Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

где

'г, -

коэффициент вязкости жадкооти;

а с

X, и -

);

х 0

-

проницаемость

среды в начальном состоянии.

Суммируя

равнения

в

(.1.21), получим уравнение

движения

всей

среды в

целом:

ага,-

а

Ку

О.

(1.22)

a t

а X ,

Будем предполагать,

что деформации скелета пористой срѳ-

ды

можно разбить на два слагаемых:

/

/•

/

/a £ t

aéj \

f

&іГ

6Ч * 6 < / ;

г * і ' ’

где

S£ . - деформация,

обусловленная действием фиктивных на­

пряжений

G...

, т .ѳ . взаимными смещениями

частиц и их сжатием

из-за контактных сил;

<5^.- деформация,вызываемая давлением

в жидкой фазе;

~ смещение

скелета

орѳды (

).

Предположим, что скелет среды является упругим,

гогда

фиктивные напряжения в изотропной пористой среде оказываются

связанными с полными деформациями согласно обобщенному закон;

Гука:

б £

- ( ' - ” > )(*, *

+г л * е ѵ ) *‘

(1.23)

+ éJ3 ,

где

(1 - т в)

-At

и (I

-

т 0)

-

первый и второй коэф­

фициенты Ламэ; (I - т 0)

z

= A f

(I - т ,)

+ 2.^(1 - т ѵ)/Ъ -

«?О;

&6

(1.24)

так как

âa:i

~

â i

Система уравнений (1 .20),

(1 .23),

(1.24) будет замкнута,если

дополнить ее уравнениями

совместности деформаций <5,у Сен-

Вѳнана.

Полученная система уравнений полностью описывает движе­

ние двухфазной среды.

А

и Лл характеризуют

Можно показать, что параметры

переупаковку частиц.

Соотношение ß ,

X

является механической

ких" горных пород j3f x<Li. Чем ближе f i y

* к единице, тег

труднее происходит переупаковка частиц,

тем жестче они связа­

ны друг

с другом. Пористая

среда, для

которой выполняется

услови '

f i X (I - т ) = I ,

называется

идеально сцементирован­

ных породах (глубинных) соотношение f i x

обычно не выше 0,5.'

Рассмотрим распространение бегущих волн в предполагаемой

модели пористой среды.

и жидкости S по­

Введем для смещений твердой ерьды

^

тенциалы продольного смещения соответственно

,Уг и в0КТОР”

ныѳ потенциалы поперечного сдвига

^

, такие, что

После

подстановки

выражений (1.25) в систему уравнений

(1.20), (1

.23), (1.24)

можно получить следующие уравнения, ре­

-Л’Ц І - £, " .

і ' У *

= ° ;

Гp °

—р 0-£-%л-— £ АП .

\ a t

a t

/_

я 2

^

rt

■'•

(1 .27)

f t

эa іt г2

jf ~Tz aT t *

a 0 '

ГДѲ

f * a t * *

° (

• ) ( a i

a t

/

•

(1.28)

r = (O t, + 2 Лл ) ~ '.

Уравнения (1.26) описывают распространение

в пористой

среде продольных волн, а уравнения (1.27) - распространение

поперечных волн.

Распространение продольных волн в наоыщѳнной пористой

среде. Ограничимся рассмотрение»« плоских волн. Исходя из это­

го,

решения

системы (1.26)

ищем в виде

y~ A e x p i(co t-A p x ) ;

У >~Вехр i(eü â -A ■х ); р = Р е х р с ( a t

Арх )

.

результате

подстановки

решений (1.29)

(1.29)

в систему (1.26)

можно получить систему однородных уравнений

относительно А ,

В ,

Р . Приравнивая определитель данной системы нулю,

полу­

чаем дисперсионное

уравнение:

•

V

г

(*-

л

' аг )]+

f *

, - f

Л ,

Г

*

f

' f z

» f

г

- Г * Г '7, (1.30)

где

( x ’ r '

t ,

f

2°*” <,);

Ло /

;

^ =

-а-

а

и)

Y

s f

'

2

(*> r >ß

t f * ,

(

x f t , J h ,ß f

7 f i

i rne ) i

Ту ( * , f t ,

f z t f t f f z

t m o).

Параметр*; определяет фильтрационные овойства среды. Выра­

жения для функций

Q ,, <?г ,

t?/t

R 2

можно найти в работе / з /

Дисперсионное уравнение (1.30; позволяет найти связь

между частотой колебаний в продольной волне и скоростью ее

распространения в изотропных однородных пористых (двухфазных)

средах.

Для большинства

осадочных пород

(включая грунты)

величи­

ны

ииѳют порядок един :цы, тогда как величи­

на

• Причем,

чем меньше

уплотнена

порода,

тем

Для "мягких"

сред уЗ^гг

«

/

,

, поэтому ь урав­

нении (1.30) можно пренебречь величинами

и у 3, ^ ' ^

по сравнению с единицей.

Г результате

этого (1.30)

примет

вид

( І .з і )

Корни уравнения ( І .З І ) ,

определяющие волновые

числа про­

дольных плоских волн, находятся

из

следующих выражений:

т ~ J J

т

~£Ң ~"f^

І,32)

После вычисления радикала

получим

Рассмотрим волны первого рода,

которым соответствует

вѳрх-

ни.. знак в (1.32).

-

„

„

„

Л *, &ха, ,

Л * '- *£ Г

Г

у + і

Вычисляя радикал в правой части этого выражения, можно полу­

чить для волны, бегущей в

положительном направлении оси гс

,

K-\lf-wm 7(\IWx:

*х.

,

(I. ,„

- 1Ѵ/(к;

где использовано неравенство Л ^> /Р ,

(так как/>+> уз> ).

В частном случае приу?, - />z

,

JPy

= J?z

волны первого

рода незатухающие.

Для волн первого рода

можно записать

/га

Л а Т > о ,

( Л . )

*= J -

- I

.

(1.35)

I

'и )

с о>

На основании

(1.34)

и (1.30)

можно получить

І

Л

Л

\

4 +

'

( І .Зб)

где

Cf

~ VF |/(

у + ъ*

/

У*КЯ

j 3 = ( s

~

m

,

) A

; /

>о = ( / - т ) А ° + гпо / >* ■

величина f = соуз а 0

О

, тогда

в пределе при ^ •

С( . І

(а А )

В случае очень больших частот или же при малом фильтра­

ционном сопротивлении

среды (

£

- —=) получено следующее

предельное значение скорости

волны:

%

(1.38)

V yF p i,

Гос. г