Файл: Шичков А.Н. Температурный режим листопрокатных валков.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
условие периодичности — |
|
|
0 (рі ф, Fo) = 0 [р, (ф + 2kn), Fo], |
‘ |
(1.5) |
где k = 0, 1, 2, 3------
Таким образом, мы сформулировали математическую постановку задачи. Дифференциальное уравнение (1.2) с условиями однознач ности дает возможность получить единственное решение, описы вающее радиальное нестационарное температурное поле вращаю щегося валка листопрокатного стана или ролика УНРС.
С тем, чтобы исключить в уравнении (1.2) координату ср, решение его будем искать в виде тригонометрического ряда Фурье. Такой прием был предложен Г. А. Гринбергом [18]:
|
1 |
то |
Fo) cos (шр) + |
|
|
Ѳ(р, cp, Fo) = — Л0(р, Fo)4- 2 А п (р, |
|
||||
|
г |
п= 1 |
|
|
|
|
+ ß„(p, Fо) sin (шр), |
|
(1.6) |
||
где А о (р, Fo), Ап (р, |
Fo) |
и Вп (р, |
Fo) — коэффициенты функции |
||
ряда Фурье, т. е. |
|
|
|
|
|
А 0(р, Fo) = |
- і- |
J Ѳ(р, ф, |
F o )^ = |
20(p, Fo). |
(1.7) |
|
|
— Я |
|
|
|
Здесь выражение для 0 (р, Fo) есть не что иное, как среднеин тегральная по углу ф функция, описывающая нестационарное ра диальное температурное поле, которое впредь мы будем называть
осесимметричной составляющей температурного поля валка; а
сумму с коэффициентами
1я
Ап (р, Fo) = — I Ѳ(р, ф, Fo) cos (шр) гіф,
—Л
\я
в п (Р , Fo) = — j' Ѳ(р, ф, Fo) sin (n, ф) d(f
—я
— неосесимметричной составляющей этого поля.
При нахождении решения в виде тригонометрического ряда
Фурье необходимо |
начальные и |
граничные условия |
представить |
||
в виде такого же ряда. |
|
|
|
|
|
Граничные условия (1.4) на внешней поверхности будут иметь |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
0 (1, Ф , Fo) = Ѳ(ф) І |
pdFo = |
0,5а0 (Fo) + |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
+ 2 |
а* (Fo) cos (ncP) + bn (Fo) sin (ПФ) • |
|
(1.8) |
||
п—1 |
|
|
|
|
|
где а0 (Fo) = |
é pdFo - L J |
0 (Ф) |
= 2Ѳе1'pdFo = |
20, |
(1.9) |
15
откуда 0 = const, т. е. а0 (Fo) |
с физической точки зрения |
есть |
||||
среднеинтегральная по ср температура на поверхности, а |
|
|||||
|
ап (Fo) = é pdF° - L j |
0 (q>) cos (mp) dtp = Nné pdFo |
(1.10) |
|||
|
|
— Я |
|
|
|
|
|
и ön(Fo) = |
e‘' pdFo^ |
J |
Ѳ(ф) sin (пф) dcp = M né pdFo. |
(1.11) |
|
|
|
|
—Jt |
|
|
|
Граничные условия на внутренней поверхности: 0 (рх, cp, |
Fo) = |
|||||
— 0! |
= const. Следовательно, согласно (1.9), (ПО) и (1.11) |
|
||||
|
МРі> Fo) = 201; |
ап(рх, Fo) = |
&„(px, Fo) = 0. |
|
||
Начальное условие (1.3): |
Ѳ0 = const. Аналогично предыдущему |
|||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
а0(р, |
0) = 2Ѳ0; |
ап (р, 0) = &„(Р> 0) = 0. |
|
||
Таким образом, |
задача |
нахождения |
температурного |
поля |
||
0 (р, |
ф, Fo) сводится к определению коэффициентов ряда |
Фурье |
||||
А0 (р, |
Fo), Ап (р, Fo) и Вп (р, Fo) при соответствующих начальных |
|||||
и граничных условиях а0, ап и Ьп. |
|
|
||||
Если (1.6) является решением линейного уравнения (1.2), то каждое из слагаемых этого выражения также является решением того же уравнения.
