Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
п а р а м е т р Ѳ может быть записан в форме |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ѳ = |
ylt* + |
y2t* |
+ Y s |
t f + |
3 Y l |
[t, + / 3 |
- |
Yi Ci + h) -h Ya (4 + g ] 8 + |
|||||||||||||
|
|
|
|
- I - |
3va [4 + |
*3 |
+ Yi (4 + |
4) - |
Ya (4. + ^з)]2 |
+ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
3Y3lYi(fx + |
^ - Y a ^ + ^ ] a - |
|
|
(1-72) |
||||||||||
У м н о ж а я это выражение |
на Eli3bf 12 |
и переходя к |
модулям |
||||||||||||||||||
упругости материалов слоев, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ E2h2b |
|
h, - f - I _ / / 8 - | — L hc13J |
+ |
|
E3h3b |
-L //.V'3 . |
|
( 1. 73) |
||||||||||||
Теперь |
видно, что D есть |
нзгпбная |
жесткость стержня, |
|
вычис |
||||||||||||||||
л е н н а я |
относительно оси, отстоящей па расстоянии |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
е 0 = 4 - A |
f " |
= |
T |
|
A [Vi ft + |
*3 ) - Y2 |
& + *3)1 |
|
( 1 • 74) |
||||||||
от средней |
линии |
заполнителя, — линии |
приведения дл я |
полной |
|||||||||||||||||
продольной |
|
силы |
N. Именно |
|
относительно этой линии |
пзгпбная |
|||||||||||||||
жесткость стержня является наименьшей. В последнем |
легко |
||||||||||||||||||||
убедиться, |
приравнивая |
нулю |
|
производную от D по Сіз и перехо |
|||||||||||||||||
д я к |
безразмерным |
п а р а м е т р а м уи, 4; |
в результате дл я с ] 3 по |
||||||||||||||||||
лучится выражение (1. 74). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Наиболее простая форма записи для Ѳ такова: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ѳ = V ( 3 - 2 Ѵ з ) + |
6/3 |
(уА + |
|
у 2 У + 4 (YA2 + |
Ya'a') - |
Зг?8 . |
|
(1.75) |
||||||||||||
Д л я |
стержня симметричной |
структуры |
|
( л і = г ] 2 , ti—k) |
|
в ы р а ж е |
|||||||||||||||
нию |
(1.75) |
можно придать вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ = *,* + ( 1 - ѵ 3 ) ( 1 + * з ) . |
|
|
|
(1-76) |
||||||||||
И з |
этого |
равенства |
легко |
|
получаем |
|
границы |
изменения Ѳ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
І ^ Ѳ ^ З . |
|
|
|
|
|
|
|
(1.77) |
|||||
Верхняя |
|
граница |
достигается для стержня, у которого несу |
||||||||||||||||||
щ и е |
слон |
не сопротивляются |
изгибу, |
|
а |
заполнитель — про |
|||||||||||||||
дольным |
н а п р я ж е н и я м |
|
( |
|
|
=Y 2 =1/2 |
|
(/"1 = 4 = 0, |
у 3 = 0, |
/ з = 1 ) ' . |
|||||||||||
н и ж н я я граница |
реализуется |
|
для однородного стержня |
( y i = Y 2 ~ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Y I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0, /, = 4 = 0, ѵ з = 1 , / з = 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отметим, |
что Ѳ наибольших значений достигает для стерж |
||||||||||||||||||||
ней |
симметричной |
структуры, |
что согласуется с |
интуитивным |
|||||||||||||||||
представлением |
о характере |
работы |
трехслойного |
стержня при |
|||||||||||||||||
поперечном |
изгибе, однако не всегда |
вопросы жесткости |
имеют |
||||||||||||||||||
решающее |
значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
П е р е й д ем к рассмотрению параметра ft
ft_Vl'l2 |
+ У2^22 |
, |
Зуз 4уіу 2 |
(^2 - <,f2 + |
+ уз ( Y l f t a + |
у ^ ) |
|
Ѳ |
^ |
Ѳ |
12YVY2+ Y 3 |
( 4 - 3 y 3 ) |
' |
Если заполнитель считать легким ( у з = 0 ) , то параметр |
ft ра |
|
вен отношению суммы собственных изгибных жесткостей несущих |
||
слоев к полной изгнбной жесткости стержня |
|
|
12D |
ѵ |
7 |
Но при узфО в (1.78) имеется второе слагаемое, |
обусловлен |
|
ное тем, что заполнитель сопротивляется продольным |
д е ф о р м а ц и |
ям. Обычно Y3<^Yb У2 и второе слагаемое мало по сравнению с первым, поэтому можно считать, что ft характеризует собствен ную изгибную жесткость несущих слоев. В частности дл я несу
щих с л о е в — мембран (^ = ^ = 0 ) из |
(1.78) |
имеем |
^ = 0. |
|
Теоретически пределы изменения |
п а р а м е т р а ft |
весьма |
широ |
|
ки |
|
|
|
|
0 < « < 1 . |
|
|
(1.80) |
|
Верхняя граница -0 = 1 достигается, когда |
трехслойный |
стер |
жень вырождается в однослойный, состоящий из одного несу
щего слоя, например, первого |
|
