Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

3.

КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА

ПРИ ВНЕШНЕМ

РАВНОМЕРНОМ

ВСЕСТОРОННЕМ

ДАВЛЕНИИ

З д е сь дадим формулу

дл я определения критической

нагруз­

ки тонкой упругой круговой прямой

трехслойной

конической

оболочки при внешнем равномерном

всестороннем

давлении q

[14, 15]. При этом удельные

усилия

безмоментного

состояния

равны

№ --

-qr ig a;

/ Ѵ 2 0 , = ~qr

ig а; №п =

0.

(8. 19)

Представим функции w, %, F в форме

w=w0e3^x

sin ях cos /іср;

Х = Х 0 е

sin лх cos щ\

(8. 20)

F = F0e^x

sjn ял: cos

щ.

рания

оболочки по

торцам: ш = 0 при х = 0 и х=\ и в

пределе

(£ ->0) соответствует

точному

решению

дл я трехслойного кру­

гового

цилиндра .

Вариационные

уравнения

задачи

в

форме Бубнова

имеют

вид

(8.21)

(

A 2

(8. 22)

1

Я

+ лС

- — 2 л К 2

- ^ —

w

bwe2^xdx=0,

(8.23)

dx

s i n 2

a

где

Vn20-

--7.KX

d2()

пЧ2л2

\ .

(Ыгх)2

V dx2

s i n 2 a / '

(8.24)

ѵ Д ) = -

c t g a u № - C ^ .

7

1 — е4т'к

1 2 , 2 5 С 2 + 1

X

Г

= 2X2

! _ е 7 ^ с

2М—

1 2 , 5 с 2 — 1

X

cos

а

X

- І _

—

— е

(1

+

16Ç2)(;M— 9 С2)

1

3

X

2

1

е'

1 +

9,Г2

1 —

X

( M

— Ç2) (У ц

_

QÇ2) +

іб;2

( м — з ; 2 ) —

і2-;г

1 +

4:2

2ЭХ-

1 —

е2тіс

(M

— 3;2)

[(M — Ç2 )2 +

4Ç2]

X2

J _

е 4,С

1 +

С2

I 2

g й

cos

3

а

1 - ef e <

— -

—

и?\

3

1 _

е 4 - с

(M —

16С2 ) (Л'1 —

4С2 ) + 36С2

(Al — 8С2 ) — 32С2

(8.

25)

Здесь

s i n 2

а

1

я 2

ß £ 2

12^2(1 _ Ѵ 2 )

_

^

_

qRz

(8.

26)

Л2Ѳл4

;

<7

£>я2

Переход

к цилиндрической

оболочке

осуществляется,

когда

а — 0 ;

; _ 0 ;

/ . - . — .

R

Д л я

оболочки, у

которой

параметр

£ 2 ^ 1 , формула

(8.25)

мо­

жет быть записана

так:

12,25

+

т)2

_3

9 4- -ц2

2Xj2

2

УИІ — Ï]

—

12,5

1

+

k_

(My

+ "Л2)

X

2

4

+

9) (16

X

(Afi — 1) (Mi — 9)

4-

16 (Л)! —

3) — 12-г]2

+

4

4- I 2

X ,

[(УѴІ

+

2й/г

(yWJ —

3)

! —

1 ) 2 4-

4-/j2]

2

1+712

(9

+

т)2) cos,3

а

(8.27)

3

(Af! — 16)

(/Иі —

4)

+

36 (/И,

— 8) — 32т]2

1

причем

я 2

(8.

28)

q*

Н а рис. 29—33 приведены графики

зависимости

п а р а м е т р а

критического

всестороннего давления от п а р а м е т р а сдвига

д л я

конической

оболочки

с наклоном

образующей

под углом

а = 5, 25, 45, 75° для ряда

комбинаций

параметров #

и £.

О 0,1 0,2 0,3 Ofi 0,50,60,70,8 0,9/<

о

4/

0,2 0,3 Ofi 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 к

Рис. 32. Зависимость

парамет-

Рис. 33.

Зависимость

парамет­

ра Ц* критического

всесторон-

ра

<7*

критического

всесторон­

него

давления

от

параметра

него

давления

от

параметра

сдвига k для круговой коннче-

сдвига

k для круговой

кониче­

ской

оболочки

при а = 4 5 ° ; û =

ской

оболочки

при

а = 7 5 ° ;

=0,05; |=0, 8

#=0,05;

£ = 0 , 6

4. СВОБОДНЫЕ

ПОПЕРЕЧНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

Система уравнений

малых

собственных поперечных колеба­

ний трехслойной конической оболочки

такова:

Vss

^ ^ ^ c t

g «

Ü

\M

_ i l ѵ з ^х ;

( 8 . 2 9 )

г

дг2

ß У

D h - ^ ) ^ +

^ J

£

+ t

k

£

t

i - f

v - )ï - 0 ; (8.30)

(8.31)

(все обозначения

остались

п р е ж н и м и ) .

•ay =

te;0 e'a > / + 3 C 'r -t 'sin

тхп cos щ\

j

Х = Х 0 е 'ш/+зс-.ѵ s j n

irizix cos /гср:

(8- 32)

/ r =

/7 0 e'ü > '+ 4 c 'I -l 'sinm.ujc cos дер. J

r = r1eItC-1'; С = — 1п- г ° ; 0 < л - < 1.

(8.33)

(8.34)

л 2

„ -Л

<

bxe^dx

= 0;

(8. 35)

у

ѵ

ф -

It D

l

S Л2

а г 2 х с . ѵ д г х = = 0

,

(8.36)

5 д

где,

как и ранее,

ѵ Л ) =

,-2-Сл-

rf2()

П 2 ^ 2 Я 2

(С ЯГ,)2

\

rfx2

(8.

37)

»-3C-.V

ѵ Д ) =

(Сягі)з

\

dx2

Провод я интегрирование, приходим к следующей

форме

для

определения

частот

собственных

колебаний

конической

трех­

слойной оболочки:

_2_ 1_-

,4я -С

Ш

2

+ 16 С

2

„*2 .

е '-

X

Х4

,

А

4

1

(Л4 +

9Ç2) ( И 2 _і_

16^2)

1+

т?тт

/л2 + %2

X

(Л-1 — 9Ç2) (/Vi — Ç2)+

J6Ç2 (Д4 _ 3С 2) _

12С2/Д2

m 2 +

4Ç2

1 — е 2 с "

2*8

( М — 2 і 2 ) [(М — К2)2

+

4тК2}

1 _ е 4 ^

* 2

m2 + Ç2

- ( - [ A 2 cos2

a

1

_

о 6 ^

А

(m2

+ 9Ç2)

{т2

+ 161?)

1 — е8

3

(М — 16Ç2) ( М _

4£2) _

32С2да2 + 36С2(.<И — 8Ç2 )

(8.33)