Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

З д е сь

через Np,

Мр,

Qp

обозначены

внешние силы

и момен­

ты, приложенные

к торцам

стержня,

с+/»,

с +

Л,

N

P

=

b

j

.°pdz;

г - / г а

(1.49)

А/ p = ô

—С—fta

j

z o p r f « — - h c w N p ,

C + fti

—с—Ht

при л:=0

(Тр =

сго; при

я = /

а р

= 0;.

Виртуальная работа сил инерции равна (обозначения приве­

дены в конце

раздела)

8 / =

— ^

dx\bv

dß

dß

о

-К*

{с*-с

J(9x 0^2

AT*

(c]o—

r 1 2 ) <92ü(9/2

- f D*Y*

7*

<92a

Ô^ÎO

ОТІУ

AT* ( о з — f i 3

)

Ô3u

1

—Э* ~ôÏ2~

дГдх

dt°-

(9л- dt2

дхі dß

!

• 8 « ;

•К(с*з—

Г ц )0/2

•D* Y

(9/2

d/2 ,

x-l

(1.50)

,ѵ=0

П р и р а в н и в а я

нулю

сумму

выражений

(1.46), (1.48),

(1.50), а

в ней приравнивая нулю множители при вариациях

независи­

мых перемещений,

приходим к

уравнениям

колебании

Если на торце

имеются такие

связи,

что справедлива

неко­

т о р а я совокупность

из группы четырех

равенств

5 и = 0 ;

уЬа-

дЬг

-0;

\оа

=

0;

aw = 0,

(1.55)

дх

то эти ж е

равенства д о л ж н ы

иметь место

и д л я истинных

пере­

мещений,

так как,

з а д а в а я виртуальные

перемещения,

мы не

указанная

совокупность из группы

равенств

и =

0:

va —

-—0;

уа =

0;

w--

= 0

(1.56)

дх

заменяет

соответствующее

граничное

условие из группы

(1.54),

H в любом случае имеем четыре

граничных

усло.вия на

к а ж д о м

из торцов

стержня . Граничные условия, соответствующие

(1.56),

называются кинематическими краевыми условиями.

Н и ж е

приводятся выражения

параметров,

введенных при

вычислении

виртуальной работы сил инерции,

Qh.4

Ѳ*;

1

12

Ѳ* = <?зз — 6г1 3 Гіз + ЗгІ3 ;

(1.57)

Y* = ( < 3 - 3 f i 2 f і з - 3fM c*3 - j - З е ц г ц ) Ѳ - 1 :

ft<.

,

« с о 3 — Зс*,Сіз— ЗСі2 Сіз

+ Зс 1 2 с 1 3

9 - = 1 - у

5

<2='s

( yî -

y:)

;

< з = y ;

( Л + 1 3 )

-

УІ

&

+ * з

) ;

^ 2 = ' 8 2 ( 3 Y

; + 3 y ; + y ; ) ;

(1.58)

+ З у 2 Ш Н М 3 Ж ' & 2 ;

< 3 = y ;

+ 6 / A + з / 3 2 ) + Y : ( 4 / 2

2 + 6 / ^ + з ^ з

2 ) + y %

3"3

Д л я статического загружения

стержня

уравнения движения

(1.51) — (1.53),

полученные

в предыдущей

главе, теряют дина­

мические члены

и п р е в р а щ а ю т с я

в уравнения равновесия

^

= 0;

(1.59)

dx

dH - Q 3 = 0;

(1.60)

dx

dVA

d.v-2 " -g=Q.

; i . 6 i )

Эти уравнения не представляют собой полной системы, по­

скольку

содержат

четыре неизвестных функции

N,

H,

M, Qz.

Однако

эти

функции

не независимы,

так

как они

выражен ы

посредством соотношений (1.24),

(1.29)

и (1.47)

через три

функции

перемещений

ѵ,

а, ш. Д л я з а м ы к а н и я системы

нужно

либо присоединить

к

ней

уравнение

совместности

моментов H

и М, либо записать ее в перемещениях.

В данной

з а д а ч е

последний путь

предпочтительнее

в силу

носительно

перемещений.

Переходя

в уравнениях

равновесия к перемещениям,

имеем

dïv =

0;

(1.62)

dfi

Dt

d-a

,,

•ft)

d3w

•(1 —&)ОЛ/З уа = 0;

(1.63)

Y - T 7 -

I"

dx3

dx-

D

Y tf3a

«Я-». I + q = 0.

1.64)

dx*

dx-\

Таким

образом,

система

уравнений равновесия

распалась

на две независимые системы, на

уравнение относительно

ѵ и

систему уравнений относительно функций ау и w.

Последние

уравнения

удобно

свести

к одному р а з р е ш а ю щ е м у

уравнению,

w

=

1-

S dx*

(1.65)

af3x

a Y

= - ( l

ß

dx*

и подбирая п а р а м е т р

ß

так,

чтобы

уравнение (1.63) тождест­

венно удовлетворялось

0 _

120*з(1 — »)

(1.66)

Е\2

Вводя (1.65) в (1.64),

приходим

к уравнению относительно

функции перемещений %(х)

D

1 -

Л.

(1.67)

dx* dx*

оно описывает

поперечный

изгиб

трехслойного

стержня .

По­

скольку

через

функцию

% в ы р а ж а ю т с я

перемещения,

а

следова­

тельно,

моменты

и поперечные силы, будем называть

уравнение

(1. 67) р а з р е ш а ю щ и м

уравнением .

Угол поворота і|з нормали в заполнителе, моменты и попереч­

ные силы через функцию перемещений

% в ы р а ж а ю т с я

так: '

<і = а —

dw

/г2 I _ Y — ;

d-2

dx =

- 1 + 4 -

dxn-

dx

H-.

— Dy——

dx*

M--

-D(l

_9Л2

d?_

d4

( І . 6 8 )

S

dxt

dx*

dH

Q 3 =

—

=-Dy^L

dx

dx5

Q=

dM

D

JUL

d^i

dx

dx°- dx*

Теперь

легко

получаем

условие

совместности

моментов

M и Я

H-

d2H

-.уA4,

; і . 6 9 )

dx*

которое будет использовано

в § 9.

6.

ПАРАМЕТРЫ

В р а з р е ш а ю щ е м

уравнении (1.67)

и

соотношениях

(1.65),

(1.68) естественным образом выделились

три безразмерных па­

раметра

Ѳ,

ß;

у,

полностью х а р а к т е р и з у ю щ и е

структуру

трех­

слойного стержня

с точки зрения

его сопротивления изгибу. Д а ­

П а р а м е т р Ѳ, входящий в в ы р а ж е н и е для изгибной

жесткости

стержня

12

К

:Ekllk

УЕЛ

= м - 1

(1.71)