(у2 = Уз = 0; 4 = ^ з = 0; y: = ti = |
l). |
||||||||||
Д л я |
стержней |
симметричной |
по толщине |
структуры |
|
форму |
|||||||
ле (1. 78) можно придать вид (у\=у2, |
t\ = |
t2) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ъ = № ( 1 |
+ _ * Ь _ \ |
|
|
|
( 1 . 8 1 ) |
|||||
в случае легкого |
заполнителя |
|
(\ч = |
Ѵ2=1/2; |
уз = 0) она |
сущест |
|||||||
венно упрощается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
8 |
= т т ^ - |
|
|
|
|
< ' - 8 2 > |
||||
Отсюда |
|
|
0 < t f s £ 0 , 2 5 ; |
|
|
|
|
|
(1.83) |
||||
практически |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ü < 0 , 1 , |
|
|
|
|
|
(1.84) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
это обстоятельство, позволяет в |
ряде |
случаев |
полагать, |
не т е р я я |
|||||||||
точности, ft=0 |
и производить |
расчет |
по |
более |
простым |
|
форму |
||||||
л а м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П а р а м е т р у имеет пределы |
изменения |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 < у < 1 , |
|
|
|
|
|
(1.85) |
|||
причем у—0, когда отсутствует |
заполнитель |
(уз = ^з = 0), |
и |
у=1, |
|||||||||
когда несущие слои суть мембраны |
(t\ = 4 = 0 ; |
iî> = 0). |
В ы р а ж е |
||||||||||
ние дл я параметра |
у таково: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y _ |
Ѵз<я2 + |
Зуз^з [Ѵі*і + |
\2h + |
(Vi + V2) h] + б у ^ з (1 + t3) |
|
^ |
щ |
23
в случае |
стержней |
симметричной |
структуры |
(y,i = Y2; |
U — ti) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 / 3 з + ( 1 - у з ) ta(3 + ta) |
|
|
|
|
п |
|
8 7 |
||||||
|
|
|
|
|
3*32 + 2 ( 1 - у 3 ) ( 1 - М з ) ' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П а р а м е т р |
у равен отношению поперечной силы, |
.воспринимае |
||||||||||||||||
мой заполнителем, к полной поперечной силе |
(QdQ)- |
|
|
|
||||||||||||||
Как будет видно из дальнейшего, |
в з а д а ч а х |
поперечного из |
||||||||||||||||
гиба и устойчивости стержня параметр у в явном виде |
не фи |
|||||||||||||||||
гурирует, |
однако он появляется при определении |
сдвигающих |
||||||||||||||||
напряжений . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д л я ориентировки в порядках |
введенных |
параметров |
|
приве |
||||||||||||||
дем |
их |
значения |
для |
конкретного |
случая |
71 = 0,6; |
Y2 = 0,3; |
|||||||||||
Ѵз = 0,1; |
Л = 0,2; |
/ 2 |
= 0,1; |
/ 3 |
= 0,7; |
с 1 3 = 0 , 3 0 ; Ѳ = 1,840; у = |
0,8150; |
|||||||||||
іЭ=0,0163. И з |
приведенного |
примера |
видно, |
что |
|
д а ж е для |
||||||||||||
стержня |
с |
достаточно |
мощными |
несущими |
слоями |
|
вели |
|||||||||||
чина |
параметра |
Ф весьма |
мала . |
Тем |
не менее |
было |
бы |
гру |
||||||||||
бой |
ошибкой |
рассматривать |
|
только |
упрощенную |
теорию, |
поло |
|||||||||||
ж и в |
іЭ = |
0. Д е л о |
в том, что п а р а м е т р |
(!• фигурирует |
при старших |
|||||||||||||
производных, поэтому, полагая О'-^О, |
мы приходим к |
|
качествен |
|||||||||||||||
но новой |
задаче, что ,в свою очередь может привести к качествен |
|||||||||||||||||
но отличным |
результатам . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Д л я полной формулировки |
задачи о деформациях |
трехслойно |
||||||||||||||||
го стержня необходимо к уравнениям |
равновесия |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d ' v |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.88) |
||
|
|
|
|
|
|
dA-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D \ |
ß rfA-2 / |
rf.v1 |
' |
|
|
|
|
K |
|
' |
||||
присоединить граничные |
условия, |
о т р а ж а ю щ и е |
влияние |
закреп |
||||||||||||||
ления краев |
стержня и действия |
краевых нагрузок. |
Но |
прежде |
чем переходить к конкретизации краевых условий, остановимся на
вопросе определения |
соответствия м е ж д у кинематическими |
и си |
||||||
л о в ы м и |
факторами . Этот вопрос просто и однозначно |
решается |
||||||
д л я перемещений ѵ(х) и w(x). |
Непосредственно из внеинтеграль- |
|||||||
ных слагаемых |
равенства (1. 46) |
|
|
|
||||
' bvN+M |
(у8а-—) |
- f ( ѵ - 1 H - M) yba + — 8 w |
* ~ l |
|
(1.90) |
|||
|
|
\ |
dx |
I |
dx |
-ï-0 |
|
|
следует, |
что на перемещении |
ôo совершает работу |