Подставим А о (р, Fo), Ап (р, Fo) cos (rap) и Вп (р, Fo) sin (mp)
в (1.2), в результате получим уравнения, которым удовлетворяют данные коэффициенты. Запишем эти уравнения с соответствующими граничными и начальными условиями:
|
|
|
3M0 |
dA0 |
dAa . |
|
|
(1.12) |
|
|
|
|
5p3 |
P |
dp |
dFo ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
0 « |
P<1 |
|
6) |
P i< P < l |
|
|
||
A0(1, |
Fo) = a0(Fo) = 20 |
A0(1, Fo) = ao(Fo) = 20 |
(1.13) |
||||||
Ao(p> 0) = aa(0) = 200 |
(Pi, FoJ^flo^p!, |
Fo) = 20X |
|
||||||
|
|
|
|
|
A0(p, |
0) = aQ(0) = 20o |
|
||
|
|
& A n |
+ — |
dAn |
n2 Л _ |
dAn |
. |
(1.14) |
|
|
|
öp3 |
P |
dp |
p3 |
" |
ÖFo ’ |
|
|
а) |
0 < р < 1 |
б) |
|
P l< p < 1 |
|
|
|||
А п (1, |
Fo) = |
(Fо) = |
|
|
|
|
|
(1.15) |
|
= |
N ne‘ pdFo |
А A U |
Fo) = ап(Fo) = |
N ,.е‘ pdFo |
|||||
А„(Р, |
0)"== ап (0) = 0 |
|
АпІРъ Fo) = |
(pi, |
Fo) = 0 |
|
|||
|
|
|
|
A„(P, |
0) = an(0) = 0 |
|
|||
|
|
й-вп |
1 |
dBn |
n%ß |
dBn _ |
|
(1.16) |
|
|
|
др'1 |
P |
dp |
p3 |
n |
öFo ’ |
|
|
|
|
|
|
||||||
16
а) |
0 < р < 1 |
б) |
p l < p < l |
|
|
|
||
Вп (1, |
Fo) = bn (Fo) = |
|
|
|
|
|
(1.17) |
|
= M né PdFo |
5„(1. Fo) = M F o) = |
Mne‘' pdF° |
||||||
в п (р. |
0) = 6„(0) = 0 |
ß„(Pi. Fo) = |
bn (pi, |
Fo) = |
0 |
|
||
|
|
|
В Л P. 0) |
= |
ö„(0) = 0 |
|
|
|
Далее необходимо |
получить |
решения |
уравнений |
(1.12), |
(1.14) |
|||
и (1.16) при заданных граничных и начальных условиях (1.13), (1.15) и (1.17), построить решения для нестационарных, квазистационарных и стационарных радиальных температурных полей вал ков и исследовать эти решения.
§ 2. Температурное поле валка без внутреннего охлаждения
Температурное поле рабочего или опорного валка без внутрен него охлаждения описывается функцией (1.6), где коэффициенты удовлетворяют уравнениям (1.12), (1.14) и (1.16) при начальных и граничных условиях пункта «а» (1.13), (1.15) и (1.17).
Решение уравнения (1.12), как и все последующие, будем искать
в виде суммы решений |
|
|
|
Л 0 (р, Fo) = Л0 (р) + Ло (р, Fo), |
(1.18) |
||
где А 0 (р) — решение уравнения |
(1.12) |
при стационарном режиме |
|
и заданных граничных условиях; |
А0 (р, |
Fo) — решение уравнения |
|
(1.12) при нестационарных условиях, но при нулевых граничных
условиях, т. е. А0 (1, Fo) = 0.
Чтобы подчинить решение (1.18) начальному условию, необхо
димо выполнить следующее равенство: |
|
|
||||
|
|
Ло (р» 0) = |
— А 0 (р) + Л0(р, 0). |
(1-19) |
||
Справедливость этого приема легко проверяется, а именно при |
||||||
р = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Л0(1, |
Fo) = ylo(l) + ^ ( 1 , |
Fo) = |
2O + O = 20, |
||
а при т = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Л„(р, 0) = -^о(Р)+^о(Р> |
0) = |
|
||
|
= А 0(р)—>4о (р) + А 0(р, 0) = Л0(р, 0). |
|
||||
Решение А 0 (р) |
удовлетворяет уравнению |
|
|
|||
|
|
ам_0 + |
_і__аЛо_= о, |
|
(1.20) |
|
|
|
Зра |
Р |
Зр |
|
|
где А о (1) |
= 20. |
Решение (1.20) имеет вид Л,0 (р) = |
Сг In р + С2. |
|||
2 А. Н. Шпчков |
■ I. |
ч |
17 |
|
|
Так как при р |
|
0 1п_р |
— со, то Сх = 0 и А 0 (р) = С2 = const. |
|||||
При р = |
1 Л0 (1) |
= 2Ѳ =' С2, |
следовательно, |
|
||||
|
|
|
|
Л0(р) = 2Ѳ. |
|
( 1. 21) |
||
Решение А'0 (р, |
Fo) удовлетворяет уравнению |
|
||||||
|
|
|
д2Лр |
|
1 |
дАІ |
|
( 1.22) |
|
|
|
<?ра |
|
Р |
др |
д Fo ’ |
|
|
|
|
|
|
||||
где Al (1, |
Fo) |
= |
0, а А*0 (р, |
0) = — А0 (р) + А0 (р, 0) = |
— 20 -Ь |
|||
+ 2Ѳ0. Общее решение (1.22) |
имеет вид |
|
||||||
|
|
|
|
|
w |
|
2 |
|
|
|
Alfa, Fo) = |
2 |
CokJo (Po*, Р) в- “0* F0. |
(1-23) |
|||
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
где J 0 (fx0A, p) — Бесселева функция нулевого порядка 1-го рода (собственная функция); /.іок — корень характеристического урав нения, получаемый из граничного условия.
