||||||||
согласно равенству (1.28) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
2 |
|
cb: |
|
|
|
|
|
(1.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
представим |
виртуальную |
раооту |
внутренних |
сил в -виде |
|
|||||||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
А і = |
|
\ [іх-ЬѴ |
+ |
Ы |
- |
Q |
r |
a |
+ l |
x |
T |
|
b |
™ \ d X - |
|
|
|||
Nov |
+ |
Ж |
у8а - |
daw |
+ |
(Y"1 |
H — M) yla |
|
дМ |
Зги |
л-=г |
|||||||||
- ^ - |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.46) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
= # |
|
|
|
hc^N^Dy |
|
|
Y |
д а |
|
d2w |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
— Ь дх |
|
дх°~ J |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.47) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д а |
д-w |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
. |
\ |
дх |
|
дх- |
|
|
|
|
|
|
|
Работ а внешних сил на виртуальных перемещениях |
запи |
|||||||||||||||||||
шется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bAe |
= ^qbwdx — |
Npbv |
+ |
M p ( y b a - ^ ^ |
Qpbw] |
- f |
||||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J.i'=0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Npbv-\-Mp |
|
|
(yba |
|
daw |
|
008ВУ |
|
• |
|
(Ь48) _ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"•-Ті--- |
.: •:. ; „ о ; с л я |