полная |
про |
||||
дольная |
сила N, а на перемещении öm> — п о л н а я поперечная |
сила |
||||||
Q = dM[dx. |
С л о ж н е е |
обстоит |
дело с угловыми перемещениями ôa |
|||||
и dbwjdx, |
здесь соответствие |
зависит от выбора двух |
независи |
|||||
мых базисных |
факторов . |
|
|
|
|
24
По причинам, которые легко помять, в качестве исходных фак торов нами были приняты полный момент M и угол ау, пропорци ональный углу сдвига, после чего внепнтегралыіые с л а г а е м ы е виртуальной работы внутренних сил (1-46) однозначно опреде лили соответствие между моментами и углами
|
|
M • |
|
|
|
dw |
|
|
|
|
• ш — уа —dx |
|
(1.91) |
||||
|
|
ay *-*S = |
y-iH — M, |
|
||||
при этом законы связи между |
|
кинематическими и силовыми |
||||||
факторами приобрели вид |
|
|
|
|
|
|
||
M = |
D |
dv |
. о |
|
D- |
Ь |
d (ay) |
11-92) |
dx |
S = |
|
b d x |
|||||
|
|
|
|
\ — |
|
|||
Потенциальная энергия |
деформации |
|
|
|||||
|
|
|
П = |
f |
Ldx, |
|
|
;i.93) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
dx |
|
dx- |
(1.94) |
|
|
|
|
|
записывается в виде квадратичной формы, приведенной к глав ным осям,
|
|
|
|
D |
df |
у . |
ft |
(day ' |
|
|
|
(Y a ) |
|||
|
[dx |
) |
|
dx) |
' \ — $[dx |
J |
|
Л 2 |
( 1 _ 8 ) ' |
||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.95) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = _ L |
j v 2 - ) - — М 2 - |
1 — і |
|
|
|
|
|
|
. |
(1.96) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 ß |
|
|
2£> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из этих |
выражений |
плотности |
потенциальной |
|
энергии |
||||||||||
деформации, получаем |
формулы Л а г р а н ж а |
|
|
|
|
|
|||||||||
dL |
|
|
|
dL |
|
|
|
dL |
-S; |
|
dL |
-y-'Qs |
(1.97) |
||
1 dv |
|
|
|
dj_\ |
|
|
|
|
à (ay) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 [dx |
) |
|
" |
[dx |
j |
|
\ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
и формулы Кастилияно в теории |
трехслойных стержней |
||||||||||||||
|
dL |
dv |
|
dL |
|
d<p |
dL |
|
daf |
|
dL |
:ay. |
|
(1.98) |
|
|
âN |
dx |
|
àM |
|
dx |
âS |
' |
dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Причина |
выбора |
в |
качестве |
обобщенного |
перемещения |
величи |
|||||||||
ны ау, a |
не просто |
а |
и соответственно |
y~lQ3, |
a |
не Q3 состоит в |
25
т о м, что выбранные величины в своих выражениях через функ цию перемещений % не содержат п а р а м е т р а у
ау —
8 4л-2/ d.v '
(1.99)
8
ÏW = i l
Л2 rf2 S rfx2
Таким образом, выбором обобщенных перемещений и соот ветствующих им силовых факторов удалось исключить один из
параметров . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поставим теперь граничные условия дл я ряда |
случаев |
за |
|||||||||||
крепления стержня . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н а и б о л е е общими |
линейными |
граничными |
условиями |
для |
|||||||||
уравнения (1.88) будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ehb |
dv |
|
-ii0v |
|
при |
x=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 . 100) |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ehb |
|
— ntv |
при |
x = l. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
« o ^ O ; rii^O |
— жесткости |
упругих |
связей, |
препятст |
||||||||
вующих |
продольному |
перемещению соответственно |
левого и |
||||||||||
правого торнов. Условия (1 . 100) вытекают из равенства |
N— |
||||||||||||
—Wp = 0, где сила Np |
считается |
положительной, если она направ |
|||||||||||
лена от торца. Д а в а я |
|
положительное |
перемещение (вправо) |
||||||||||
левому торцу, получаем положительное реактивное |
усилие, |
рас |
|||||||||||
т я г и в а ю щ е е |
стержень, |
|
No = nav>0, |
и, |
напротив, |
положительное |
|||||||
перемещение |
(вправо) |
|
правого торца вызывает реактивную си |
||||||||||
лу, с ж и м а ю щ у ю стержень, Ni=—щѵ. |
Этим |
объясняется разли |
|||||||||||
чие в з н а к а х краевых условий |
(1. 100). |
|
|
|
|
|
|||||||
Когда |
жесткость |
связи |
равна |
нулю, т. е. торец |
свободен, |
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv-=0, |
или 7 Ѵ = 0 . |
|
|
(1.101) |
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26