На поверхности
°°2
Ло(1, |
Fo) = 0 = |
2 |
CokJ о (р0А) e~^k Fo. |
(1.24) |
|
|
fc==i |
‘ |
|
Так как Сок =£ 0, е |
=£ О, |
следовательно, |
|
|
|
/ о Ы |
= 0. |
(1.25) |
|
Выражение (1.25) является характеристическим уравнением. Ко эффициент С0к получаем из начального условия; а именно
Ло(р, 0) = — 2Ѳ + 2Ѳ0 = 2 C0kJ0(ii0k, р), |
(1.26) |
ft=i
откуда следует, что Сок есть /е-й коэффициент разложения функции
А0 (р, 0) в ряд по функциям-Бесселя (по собственным функциям). Он равен
— [ [2Ѳ*—2Ѳ0] Jо ((-toft> Р) Pdp |
|
|
Сои = — ----------- |
:---------------- - |
(1.27) |
]Ѵ о (Р ° ь Р)dp
о
Трудность отыскания коэффициентов разложения Сок зависит от того, какая функция представляется в виде ряда, т. е. какое вы ражение стоит в квадратных скобках интеграла числителя.
В дальнейшем, при написании формул, для удобства анализа будем сохранять выражение для Ск в виде (1.27). Таким образом,
18
выражение для A Q(р, Fo) с учетом (1.18), (1.21), (1.23), (1.27) будет иметь вид
оэ |
1 |
|
|
|
[Ѳ — Ѳ01 j 0(Poft, Р) pdp |
—Bo* Fo |
|
А 0(р, Fo) = 2 • Ѳ— |
|
|
|
|
Jо (Мол» p) ^ |
||
к = \ |
|
J PJt (IW P) dP |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(1.28) |
Функцию-коэффициент A n (p, |
Fo) будем искать аналогичным об |
||
разом, т. е. в виде суммы решений |
|
||
ЛЛ(Р, |
Р0) = |
Л„(Р) + Л«(Р. Fo), |
(1.29) |
где Л„ (р) — решение уравнения (1.14) на квазистационарном ре
жиме при граничных условиях (1.15); А*п (р, Fo) — решение урав нения (1.14) на нестационарном режиме при нулевом граничном условии.
Прежде чем записать уравнение для Ап (р), сделаем следующее замечание: если на поверхности твердого тела температура меняется по какому-либо периодическому закону, то изменение температур
ного поля в сечении этого тела |
будет подчиняться этому закону, |
||||
т. е. если А п (1, Fo) |
= NnelPÖFo, то и |
|
|
||
|
А п(р, |
Fo) = |
Ап (р) é |
PdFo. |
(1.30) |
Подставим (1.30) в (1.14) и получим уравнение, которому удов |
|||||
летворяет функция Ап (р) |
при граничных условиях (1.15а): |
|
|||
dp"- |
Р |
. dAjL — !} - A n = i P d A n. |
(1.31) |
||
dp |
р2 " |
п |
|
||
Общее решение выражения (1.31) имеет вид |
|
||||
|
X„(p) = C1/„ (V riP d p ), |
(1.32) |
|||
где Іп { у tPd р) — модифицированная функция Бесселя комплекс ного аргумента n-го порядка.
Произвольную постоянную Сх найдем из граничного условия,
т. е. при р = 1 C1/ rt( ] / i Pd) = |
A^nelPdFo , откуда |
|
|
Cx = |
N n- |
eiPäF° . |
(1.33) |
|
/„ (K tP d ) |
|
|
Подставляя (1.33) в (1.32), получим |
|
||
A „(P) = |
N n In |
é pdFo. |
(1.34) |
|
I n iV i Pd) |
|
|
2* |
19 |
